數(shù)學(xué)4教學(xué)設(shè)計(jì)：任意角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教學(xué)設(shè)計(jì)1．2。1任意角的三角函數(shù)eq\o（\s\up7（）,\s\do5（整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來(lái)刻畫(huà)的．銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系．任意角的三角函數(shù)是刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了．因此，與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)．由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系，使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問(wèn)題時(shí)，對(duì)于研究哪些問(wèn)題以及用什么方法研究這些問(wèn)題等，都可以從圓的性質(zhì)（特別是對(duì)稱性）中得到啟發(fā)．三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用．利用信息技術(shù)，可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系，并在角的變化過(guò)程中，將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來(lái)，所以信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì);激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境．三維目標(biāo)1．通過(guò)借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)．2．正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來(lái)，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái)．3．能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義．教學(xué)難點(diǎn)：用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)三角函數(shù)；三角函數(shù)符號(hào)的掌握;利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5（教學(xué)過(guò)程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內(nèi)角和為180°,那么sin200°的值還是三角形中200°的對(duì)邊與斜邊的比值嗎？類比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義？由此展開(kāi)新課．另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯(cuò)的選擇．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)任意角的三角函數(shù)1．任意角的三角函數(shù)的定義．角α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y),它與原點(diǎn)的距離為r(r〉0)，則角α的三角函數(shù)定義為:三角函數(shù)定義定義域sinαeq\f（y，r）Rcosαeq\f（x，r)Rtanαeq\f(y,x)｛α|α≠kπ＋eq\f(π，2），k∈Z}2．各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示．圖1三角函數(shù)正值口訣：Ⅰ全正，Ⅱ正弦,Ⅲ兩切，Ⅳ余弦．教師提示:前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充，并且學(xué)習(xí)了弧度制，知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù)．教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，畫(huà)出角α的終邊；學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)．如圖2。設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限．在α的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），它與原點(diǎn)的距離r＝eq\r(x2＋y2)>0.過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長(zhǎng)度為x，線段MP的長(zhǎng)度為y。圖2根據(jù)初中學(xué)過(guò)的三角函數(shù)定義，我們有sinα＝eq\f（MP,OP)＝eq\f(y，r)，cosα＝eq\f（OM,OP）＝eq\f（x，r），tanα＝eq\f（MP,OM）＝eq\f（y，x)。怎樣將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)呢？教師先讓學(xué)生們相互討論，并讓他們動(dòng)手畫(huà)出圖形，看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來(lái)．然后提問(wèn)學(xué)生，由學(xué)生回答教師的問(wèn)題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值，獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明．最后可以發(fā)現(xiàn)，由相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角α，這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變．也就是說(shuō),對(duì)于確定的角α,比值eq\f（y，r）和eq\f（x，r)都惟一確定，故正弦、余弦都是角α的函數(shù)．當(dāng)α＝eq\f（π,2)＋kπ（k∈Z）時(shí)，角α的終邊在y軸上,故有x＝0，這時(shí)tanα無(wú)意義．除此之外，對(duì)于確定的角α（α≠eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z),比值eq\f(y，x)也是惟一確定的，故正切也是角α的函數(shù)．sinα、cosα、tanα分別叫做角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)．以上三種函數(shù)都稱為三角函數(shù)(trigonometricfunction）．由定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào)，如圖3所示．圖3與學(xué)生一起討論得到以上結(jié)論后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么，對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么．特別注意α既表示一個(gè)角，又是一個(gè)實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）:“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y）”包含兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系．從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)．值得注意的是：(1）正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．(2)sinα不是sin與α的乘積，而是一個(gè)比值；三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體，離開(kāi)自變量的“sin”“tan”等是沒(méi)有意義的．研究函數(shù)我們首先要考慮它的定義域，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域．對(duì)于正弦函數(shù)sinα＝eq\f（y,r),因?yàn)閥恒有意義，即α取任意實(shí)數(shù)，y恒有意義，也就是說(shuō)sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫(xiě)出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)tanα＝eq\f（y,x),因?yàn)閤＝0時(shí)，eq\f（y，x）無(wú)意義，即tanα無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x＝0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí)，eq\f(y，x）恒有意義，即tanα恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是α≠eq\f（π，2)＋kπ(k∈Z）．(由學(xué)生填寫(xiě)下表)三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα{α|α≠eq\f(π，2）＋kπ,k∈Z｝三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，取決于x，y的符號(hào)，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y〉0，點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)y〈0，所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的，對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的（可制作課件展示）；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的；正切、余切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的．從而完成上面結(jié)論的探究．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例））思路1例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．圖4解:因?yàn)閤＝2，y＝－3，所以r＝eq\r（22＋－32）＝eq\r(13)。所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3,\r（13))＝－eq\f（3\r（13）,13)，cosα＝eq\f（x,r）＝eq\f（2,\r(13）)＝eq\f(2\r（13）,13），tanα＝eq\f(y,x）＝－eq\f（3,2）。點(diǎn)評(píng):本例是已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值問(wèn)題．可以先根據(jù)三角形相似將這一問(wèn)題化歸到單位圓上，再由定義得解.變式訓(xùn)練求eq\f（5π，3）的正弦、余弦和正切值．解：在平面直角坐標(biāo)系中，作∠AOB＝eq\f(5π,3）,如圖5.圖5易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（eq\f（1,2),－eq\f（\r（3),2)）．所以sineq\f(5π,3)＝－eq\f（\r（3),2）,coseq\f(5π,3）＝eq\f（1,2）,taneq\f（5π,3）＝－eq\r（3）。例2見(jiàn)課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練1．求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角θ為第三象限角．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinθ〈0，,tanθ〉0.)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①，②）)證明：我們證明如果①②式都成立，那么θ為第三象限角．因?yàn)棰賡inθ〈0成立，所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的非正半軸上；又因?yàn)棰谑絫anθ>0成立，所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限．因?yàn)棰佗谑蕉汲闪ⅲ驭冉堑慕K邊只能位于第三象限．于是角θ為第三象限角．反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明．點(diǎn)評(píng)：本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)，其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn)，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問(wèn)題的條件、結(jié)論弄清楚，然后再給出證明．這一問(wèn)題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.2。已知cosθtanθ〈0，那么角θ是（)A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案：C思路2例1已知角α的終邊在直線y＝－3x上，則10sinα＋3secα＝________.活動(dòng)：要讓學(xué)生獨(dú)立思考這一題目，本題雖然是個(gè)填空題，看似簡(jiǎn)單但內(nèi)含分類討論思想，教師可以找兩個(gè)學(xué)生來(lái)板演這個(gè)例題．對(duì)解答思路正確的學(xué)生給以鼓勵(lì)，對(duì)思路受阻的學(xué)生教師要引導(dǎo)其思路的正確性，并適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生：假如是個(gè)大的計(jì)算題應(yīng)該怎樣組織步驟？解析：設(shè)角α終邊上任一點(diǎn)為P(k,－3k)（k≠0）,則x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k｜.(1）當(dāng)k>0時(shí),r＝eq\r（10）k,α是第四象限角,sinα＝eq\f（y,r）＝eq\f(－3k,\r（10）k）＝－eq\f（3\r(10），10),secα＝eq\f(r，x)＝eq\f（\r（10)k,k)＝eq\r(10），∴10sinα＋3secα＝10×（－eq\f（3\r（10),10)）＋3eq\r（10）＝－3eq\r(10）＋3eq\r(10）＝0.（2)當(dāng)k<0時(shí)，r＝－eq\r(10）k，α為第二象限角，sinα＝eq\f（y,r）＝eq\f(－3k，－\r（10)k)＝eq\f(3\r(10)，10)，secα＝eq\f（r，x）＝eq\f(－\r(10）k,k)＝－eq\r（10)，∴10sinα＋3secα＝10×eq\f(3\r(10）,10)＋3×(－eq\r(10)）＝3eq\r（10)－3eq\r（10）＝0。綜合以上兩種情況均有10sinα＋3secα＝0.答案:0點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是要清楚當(dāng)k>0時(shí),P（k，－3k)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第四象限;當(dāng)k〈0時(shí)，P（k，－3k）是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第二象限內(nèi)，這與角α的終邊在y＝－3x上是一致的．例2求函數(shù)y＝eq\r(sinα)＋tanα的定義域．活動(dòng)：教師讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn),并讓學(xué)生歸納出一些常見(jiàn)函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來(lái)求自變量的范圍．對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行．求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí)，正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略，教師提醒學(xué)生應(yīng)注意這種情況．同時(shí)，函數(shù)的定義域是一個(gè)集合，所以結(jié)論要用集合形式表示．解：要使函數(shù)y＝eq\r（sinα)＋tanα有意義，則sinα≥0且α≠kπ＋eq\f（π，2)(k∈Z）．由正弦函數(shù)的定義知道，sinα≥0就是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù)．∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上，即2kπ≤α≤π＋2kπ（k∈Z)．∴函數(shù)的定義域是{α|2kπ≤α〈eq\f（π,2）＋2kπ，或eq\f(π,2）＋2kπ〈α≤(2k＋1)π，k∈Z｝．點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義,必須sinα≥0，且tanα有意義，由此推導(dǎo)出α的取值范圍就是函數(shù)的定義域.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域:（1)y＝sinx＋cosx；（2)y＝sinx＋tanx；（3）y＝eq\f（sinx＋cosx，tanx）.解：（1)∵使sinx、cosx有意義的x∈R，∴y＝sinx＋cosx的定義域?yàn)镽.（2）要使函數(shù)有意義,必須使sinx與tanx有意義．∴有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x∈R，,x≠kπ＋\f(π,2).)）∴函數(shù)y＝sinx＋tanx的定義域?yàn)閧x|x≠kπ＋eq\f（π，2)，k∈Z｝．（3）要使函數(shù)有意義，必須使tanx有意義，且tanx≠0。∴有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π，2），,x≠kπ))（k∈Z)．∴函數(shù)y＝eq\f(sinx＋cosx,tanx）的定義域?yàn)閧x|x≠eq\f(kπ，2)，k∈Z}.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）課本本節(jié)練習(xí)1～6。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展，是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比，記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶，至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習(xí)題1.21,5，6。eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計(jì)感想))關(guān)于三角函數(shù)定義法，總的來(lái)說(shuō)就兩種：“單位圓定義法”與“終邊定義法”．這兩種方法本質(zhì)上是一致的．正因?yàn)檫@樣，各種數(shù)學(xué)出版物中,兩種定義方法都有采用．在學(xué)習(xí)本節(jié)的過(guò)程中可以與初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義進(jìn)行類比、學(xué)習(xí)．理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵,也是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．在教學(xué)中，教師應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考和總結(jié)的能力,以鞏固對(duì)知識(shí)的理解和掌握．教師在教學(xué)中，始終引導(dǎo)學(xué)生緊扣三角函數(shù)的定義，善于利用數(shù)形結(jié)合．在利用三角函數(shù)定義進(jìn)行求值時(shí),應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)要注意橫向聯(lián)系，即不僅僅能求出該值，還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系，找出規(guī)律來(lái)求解．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（備課資料））一、關(guān)于余切、正割、余割函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意大小的角，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P(x，y），那么除角α的正弦、余弦、正切外,還可定義角α的余切、正割、余割，它們分別是cotα＝eq\f(x，y），secα＝eq\f（r,x），cscα＝eq\f（r，y）.角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割統(tǒng)稱為角α的三角函數(shù)．二、備用習(xí)題1．角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2a,3a)(a≠0），則cosα的值是()A.eq\f(\r（13),13）B。eq\f（\r(13）,12)C．±eq\f（\r（13），13）D．±eq\f（2\r(13)，13)2．已知tanαcosα〉0，且eq\f（tanα,sinα）<0,則α在（）A．第二象限B．第三象限C．第四象限D(zhuǎn)．第三、四象限3．下列各三角函數(shù)值中，負(fù)值的個(gè)數(shù)是（）①sin（－660°）②tan160°③cos（－740°)④sin(－420°)cos570°A．1B．2C．3D．44.eq\f（tan－150°cos－210°cos420°tan－600°,sin－330°）＝__________.5．確定下列各式的符號(hào)：（1）sin105°cos230°；(2）cos6tan6;（3)tan191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx＋cosx〉0，則角x是第__________象限角．參考答案：1。D2.A3。A4。eq\f(\r(3)，2)5．解：（1）∵105°、230°分別是第二、三象限角，∴sin105°>0，cos230°〈0。∴sin105°cos230°<0.(2）∵eq\f（3π，2）<6〈2π，∴6是第四象限角．∴cos6〉0，tan6<0。∴cos6tan6〈0.(3)∵tan191°>0,cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一解析：由tanx>0,知x為第一或第三象限角，而當(dāng)x是第三象限角時(shí)，sinx與cosx都取負(fù)值,這與sinx＋cosx〉0矛盾，故知角x是第一象限角．(設(shè)計(jì)者：房增鳳)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.（情境導(dǎo)入)同學(xué)們都在一些旅游景地或者在公園中見(jiàn)過(guò)大觀覽車(chē)，大家是否想過(guò)大觀覽車(chē)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化，二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢？由此導(dǎo)入新課．思路2。（復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域，這些內(nèi)容的研究，都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的，這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時(shí)，是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的，請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶．由三角函數(shù)的定義我們知道，對(duì)于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來(lái)表示的,或者說(shuō)是用數(shù)來(lái)表示的，今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法--幾何表示法．我們知道，直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)．因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來(lái)規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）活動(dòng)：1。任意角的三角函數(shù)的幾何表示，即三角函數(shù)線．2．有向線段，有向線段的數(shù)量及單位圓來(lái)表示三角函數(shù)．教師指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M；過(guò)A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸（垂直于同一條直線的兩直線平行)，設(shè)它與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T。教師點(diǎn)撥學(xué)生觀察線段的方向與點(diǎn)P的坐標(biāo)．顯然，線段OM的長(zhǎng)度為｜x|,線段MP的長(zhǎng)度為|y｜，它們都只能取非負(fù)值．當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段：如果x>0,OM與x軸同向,規(guī)定此時(shí)OM具有正值x；如果x〈0，OM與x軸正向相反(即反向）,規(guī)定此時(shí)OM具有負(fù)值x,所以不論哪一種情況，都有OM＝x.如果y〉0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時(shí)MP具有正值y；如果y<0，把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時(shí)MP具有負(fù)值y，所以不論哪一種情況，都有MP＝y(tǒng)。引導(dǎo)學(xué)生觀察OM、MP都是帶有方向的線段，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段．于是,根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，就有sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,1)＝y(tǒng)＝MP，cosα＝eq\f(x,r）＝eq\f（x,1)＝x＝OM.這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線．類似地，我們把OA、AT也看作有向線段，那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識(shí)，就有tanα＝eq\f(y，x)＝eq\f(AT，OA)＝AT.這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT，叫做角α的正切線（如圖6、7）．當(dāng)角α終邊在y軸的右側(cè)時(shí)(圖6)，在角α終邊上取點(diǎn)T(1,y′)，則tanα＝eq\f（y′,1)＝y(tǒng)′＝AT（A為單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn));當(dāng)角α終邊在y軸的左側(cè)時(shí)(圖7)，在角α終邊的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)T（1，y′)，由于它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q（－1,－y′)在角α終邊上，故有tanα＝eq\f(－y′,－1）＝y(tǒng)′＝AT.圖6圖7即總有tanα＝AT.因此，我們把有向線段AT叫做角α的正切線．有向線段MP、OM、AT都稱為三角函數(shù)線．當(dāng)角α的終邊在不同象限時(shí),其三角函數(shù)線如圖8所示．圖8師生共同討論探究，最后一致得出以下幾點(diǎn)：(1）當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí),余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在．(2)當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，正弦線、正切線都變成點(diǎn)．（3）正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時(shí)，一定要先作單位圓．（4）線段有兩個(gè)端點(diǎn)，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時(shí)，要先寫(xiě)起點(diǎn)字母，再寫(xiě)終點(diǎn)字母，不能顛倒;或者說(shuō)，含原點(diǎn)的線段，以原點(diǎn)為起點(diǎn),不含原點(diǎn)的線段，以此線段與x軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)．（5）三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致，三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同．正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））例1如圖9，α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P、Q,過(guò)A(1，0)作切線AT，交射線OP于點(diǎn)T，交射線OQ的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)T′,點(diǎn)P、Q在x軸上的射影分別為點(diǎn)M、N，則sinα＝________，cosα＝________,tanα＝________，sinβ＝________,cosβ＝________，tanβ＝________.圖9活動(dòng):根據(jù)三角函數(shù)線的定義，可知sinα＝MP,cosα＝OM，tanα＝AT,sinβ＝NQ,cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MPOMATNQONAT′點(diǎn)評(píng)：掌握三角函數(shù)線的作法,注意用有向線段表示三角函數(shù)線時(shí),字母的書(shū)寫(xiě)順序不能隨意顛倒.變式訓(xùn)練利用三角函數(shù)線證明|sinα｜＋|cosα|≥1.解：當(dāng)α的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，正弦（或余弦)線變成一個(gè)點(diǎn)，而余弦（或正弦）線的長(zhǎng)等于r，所以｜sinα｜＋｜c(diǎn)osα|＝1.當(dāng)角α終邊落在四個(gè)象限時(shí)，利用三角形兩邊之和大于第三邊有｜sinα|＋|cosα|＝｜OM｜＋|MP|〉1，∴｜sinα｜＋｜c(diǎn)osα｜≥1.例2證明恒等式eq\f（1，1＋sin2α）＋eq\f(1，1＋cos2α)＋eq\f（1,1＋sec2α)＋eq\f(1，1＋csc2α）＝2?；顒?dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明恒等式的方法與步驟，特別地,在證明三角恒等式時(shí)，一般地是從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊．從方向上來(lái)推證三角恒等式主要有三種推證方法，即從左邊推向右邊；從右邊推向左邊；左、右兩邊同推向第三個(gè)式子．證法一:設(shè)M（x，y）為角α終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，｜OM｜＝r，由三角函數(shù)定義，有sinα＝eq\f（y,r），cosα＝eq\f(x，r),secα＝eq\f（r,x)，cscα＝eq\f(r,y）。原式左邊＝eq\f(1，1＋\f（y2，r2)）＋eq\f(1，1＋\f（x2,r2))＋eq\f（1,1＋\f（r2,x2))＋eq\f（1，1＋\f(r2,y2))＝eq\f(r2,r2＋y2）＋eq\f（r2，r2＋x2）＋eq\f（x2,r2＋x2)＋eq\f(y2,r2＋y2）＝eq\f（r2＋y2，r2＋y2）＋eq\f（r2＋x2,r2＋x2)＝2＝右邊．∴原等式成立．證法二：左邊＝eq\f(1，1＋sin2α)＋eq\f（1,1＋cos2α)＋eq\f（1,1＋\f（1,cos2α))＋eq\f（1，1＋\f(1,sin2α)）＝eq\f（1,1＋sin2α）＋eq\f（1,1＋cos2α）＋eq\f(cos2α,1＋cos2α)＋eq\f(sin2α，1＋sin2α)＝eq\f(1＋sin2α，1＋sin2α)＋eq\f（1＋cos2α,1＋cos2α)＝2＝右邊．∴左邊＝右邊．∴原等式成立．點(diǎn)評(píng)：根據(jù)本題的特點(diǎn)，被證式的左邊比較復(fù)雜，故可由左邊證向右邊.變式訓(xùn)練求證：eq\f(1＋secα＋tanα,1＋secα－tanα）＝eq\f（1＋sinα，cosα).證明:設(shè)M(x,y)為α終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，｜OM|＝r,由三角函數(shù)定義,有sinα＝eq\f（y，r),cosα＝eq\f（x，r)，tanα＝eq\f（y,x)，secα＝eq\f（r，x）.左邊＝eq\f（1＋\f（r，x)＋\f（y，x）,1＋\f(r,x）－\f（y，x))＝eq\f（x＋r＋y,x＋r－y)＝eq\f（x＋r＋yx＋r＋y，x＋r－yx＋r＋y)＝eq\f(x＋r＋y2，x＋r2－y2）＝eq\f（2r2＋2xy＋2xr＋2ry，2x2＋2xr)＝eq\f（r＋yr＋x,xr＋x）＝eq\f（r＋y，x），右邊＝eq\f（1＋\f(y,r),\f(x，r））＝eq\f(r＋y,x），∴左邊＝右邊，故原等式成立.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練））課本本節(jié)練習(xí)7、8.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié))）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段,其之所以特殊，一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合），二是其與單位圓有關(guān)，這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值，所以說(shuō)它們是三角函數(shù)的一種幾何表示．三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具，利用三角函數(shù)線可以解或證明三角不等式，求函數(shù)的定義域以及比較大小，三角函數(shù)線也是后面將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖象的作圖工具．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))利用單位圓和三角函數(shù)線證明：若α為銳角,則（1)sinα＋cosα>1；(2）sin2α＋cos2α＝1.證明：如圖10，記角α與單位圓的交點(diǎn)為P,過(guò)P作PM⊥x軸于M,則sinα＝MP,cosα＝OM。圖10（1）在Rt△OMP中，MP＋OM〉OP，即sinα＋cosα>1.（2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，即sin2α＋cos2α＝1。eq\o(\s\up7（）,\s\do5(設(shè)計(jì)感想))對(duì)于三角函數(shù)線,開(kāi)始時(shí)學(xué)生可能不是很理解，教師應(yīng)該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用，讓學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)感知、了解三角函數(shù)線的定義．在學(xué)生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用三角函數(shù)線來(lái)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以便為了以后更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ)．教師要讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線了解即可,要讓學(xué)生利用任意角的三角函數(shù)線來(lái)感知對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，不要再向深處挖掘，因?yàn)槿呛瘮?shù)線能解決的問(wèn)題都可以用三角函數(shù)的圖象來(lái)解決．教師在教學(xué)中要搞好師生互動(dòng),讓學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手，多啟發(fā)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和歸納總結(jié)知識(shí)的能力．eq\o（\s\up7(），\s\do5（備課資料)）一、一個(gè)三角不等式的證明已知θ∈(0，eq\f(π,2）),求證：sinθ<θ〈tanθ。證明：如圖11，設(shè)銳角θ的終邊交單位圓于點(diǎn)P，過(guò)單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切線交OP于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則MP＝sinθ,AT＝tanθ,的長(zhǎng)為θ,連結(jié)PA.圖11∵S△OPA〈S扇形OPA〈S△OAT,∴eq\f(1,2)|OA｜｜MP｜<eq\f（1，2)|OA|2·θ〈eq\f（1,2）｜OA｜|AT|。∴｜MP｜〈θ〈|AT｜，則MP〈θ<AT，即sinθ<θ<tanθ。二、備用習(xí)題1．若eq\f（π，4）〈θ〈eq\f(π