遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

高二上學(xué)期第一次月考試卷數(shù)學(xué)命題人：宋德霞考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教B版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第二章第2節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，則（）A.B.C.D.02.若，則（）A.B.C.22D.293.如果且，那么直線不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，若，則（）A.B.C.D.5.已知為實(shí)數(shù)，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.已知空間中三點(diǎn)，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A.B.C.3D.7.點(diǎn)到直線（為任意實(shí)數(shù)）的距離的取值范圍是（）A.B.C.D.8.在正三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線與直線之間的距離為B.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6C.將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得到的直線為D.若直線向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則直線的斜率為10.在正方體中，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量為（）A.B.C.D.11.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，若，則C.當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角的大小為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍，則直線的方程為__________.13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為__________.14.在棱長為4的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，則線段的長度的最小值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）如圖，正方體的棱長為2.（1）用空間向量方法證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16.（本小題滿分15分）已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.（本小題滿分15分）如圖，已知平行六面體.（1）若，求的長度；（2）若，求與所成角的余弦值.18.（本小題滿分17分）如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（本小題滿分17分）如圖，在三棱臺(tái)中，是等邊三角形，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值的最小值.高二上學(xué)期第一次月考試卷·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.C由題意知直線的斜率為，所以，解得.故選C.2.A由，得，所以.故選A.3.C由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào).令，得；令，得，所以直線不經(jīng)過第三象限.故選C.4.A因?yàn)椋?，根?jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得，所以.故選A.5.B易知兩直線的斜率存在，當(dāng)時(shí)，則解得，由推不出，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，可以推出，必要性成立.故選B.6.D夾角的余弦值為.因此夾角的正弦值為，故以為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選D.7.B將直線方程變形為，所以解得由此可得直線恒過點(diǎn)，所以到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于到直線的最短距離為0，此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn).又，所以到直線的距離的取值范圍是.故選B.8.D在正三棱錐中，，所以，又，所以.故選D.9.ACD直線與直線之間的距離，故A正確；對(duì)0，令，得，令得，所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，故B錯(cuò)誤；的傾斜角為，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得直線的傾斜角為，斜率為，故C正確；設(shè)直線的方程為，向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后得，即，與是同一條直線，所以，所以，故D正確.故選ACD.10.AC空間的一組向量可以成為基底的充分必要條件是這組向量不共面.選項(xiàng)A中，直線所在的平面是，而與平面相交，所以不共面，故這組向量可以成為基底，A正確；選項(xiàng)B，滿足，所以這三個(gè)向量共面，這組向量不可以成為基底，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，直線所在的平面是，而與平面相交，所以不共面，這組向量可以成為基底，C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?，所以共面，這組向量不可以成為基底，D錯(cuò)誤.故選AC.11.ABD由平行六面體知四邊形是平行四邊形，連接，當(dāng)時(shí)，分別是的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn)，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)可知，又，所以0，故B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵诶忾L均為1的平行六面體中，平面，所以，，所以，設(shè)直線與直線所成角為，則，又，所以，即直線與直線所成角為，故C錯(cuò)誤；過作交于，可證平面，所以三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選ABD.12.或設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，若，則過原點(diǎn)，故的方程為，即；若，則的方程為，所以，所以，所以的方程為，即.綜上所述，直線的方程為，或.13.2由題意得，所以的面積為，點(diǎn)都在平面上，點(diǎn)到平面的距離3，所以三棱錐的體積為.14.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，設(shè)，其中，則.又，所以，所以，又，所以，所以，所以，此時(shí)，即線段的長度的最小值為.15.如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，2）.所以.（1）證明：設(shè)平面的法向量為，由得令，得.因?yàn)?，所以，又平面，所以平?（2）解：由（1），得平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16.解：（1）因?yàn)?，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）由解得，故的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樵谥本€上，設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線經(jīng)過點(diǎn)，代入兩點(diǎn)式方程得，即，所以直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程為.17.解：（1），因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)椋裕?0分因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)與所成的角為，則，即與所成角的余弦值為.18.（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?又因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所?又因?yàn)?，所以，又平面，所以平?（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則.設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐的體積，解得，所以.則，設(shè)平面的法向量，由，令，得平面的一個(gè)法向量，易知，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是.19.（1）證明：因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：在平面中