數(shù)學(xué)備課資料：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精備課資料一、向量的向量積在物理學(xué)中，由于討論像力矩以及物體繞軸旋轉(zhuǎn)時的角速度與線速度之間的關(guān)系等這類問題的需要，就必須引進(jìn)兩向量乘法的另一運(yùn)算--向量的向量積.定義如下：兩個向量a與b的向量積是一個新的向量c:(1）c的模等于以a及b兩個向量為邊所作成的平行四邊形的面積;（2)c垂直于平行四邊形所在的平面；（3)其指向使a、b、c三向量成右手系——設(shè)想一個人站在c處觀看a與b時,a按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個小于180°的角而達(dá)到b.圖5向量a與b的向量積記作a×b.設(shè)a與b兩個向量的夾角為θ，則|a×b|=|a|｜b|sinθ。在上面的定義中已默認(rèn)了a、b為非零向量,若這兩個向量中至少有一個是零向量，則a×b=0。向量的向量積服從以下運(yùn)算律：（1)a×b=-b×a;（2)a×(b+c）=a×b+a×c；（3）（ma)×b=m（a×b).二、備用習(xí)題1。已知a,b，c是非零向量，則下列四個命題中正確的個數(shù)為（)①｜a·b｜=｜a|｜b｜a∥b②a與b反向a·b=-|a|｜b|③a⊥b｜a+b|=|a—b|④|a|=｜b|｜a·c|=|b·c|A。1B.2C.3D。42.有下列四個命題：①在△ABC中,若·>0,則△ABC是銳角三角形；②在△ABC中,若·〉0,則△ABC為鈍角三角形；③△ABC為直角三角形的充要條件是·=0;④△ABC為斜三角形的充要條件是·≠0.其中為真命題的是()A。①B.②C。③D。④3。設(shè)｜a|=8,e為單位向量，a與e的夾角為60°,則a在e方向上的投影為（)A.4B。4C。424。設(shè)a，b,c是任意的非零平面向量,且它們相互不共線,有下列四個命題:①(a·b）c-(c·a）b=0;②|a｜—|b｜<|a—b｜;③（b·c）a—（c·a）b不與c垂直;④（3a+2b）·（3a—2b）=9｜a|2-4｜b|其中正確的是()A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△ABC中,設(shè)=b,=c,則等于（)A。0B。S△ABCC。S△ABCD。2S△ABC6.設(shè)i,j是平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸方向上的單位向量,且a=（m+1）i—3j,b=i+(m-1)j，如果（a+b）⊥（a—b),則實(shí)數(shù)m=_____________.7。若向量a，b，c滿足a+b+c=0，且｜a|=3,｜b|=1,|c|=4，則a·b+b·b+c·a=_________.8.設(shè)｜a|=3,|b|=4,a與b的夾角為150°，求：(1)（a—3b）·（2a+b（2）｜3a-4b9。已知|a｜=，｜b|=3，a與b的夾角為45°,且向量λa+b與a+λb的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.10.已知|a｜=2，|b|=1,a與b的夾角為，求向量m=2a+b與n=a—4b的夾角的余弦值。解答：1.C2。B3.B4.D5.D6.—27。-138。(1)—30+30;(2）.9.｛λ|λ〈或λ>。10.由向量的數(shù)量積的定義,得a·b=2×1×cos=1.∵m=2a+b，∴m2=4a2+b2+4a·b=4×4+1+4×1=21?！啵黰又∵n=a—4b，∴n2=a2+16b2—8a·b∴｜n|=2。設(shè)m與n的夾角為θ,則m·n=｜m|｜n｜c(diǎn)osθ。①又m·