2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之函數(shù)概念與性質(zhì)

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)概念與性質(zhì)(2024年7月)

選擇題(共10小題)

1.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?7,0),則函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)?)

11

A.(-1,1)B.(-1,-今)C.(-1,0)D.1)

2.已知/(x)是定義域?yàn)?-8,+oo)的奇函數(shù)，滿足了(1-X)=/(1+x),若/(1)=2,則/(1)

+f(2)+f(3)+-??+/■(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

3.函數(shù)/(%)在(-8,4-oo)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若/(1)=-1,則滿足-1勺(%-2)W1的x

的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

4.已知/(無)=—+法是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，那么的值是()

1111

A.-4B.-C.-4D.-

3322

5.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足了(2J“)>/

(―魚)，則。的取值范圍是()

113

A.(-8,-)B.(-8,—)u(-,+8)

222

133

C.(一，一)D.(-,+8)

222

6.函數(shù)/(無)=出(?-2r-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-8,-2)B.(-8,-1)C.(1,+°°)D.(4,+°0)

7.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí)，/(無)—X3-1；當(dāng)-IWXWI時(shí)，/(-無)=-/(x)；當(dāng)x>2

11

時(shí)，f(x+2)=/(x—,),則/(6)=()

A.-2B.1C.0D.2

______%2_5%4~6

8.函數(shù)/(%)=,4-+欣一—的定義域?yàn)?)

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

9.設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減，則()

132

A.f(log3_)>f(2-2)>f(2-3)

4

123

B.f(log3_)>f(2-3)>f(2-2)

4

321

c.f(2-2)>/(2-3)>f(10g3-)

4

231

D.f(2-3)>/(2-2)>/(log3~)

4

10.設(shè)/(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)(XW1時(shí)，/(x)=2x(17),則/(一|)=(

1111

A.-4B.-4C.-D.-

2442

二.填空題(共5小題)

11.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)了€(-8,0)時(shí)，/G)=24+%2,則/(2)

12.己知函數(shù)/(x)—In(V1+%2—x)+1,f(a)=4,則/(-a)=.

13.已知偶函數(shù)/(無)在[0,+8)單調(diào)遞減,戶2)=0,若/GcT)>0,則x的取值范圍是,

14.設(shè)函數(shù)/u)=0,則滿足/U)+/U—今>1的x的取值范圍是

15.已知函數(shù)/(X)=/(a*2v-2~x)是偶函數(shù)，則a=

三.解答題(共5小題)

-2"+b

16.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

2x+1+a

(I)求a,b的值;

(II)若對任意的正R,不等式/(尸-2力+f(2?-k)<0恒成立，求上的取值范圍.

1

17.已知函數(shù)/(%)=%+-,

(I)證明/(X)在[1,+8)上是增函數(shù)；

(II)求/(x)在[1,4]上的最大值及最小值.

18.已知/(%)=>-2義3%+4,xE[-1,2].

(1)設(shè)/=3"，xE[-1,2],求/的最大值與最小值；

(2)求/(x)的最大值與最小值.

19.已知函數(shù)/(x)=W+2〃x+2,xE[-5,5],

(1)當(dāng)4=1時(shí)，求/(X)的最大值和最小值；

(2)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍，使y=/(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù).

1

20.已知QER,函數(shù)/(x)=log2(―+?).

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，解不等式/(%)>1；

(2)若關(guān)于X的方程/(x)+log2(/)=0的解集中恰有一個(gè)元素，求。的值；

1

(3)設(shè)a>0,若對任意正［，1］,函數(shù)/(x)在區(qū)間上，什1］上的最大值與最小值的差不超過1，求。

的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)概念與性質(zhì)(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)/(2尤+1)的定義域?yàn)?)

11

A.(-1,1)B.(-1,-今)C.(-1,0)D.0，1)

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】原函數(shù)的定義域，即為2尤+1的范圍，解不等式組即可得解.

【解答】解：?原函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0),

1

-1<2%+1<0,解得-

則函數(shù)/(2x+l)的定義域?yàn)?-1,-1).

故選：B.

【點(diǎn)評】考查復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，注意變量范圍的轉(zhuǎn)化，屬簡單題.

2.已知/(X)是定義域?yàn)?-8,+oo)的奇函數(shù)，滿足了(1-X)=/(1+x),若/(1)=2,則/(1)

+f(2)+f(3)+???+/,(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)的周期性.

【專題】整體思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4,結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求

解即可.

【解答】解：無)是奇函數(shù)，且/(1-x)=/(l+x),

'.f(1-x)=f(1+x)=-/(x-1),f(0)=0,

則/(x+2)=-f(x),則/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

即函數(shù)無)是周期為4的周期函數(shù)，

'：f(1)=2,

：.f(2)=f(0)=0,f(3)=/(1-2)=/(-1)=-f⑴=-2,

f(4)=f(0)=0,

則/⑴+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

則/(I)+f(2)+f(3)+???+/,(50)=12,(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=/(1)+f(2)=2+0=2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的

關(guān)鍵.

3.函數(shù)尤)在(-8,+oo)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/■(1)=-1,貝U滿足-1勺(X-2)W1的X

的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】D

【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式-1勺(尤-2)W1化為-1WX-2W1,解得答

案.

【解答】解：二?函數(shù)/(無)為奇函數(shù).

若/(I)=-1,則/(-1)=1,

又???函數(shù)/(x)在(-8,+8)單調(diào)遞減，-1勺(尤-2)W1,

：.f(1)勺(尤-2)勺(-1),

-1。-2W1,

解得：xG[l,3],

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔.

4.已知無)=o?+bx是定義在m-1,2a]上的偶函數(shù)，那么(7+6的值是()

1111

A.-4B.-C.-4D.-

3322

【考點(diǎn)】奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷.

【專題】常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析.

【答案】B

【分析】依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，/(-無)=/(尤)，由此求得6的值.且定義域關(guān)

于原點(diǎn)對稱，故。-1=-2a,由此求得a的值，從而得到a+b的值.

【解答】解：對于函數(shù)知/(x)=ax2+bx,

依題意得：/(-%)=/(x),.,.b=0.

.1

3^.a-1-2a,??ci—§,

??a+b=口.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，/(-無)=/(%);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域

必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域區(qū)間2個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足了(2鵬11)>/

(―企)，則。的取值范圍是()

113

A.(-°°,-)B.(-8,-)u(-,+8)

222

【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可知無)在(0,+8)遞減，故只需令反即可.

【解答】解：(無)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，

：.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

V2|al|>0,f(-V2)=f(V2),

.?.2|fl-1|<V2=2；.

：.\a-1|<1,

解得:<a<|.

22

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題.

6.函數(shù)/(%)=出(7-2尤-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-8,-2)B.(--1)C.(1,+8)D.(4,+8)

【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】由x2-2x-8>0得：xE(-°°,-2)U(4,+°°),令/-2%-8,則y=lnt,結(jié)合復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，可得答案.

【解答】解：由f-2x-8>0得：xE(-8,-2)U(4,+°°),

令-2x-8,則y=lnt,

VxE(-8,-2)時(shí)，t=j?-2x-8為減函數(shù)；

xG(4,+8)時(shí)，/=/-2x-8為增函數(shù)；

y=lnt為增函數(shù)，

故函數(shù)/(%)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+8),

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

難度中檔.

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x〈0時(shí)，/(%)=4-1；當(dāng)-IWXWI時(shí)，/(-x)=-/(x)；當(dāng)1〉*

11

時(shí)，f(x+2)~f(x—2)?則/(6)=()

A.-2B.1C.0D.2

【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】D

【分析】求得函數(shù)的周期為1,再利用當(dāng)-IWXWI時(shí)，/(-x)得到/(I)

當(dāng)xVO時(shí)，f(x)=%3-1,得到/(-1)=-2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：.?,當(dāng)，時(shí),f(x+^)—/(X—

.,.當(dāng)x*時(shí)，f(x+1)=f(X),即周期為1.

?V(6)=/(1),

,當(dāng)-1WxW1時(shí)，/(-x)—-f(x),

"⑴=-/(-D-

:當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x3-1,

：.f(-1)=-2,

,V(1)=-/<-1)=2，

：.f(6)=2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

___________汽2_5%+6

8.函數(shù)/(無)=J4一+/g―—的定義域?yàn)?)

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解即可.

(4—\x\>0

【解答】解：要使函數(shù)有意義，貝4％25X+6>八，

(—4<x<4

即(x_2)(f)0,

Ix—3

空|甲>。等價(jià)為①%>3即x>3

，即43,

,(x-2)(x-3)>0lx>3^x<2

^(x<3_fx<3,

②)，即n，此時(shí)2<尤<3,

1(%-2)(%-3)<0(2<x<3

即2<尤<3或x>3,

：-4OW4,

解得3cxW4且2<尤<3,

即函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)U(3,4],

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件.

9.設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減，則()

132

A.f(log3-)>f(2-2)>f(2-3)

4

123

B.fdog3_)>f(2-3)>f(2-2)

4

321

c.f(2-2)>/(2-3)>f(log-)

34

231

D.f(2-3)>f(2-2)>f(log3-)

4

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】c

32

【分析】根據(jù)Iog34>log33=l,0<2-2<2-3<2°=1,結(jié)合/(%)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.

1

【解答】解：??,/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，.??/(，。03》=/。。。34)，

32

VIog34>log33=l,0<2~2<2~3<2°=1,

32

-_

.?.0<22<23<ZO534

/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

321

.?./(2-2)>/(2-3)>/(Z0^A),

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，關(guān)鍵是指對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

10.設(shè)無)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OWxWl時(shí)，/(x)=2尤(1-尤)，貝行(—?jiǎng)?wù)=()

1111

A.-4B.-4C.-D.-

2442

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計(jì)算題.

【答案】A

qi1

【分析】由題意得)=-/(-),代入已知條件進(jìn)行運(yùn)算.

【解答】解：?../(X)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)=2x(1-X),

qi111

?v(-j)=/)=-/(1-)=-2x|(1-1)=-j,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用，以及求函數(shù)的值.

填空題(共5小題)

11.已知函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無C(-8,0)時(shí)，/(X)=2尤3+7,則/(2)=已

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知中當(dāng)X6(-8,0)時(shí)，f(x)=2X3+X2,先求出了(-2),進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可

得答案.

【解答】解：：當(dāng)尤(-8,0)時(shí)，f(x)=2^+?,

：.f(-2)=-12,

又?..函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

：.f(2)=12,

故答案為：12

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

12.己知函數(shù)/(x)—In(Vl+x2—x)+1,/(a)—4,則/(-a)--2.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)值，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：函數(shù)g(x)=ln(Vl+^2-x)

______1______

滿足g(-x)=ln(V1+x2+x)=Ini—=—In(V1+x2—x)=-g(x),

Jl+%2—x

所以g(x)是奇函數(shù).

函數(shù)/(x)—In(V1+x2-x)+1,f(a)=4,

可得/(a)—4—In(V1+a2—a)+1,可得/a(V1+a2—a)=3,

貝!J/(-a)=-In(V1+a2-a)+1=-3+1=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評】本題考查奇函數(shù)的簡單性質(zhì)以及函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力.

13.已知偶函數(shù)/(x)在［0,+8)單調(diào)遞減，f(2)=0,若/(尤-1)>0,則x的取值范圍是(-1,

3).

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為了(|x-1|)>/(2),即可得到結(jié)論.

【解答】解：：偶函數(shù)/(無)在［0,+8)單調(diào)遞減，f(2)=0,

，不等式/(尤-1)>0等價(jià)為了(X-1)>/(2),

即/(|尤-1|)>/(2),

；.|x-1|<2,

解得_1<x<3,

故答案為：(-1,3)

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為了(|x-1|)>/(2)

是解決本題的關(guān)鍵.

X+1V011

Y'~，則滿足f(x)>1的X的取值范圍是(―$+8)

{2”,x^^0

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別討論尤的取值范圍，進(jìn)行求解即可.

【解答】解：若無W0,則x—得W—1

1111

則/(x)+于(%—2)>1等價(jià)為x+1+x—,+1>1,即2x>—2f則％〉—4，

1

此時(shí)一彳VvWO,

11

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2%>1,x-1>—2，

當(dāng)X—>0即時(shí)，滿足f(x)+于(%—白>1T旦成立，

ill1111

當(dāng)02%—2〉一2，即3之％>。時(shí)，f(X—2)=%—)+1=1+2^>2,

1

此時(shí)f(%)+于(%—2)>1怛成立，

綜上X>—

故答案為：(―/,+°°).

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合分段函數(shù)的不等式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解是解

決本題的關(guān)鍵.

15.已知函數(shù)/(無)=/(〃?2，-2一、)是偶函數(shù)，貝lja=1.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】1.

【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解a的值.

【解答】解：函數(shù)/(X)=?(°?2工-2一、)是偶函數(shù),

y=/為R上的奇函數(shù)，

故2一工也為R上的奇函數(shù)，

所以如=o=a?2°-2°=a-1=0,

所以a=1.

法二：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x3(<7?2*-2))是偶函數(shù)，

所以/(-x)=f(x),

即-x3(a?2-*-2x)=/(a?2x-2-x),

3x-x3xA

即r(a?2-2)+x(a'2~-2)=0,

即(a-1)(2A'+2%)尤3=0,

所以a=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共5小題)

一2書

16.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)=是奇函數(shù).

2x+1+a

(I)求a,b的值;

(II)若對任意的怎R,不等式/(p-2f)+f(2r-k)<0恒成立，求左的取值范圍.

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)利用奇函數(shù)定義，在/(-%)=-/(無)中的運(yùn)用特殊值求a,b的值；

(II)首先確定函數(shù)/(x)的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式V(2r-^)<0轉(zhuǎn)

化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍.

【解答】解：(I)因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以/(0)=0,

b—11-2X

即---=0=>/)=1f(x)=

a+2、7Q+2%+I

Y1

1—21—

又由/(I)=-/(-1)知---=——-=a=2.

a+4a+1

所以a=2,b=l.

經(jīng)檢驗(yàn)4=2,b=l時(shí)，/（%）=F1一是奇函數(shù).

2%+1+2

-1_2%11

（II）由（I）知f（x）=^TT=—/+告，

易知/（X）在（-8,+oo）上為減函數(shù).

又因?yàn)榱耍╔）是奇函數(shù)，

所以/（?-2f）+f（2r-k）<0

等價(jià)于/（Z2-20<-f（2p-k）=f（左-2*）,

因?yàn)榱耍o）為減函數(shù)，由上式可得：?-2?>^-2?.

即對一切方R有:3?-2t-k>0,

從而判別式/=4+12kV0今kV—

1

所以人的取值范圍是k<_q.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問題的解決策

略.

1

17.已知函數(shù)f（x）=x+婷

（I）證明/（%）在［1,+8）上是增函數(shù)；

（II）求/（X）在［1,4］上的最大值及最小值.

【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（/）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個(gè)變量且界定大小，再作差變形看符號.

（〃）由（/）知/（無）在口，+8）上是增函數(shù)，可知在［1,4］也是增函數(shù)，則當(dāng)x=l時(shí)，取得最小值，

當(dāng)x=4時(shí)，取得最大值.

【解答】（/）證明：在［1,+8）上任取XI,XI,且無1<_X2（2分）

fQl）-f（久2）=與+；-（乂2+；）（1分）

X1x2

=（久1_%2）一襄1（1分）

xlx2

VX1<X2.*.X1-X2<0

VxiG［l,+8）,X2G［1,+°°）/.X1X2-l>0

.*./（XI）-f（X2）<0即/（XI）<f（X2）

故/(x)在口，+8)上是增函數(shù)(2分)

(〃)解：由⑺知：

f(%)在[1,4]上是增函數(shù)

...當(dāng)尤=1時(shí)，有最小值2；

17

當(dāng)x=4時(shí)，有最大值丁(2分)

4

【點(diǎn)評】本題主要考查單調(diào)性證明和應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)最值問題.

18.已知y(x)=9x-2X3x+4,A-e[-1,2].

(1)設(shè)f=3lxe[-1,2],求f的最大值與最小值；

(2)求/(x)的最大值與最小值.

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

1

【分析】(1)設(shè)f=3L由x&[-1,2],且函數(shù)/=3》在[-1,2]上是增函數(shù)，故有-<t^9,由此求得

t的最大值和最小值.

(2)由/(無)=2-2/+4=(/-1)2+3,可得此二次函數(shù)的對稱軸為f=l,且-<^9,由此求得了

(x)的最大值與最小值.

1

【解答】解：(1)設(shè)1,2],函數(shù)f=3*在[-1,2]上是增函數(shù)，故有,WW9,故f的

最大值為9,r的最小值為點(diǎn)

1

(2)由/(x)=9-￥-2X3A+4=/2-2/+4=(r-1)2+3,可得此二次函數(shù)的對稱軸為t=l,且-WtW9,

故當(dāng)f=l時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值為3,

當(dāng)t=9時(shí)，函數(shù)/(無)有最大值為67.

【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的綜合題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題.

19.已知函數(shù)/(x)=x2+2ax+2,xG[-5,5],

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(x)的最大值和最小值；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=/(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù).

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】常規(guī)題型；計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)先求出二次函數(shù)的對稱軸，結(jié)合開口方向可知再對稱軸處取最小值，在離對稱軸較遠(yuǎn)的端

點(diǎn)處取最大值；

(2)要使y=/(x)在區(qū)間［-5,5］上是單調(diào)函數(shù)，只需當(dāng)區(qū)間「5,5］在對稱軸的一側(cè)時(shí)，即滿足條

件.

【解答】解：(1)/(x)—x2+2ax+2=(x+a)2+2-a1,

其對稱軸為x=-°,當(dāng)a=l時(shí)，f(x)—X2+2X+2,

所以當(dāng)尤=-1時(shí)，f(X)min=f(-1)=1-2+2=1；

當(dāng)x=5時(shí)，即當(dāng)a=l時(shí)，/(x)的最大值是37,最小值是1.(6分)

(2)當(dāng)區(qū)間［-5,5］在對稱軸的一側(cè)時(shí),

函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù).所以-aW-5或-

即a25或aW-5,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-5］U［5,+8)時(shí)，

函數(shù)在區(qū)間［-5,5］上為單調(diào)函數(shù).(12分)

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，以及單調(diào)性的運(yùn)用等有關(guān)基礎(chǔ)知識，

同時(shí)考查分析問題的能力.

1

20.己知aCR,函數(shù)/(x)=log2(-+a).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，解不等式無)>1；

(2)若關(guān)于尤的方程/(尤)+log2(?)=0的解集中恰有一個(gè)元素，求。的值；

1

(3)設(shè)。>0,若對任意正與，1］,函數(shù)/(尤)在區(qū)間［3什1］上的最大值與最小值的差不超過1,求。

的取值范圍.

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；指、對數(shù)不等式的解法；一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

11

【分析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式/(無)>1化為：1。92?+1)>1，因此嚏+1>2,解出并且驗(yàn)證即可

得出.

11

(2)方程/(x)+log2(x2)=0即log2(-+Q)+log2(x2)=0,(-+Q)X2=1,化為：af+x-1=0,

XX

對〃分類討論解出即可得出.

111

(3)〃>0,對任意怎邑1］,函數(shù)/(x)在區(qū)間上，什1］上單調(diào)遞減，由題意可得/002(了+。)一，。出(在y+

a)<1,因此詈警上?<2,化為：a2?=gG),0工，1],利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

t[l+a(t+l)]t2+t2

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式/(X)>1化為：1。92?+1)>1，

11

+1>2,化為：一>1,解得0c尤<1,

XX

經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件，因此不等式的解集為：(0,1).

11

(2)方程/(%)+log2(x2)=0即log2(一+a)+log2(x2)=0,(一+〃)/=1,化為：a^+x-1

XX

=0,

若4=0,化為X-1=0,解得X=l,經(jīng)過驗(yàn)證滿足：關(guān)于％的方程/(%)+log2(X2)=0的解集中恰有

一個(gè)元素1.

若“W0,令A(yù)=l+4〃=o,解得〃=一去，解得了=2.經(jīng)過驗(yàn)證滿足：關(guān)于x的方程/(%)+10g2(x2)

=0的解集中恰有一個(gè)元素L

綜上可得：〃=0或—

1

(3)46對任意怎邑1],函數(shù)/⑴在區(qū)間上，什1]上單調(diào)遞減，

?11

1?1。。2(￡+。)一，。02Qqzy+。)<1，

.(l+ta)(t+l)<2

??t[l+a(t+l)]一'

1_4-1

化為：-n---=g(t),怎,1]?

r+t2

I(ts_-42+()一(]一()(2計(jì)1)_產(chǎn)2t]_3])22<(；-1)—2句

；.g(/)在尾，1]上單調(diào)遞減，.1另時(shí)，g(?)取得最大值，g(3=|.

a>

的取值范圍是修，+8).

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則單調(diào)性、不等式的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最

值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

考點(diǎn)卡片

1.指、對數(shù)不等式的解法

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根軸法).

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線(偶重根打結(jié))，定解.

特例：

①一元一次不等式辦>b解的討論；

②一元二次不等式ax~+bx+c>0(a=0)解的討論.

(2)分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

"x)>cJ/(x)g(x)*0

>0=/(x)g(x)>0;----------二U:一二

g(x)|g(x)*0

(3)無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解.

7(x)>o；

?質(zhì)>質(zhì)=<蛉)“『正又域

；/(%)>鼠幻

八",、、八

。不而>g(x)o總f/(xx、)>00或稱乘；◎"^<?x)={g(x)20

lr(x)>[g(x)]2L<0[/(x)<[g(x)]*

(4)指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

小*>>1)<=>/(x)>g(x):>a*8(0Va<1)of(x)<g(x)

>b(a>0.d>0)o/(x)lga>lgd

(5)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f/(x)>0[/(x)>0

log.f(.x)>log,g(x)(a>1)o<'g(x)>0;10ga/(x)>logag(xX0<a<1)c=><'g(x)>0

l/(x)>g(x)l/(x)<g(x)

(6)含絕對值不等式

①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；

②應(yīng)用數(shù)形思想；

③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化.

1小)1<8。)o{-g(x)<f(x)<g(x)

"(x)|>g(x)og(x)<0(/(x),g(x壞同時(shí)為0域幅g/(x才(X)>g(x)

注：常用不等式的解法舉例(X為正數(shù))：

①x(l-x)2=i.2x(l-xXl-x)<|(1)3='

@y=x(l一x1=j2=2x^(1；妙一丁2)4y=捺=y?挈

類似于N=sinxcos、=sinxQ-sin%),③|x+L|=|x|+凸(x與工同號，故取等)之2

YYY

2.一元二次不等式及其應(yīng)用

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+c>0

或ajT+bx+c<0(a不等于0)其中以N+加計(jì)。是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式.

特征

當(dāng)△=d-4ac>0時(shí)，

一元二次方程。7+笈+。=0有兩個(gè)實(shí)根，那么a/+6x+c可寫成a(x-xi)(x-x2)

當(dāng)△=/?2-4ac=O時(shí)，

一元二次方程°7+6尤+0=0僅有一個(gè)實(shí)根，那么m2+版+<:可寫成a(x-xi)2.

當(dāng)△=/?2-4ac<0時(shí).

一元二次方程a^+bx+c=0沒有實(shí)根，那么cur+bx+c與x軸沒有交點(diǎn).

【解題方法點(diǎn)撥】

例1：一元二次不等式，<x+6的解集為.

解：原不等式可變形為(尤-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案為：(-2,3).

這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成^^bx+cVO的形式；然后應(yīng)用了特征

當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

①一元二次不等式恒成立問題：

一元二次不等式a^+bx+cX)的解集是R的等價(jià)條件是：a>0且△<0；一元二次不等式av2+Z?x+c<0的

解集是R的等價(jià)條件是：。<0且△<().

②分式不等式問題：

~~~（x）?g（x）>0；

。（無）

f），vo=y（x），g（x）<o；

gOO

f（x）（久）'。（久）N0.

。（久）—ig。）豐o^

f（x）c/（x）-g（x）<o

g（x）1。）豐o

3.函數(shù)的定義域及其求法

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開偶次方）被開方式20；

③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；

④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零.

⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；

【解題方法點(diǎn)撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析

式有意義的自變量的取值集合.（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意

義，還要有實(shí)際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)

函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域?yàn)?/p>

空集，則函數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應(yīng)法則/下的量“x”“x+a”“尤所要滿

足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是無，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的尤的范圍.

【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

4.函數(shù)的單調(diào)性

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

一般地，設(shè)函數(shù)了（無）的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量尤1,血，

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有了（XI）</（%2）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)；當(dāng)X1<X2時(shí)，都有了（XI）

>f（XI）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間D上是減函數(shù).

若函數(shù)了（尤）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/（尤）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間。

叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.【解題方法點(diǎn)撥】

判斷函數(shù)的單調(diào)性，有四種方法：定義法；導(dǎo)數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)遵

循“同增異減”；證明方法有定義法；導(dǎo)數(shù)法.

單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“U”

聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié).

設(shè)任意xi,x2E[a,切且xi#x2,那么

①"%1）-'（支2）＞o可a）在口，句上是增函數(shù);

X±-X2

“久1）-"久2）＜00/（X）在山，切上是減函數(shù).

②(xi-x2)\f(xi)-f(X2)］>0<=>f(x)在［a,切上是增函數(shù);

(xi-X2)\f(xi)-f(%2)］<0<=^/(x)在［a,b］上是減函數(shù).

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，定義求解求解一般包括端點(diǎn)值，導(dǎo)數(shù)一般是開區(qū)間.

【命題方向】

函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是壓軸題，常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，課改地區(qū)單調(diào)

性定義證明考查大題的可能性比較小.從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最

值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單

調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、

等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究