2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：指對(duì)冪函數(shù)及函數(shù)與方程（含解析）

備考2025高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)清單（上好課）專題04指對(duì)幕函數(shù)及函

數(shù)與方程（5知識(shí)點(diǎn)+4重難點(diǎn)+7技巧+4易錯(cuò)）（含解析）專題04指

對(duì)幕函數(shù)及函數(shù)與方程

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精曉紿

根式的定義與性質(zhì)

分?jǐn)?shù)指數(shù)尋的表示型10相

L（^O知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)息與對(duì)數(shù)指數(shù)號(hào)的運(yùn)為鼻02整FF乒三產(chǎn)二數(shù)是我百

><型03用加擻痂淇也擻

壁04癬曦方程與對(duì)數(shù)方程

K對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

運(yùn)算法/

事函數(shù)的特征

募函數(shù)的定義H型01幕西改的翻依判斷與求解

-----------------------------------------------------------------YsasteBft凝02尋西改踞義域與值域

。知識(shí)點(diǎn)二寡函數(shù)）莓國藪后隹底型03號(hào)糜1過定點(diǎn)訶題

霞04號(hào)國放的圖象問題

凝05號(hào)甌改的單調(diào)性及應(yīng)用

二次函數(shù)的雎與性質(zhì)

轆oi統(tǒng)新勢(shì)」

一指數(shù)函數(shù)的詼

轆02指凝綾過定,點(diǎn)問題

―（O知識(shí)點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)卜-靛函數(shù)的圖象后存底轆03統(tǒng)^^

指對(duì)孱函數(shù)及轆04逐雌

函數(shù)與方程L指數(shù)函數(shù)的常用技巧;型05

理06指轆贅的值域可題

型01對(duì)數(shù)函數(shù)的好析式判斷與彼

對(duì)數(shù)函數(shù)的概念=醪02前調(diào)

L

z-----------------------------------、---------------'特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)翅037^3蝴

知識(shí)點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)及M）,對(duì)gj性質(zhì)）型45對(duì)數(shù)型畫段的單調(diào)住及應(yīng)用

壁05

型06對(duì)數(shù)型字的值域句題

凝07指漏比較大小

函數(shù)零點(diǎn)的概念;

函數(shù)毒點(diǎn)的定義：1「」凝01函整落點(diǎn)所在區(qū)間

函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

-----Kj轆02函數(shù)奉點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

型03造線

o知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)零點(diǎn)與二分法--vc函數(shù)等點(diǎn)存在定逋罐04融和

）------------'匚兩個(gè)重要推論凝05比g鎏融］大小

例06求零點(diǎn)腌圉

凝07二分法及其應(yīng)用

H二維H）」———v

-------H二^^值翔）

知原盤點(diǎn)?查；層非煤

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)塞與對(duì)數(shù)

1、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)新

（1）根式的定義：一般地，如果％"=Q,那么X叫做〃的〃次方根，其中〃>1,且〃￡N*。

式子后叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，4叫做被開方數(shù).

（2）根式的性質(zhì)（〃>1,且〃N*）：（標(biāo)）"=。；即）

同，〃為偶數(shù).

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)曙的表示

正分?jǐn)?shù)指數(shù)暴：規(guī)定：肅=府（。>0網(wǎng)4*,〃>1）

_絲11

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴：規(guī)定：。"===小7（a>O,〃z,〃eN*,〃>l）

〃〃vci

性質(zhì)：。的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,。的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義

2、指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

（1）無理數(shù)指數(shù)塞：一般地，無理數(shù)指數(shù)幕/（a>0,a為無理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

有理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)累.

（2）指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

①a'a'=優(yōu)+'（a>0,r,swR）.②（優(yōu)）"=ars（a>0,r,5eR）.③（ab）'=arbr（?>0,&>0,reR）.

3、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

（1）對(duì)數(shù)的概念：如果優(yōu)=N（a>0,且存1）,那么數(shù)x叫做以。為底數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作尤=log°N,其中。

叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，log“N叫做對(duì)數(shù)式。

（2）對(duì)數(shù)的性質(zhì)

對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：/=NQx=logaN（a>0,且。￥1）；

①logal=0,②log“a=l,③山ogaN=N,④log&N=N（a>0,且存1）.

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系

語藪巔i|對(duì)數(shù)

[WJ

ab=N7V>0l%N=b

[底數(shù)（a>0且aKl）]

（3）對(duì)數(shù)的的運(yùn)算法則與換底公式：如果〃>0,且中1,M>0,N>0

M

運(yùn)算法則：①logKAfAOnOgaM+logaN②log”討=10gqM—log—③logJVT="睡四伽￡R）

換底公式：①log。。=?*（〃>0,且。#1,c>0,且存1,Z?>0）,

lOgca

選用換底公式時(shí)，一般選用e或10作為底數(shù)。

1ri

H

②換底公式的三個(gè)重要結(jié)論：logab=記荷；logamZ?=—logaZ>;logaZHog心log/=logad

知識(shí)點(diǎn)2塞函數(shù)及其性質(zhì)

1、塞函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做事函數(shù)，其中尤是自變量，a是常數(shù).

（1）幕函數(shù)的特征：犬的系數(shù)是1;Y的底數(shù)x是自變量；犬的指數(shù)a為常數(shù).

只有滿足這三個(gè)條件，才是幕函數(shù).對(duì)于形如y=(2x)。，>=2必，>=y+6等的函數(shù)都不是累函數(shù).

1

(2)幕函數(shù)的圖象：同一坐標(biāo)系中，塞函數(shù)y=x,j=x2,y=x},y=x~1,y=x?的圖象(如圖).

2、塞函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有的基函數(shù)在(0,+s)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；

(2)如果a>0,那么幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增；

(3)如果a<0,那么幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+◎上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí),

圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于+oo時(shí)，圖象在無軸上方無限接近x軸；

(4)在(1,+oo)上，隨塞指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸.

2、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax1+bx+c(〃>0)y=aj(2+bx+c(a<0)

/

圖象(拋物線)A

1V

o\\;/x/1\

定義域R

值域

L4a'+叼L00'4。J

b

對(duì)稱軸x=~2a

b_)

頂點(diǎn)坐標(biāo)f

I2a'4a

奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)厚0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在j/在(--00，—第上是增函數(shù)；

上是減函數(shù)；

單調(diào)性

在V+00.)上是增函數(shù)一昱，+00)上是減函數(shù)

在

知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)>=優(yōu)(4>0且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)X是自變量，定義域是

R,a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù).

2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>lQ<a<\

x

y1y=aX

圖象(0,1)

y=l

oXorx

在X軸的上方，過定點(diǎn)(0,1)

圖像特征

當(dāng)X逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升當(dāng)X逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降

定義域R

值域(0,+co)

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

奇偶性非奇非偶函數(shù)

性質(zhì)

當(dāng)尤<0時(shí)，0<y<l；當(dāng)x<0時(shí)，y>1；

范圍

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)%>0時(shí)，0<y<l；

3、指數(shù)函數(shù)的常用技巧

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“。>1”和兩種情況討論；

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax-,(2)y=bx-,(3)y=cx；(4)y=d"的圖象,

底數(shù)a,dc,d與1的之間的大小關(guān)系為c>d>l>a>人；

規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大。

(3)指數(shù)函數(shù)尸優(yōu)與y=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

知識(shí)點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

(1)定義：函數(shù)y=log〃x(a>0,且awl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域?yàn)?0,+“).

(2)特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)

①常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=lg龍.

②自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx.

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

圖象a>l0<a<l

Y:X=1

y產(chǎn)t

；/5^iog產(chǎn)

。布,0)1

yTog#

定義域：(0,+oo)

值域：R

當(dāng)x=l時(shí)，y=0,即過定點(diǎn)(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)0<xVl時(shí)，yVO；當(dāng)OVxVl時(shí)，y>0；

當(dāng)%>1時(shí)，y>0當(dāng)x>l時(shí)，j<0

在(0,+oo)上為增函數(shù)在(0,+ao)上為減函數(shù)

3、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的常用結(jié)論

(1)函數(shù)y=logax與y=logy的圖象入軸對(duì)稱；

a

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系

如圖，作直線y=l,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，7尸點(diǎn)產(chǎn)

故0<c<d<l<a<6.—oBd?

由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.??尸舄詈

知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)零點(diǎn)與二分法

1、函數(shù)零點(diǎn)的定義

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/U)(xe。)，把使式x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)aeD)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程/U)=o有實(shí)數(shù)根=函數(shù)>=段)的圖象與無軸有交點(diǎn)Q函數(shù)y=/U)有零點(diǎn).

【注意】函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y=/(x)的圖象與無軸的交點(diǎn)，而是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)存在定理

(1)定理：如果函數(shù)y=Kx)在區(qū)間［。，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有<①火6)<0,

那么，函數(shù)尤)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(“，b),使得/(c)=0,

這個(gè)c也就是方程人力=0的根.

(2)兩個(gè)重要推論

推論1：函數(shù)在區(qū)間［a,可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，/(a)"修)<0,且“X)具有單調(diào)性，

則函數(shù)/(%)在區(qū)間(a力)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

推論2：函數(shù)“X)在區(qū)間［a回上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)〃尤)在區(qū)間(a力)內(nèi)有零點(diǎn)，且函

數(shù)/(九)具有單調(diào)性，則/(a)"0)<O

3、二分法

（1）二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間吊，切上連續(xù)不斷且負(fù)。求6）<0的函數(shù)y=/（x）,通過不斷地把函數(shù)式尤）的零

點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

（2）給定精確度￡,用二分法求函數(shù)y=/（x）零點(diǎn)與的近似值的步驟

①確定零點(diǎn)5的初始區(qū)間可，驗(yàn)證/（a）?/僅）<0

②求區(qū)間（a,b）的中點(diǎn)c

③計(jì)算/（c）,進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

若/（c）=0（止匕時(shí)x0=c），則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

若〃a）"（c）<0（此時(shí)光（）e（a,c）），則令）=c；

若/（c）?/（0）<。（此時(shí)/《。力））,則令a=c.

④判斷是否達(dá)到精確度￡：若心―。|<￡,則得到零點(diǎn)近似值a（或人）；否則重復(fù)（2）~（4）

【注意】初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)；

點(diǎn)突破?春分好?檢

重難點(diǎn)01指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

1、形如y=/（優(yōu)）（a>0,且awl）的函數(shù)求值域

換元法：令優(yōu)=/,將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求/⑺的值域，但要注意“新元的范圍

2、形如丁=。小°（a>0,且awl）的函數(shù)求值域

換元法：令〃=/（%）,先求出〃=/（%）的值域，再利用y=的單調(diào)性求出y=的值域。

【典例1】（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（幻=2--2工+3,則/⑺的最大值是.

【典例2]（23-24高三上?福建福州?期中）函數(shù)y=§1的值域?yàn)?

【典例3]（23-24高三上?湖北?期中）已知/（力=優(yōu)"-2「是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).

（1）函數(shù)g（x）="*+a-2-2〃x）,xe\0,2],求g（x）的最小值.

（2）是否存在4>0,使得對(duì)xe[-2,f恒成立，若存在，求彳的取值范圍；若不存在，說

明理由.

重難點(diǎn)02對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

1、形如y=/(log〃x)(。>0,且awl)的函數(shù)求值域

換元法：令log.x=/,先求出log。x=7的值域，再利用y=/(f)的單調(diào)性，再求出y=/(f)的值域。

2、形如y=log“/(x)(?>0,且awl)的函數(shù)的值域

換元法：令〃=/(力，先求出〃=/(*的值域，再利用y=log“〃的單調(diào)性，求出y=log“/(x)的值

域。

【典例1](23-24高三上?四川廣安?月考)已知函數(shù)/(x)=log3(-f+2x+3),則/⑶的值域是.

【典例2](23-24高三上?江蘇常州.月考)已知函數(shù)/(Hm+log3Hxe[1,9],則函數(shù)y=["切了+/(/)的

值域?yàn)?

重難點(diǎn)03嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題

處理復(fù)合函數(shù)y=的零點(diǎn)問題的方法：

①確定內(nèi)層函數(shù)U=g(x)和外層函數(shù)y=/(?)；

②確定外層函數(shù)y=73)的零點(diǎn)4/=%"=1,2,3L.,“)；

③確定直線M=%(，=1,2,3,與內(nèi)層函數(shù)"=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為4、的、％、…、%,則

函數(shù)y=/Tg(x)]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為％+出+%+…+%.

【典例1】(2024?浙江金華?三模)若函數(shù)〃x)=x+；,則方程/[〃切=3的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

3'+l,x<0

【典例2](23-24高三上.江西上饒.月考)設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的函數(shù)

|log4x|,x>0

g(x)=/2(x)-(a+l)〃x)+l恰好有五個(gè)零點(diǎn).則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

2x,x<0

【典例3](23-24高三下?重慶?月考)已知函數(shù)〃到=2111》，8(力=爐+2了+1-2%4€：?,若關(guān)于x

----,x>0

的方程/(g(x))=彳有6個(gè)解，則彳的取值范圍為.

重難點(diǎn)04關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)求和問題

利用函數(shù)零點(diǎn)位置的對(duì)稱性求和

（1）將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

（2）①如果兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線％=。對(duì)稱，那么這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于直線％=。對(duì)稱，則對(duì)

應(yīng)的兩零點(diǎn)之和為2a；

②如果兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱，那么這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（。,0）對(duì)稱，則對(duì)應(yīng)的兩零

點(diǎn)之和為2a.

【典例1］（23-24高三上.河北邢臺(tái)?月考）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足〃2+x）=-〃-x）,且曲線

y=/（x）與曲線＞=-一＞有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=〃尤）+—1的零點(diǎn)之和是（）

X—1X—L

A.2B.-2C.4D.-4

【典例2】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)=一工）g（x）滿足g（l+3x）+g（3-3x）=0,

G（x）=/（%-2）-g（%）,若G（x）恰有2〃+l（〃eN*）個(gè)零點(diǎn)，則這2〃+1個(gè)零點(diǎn)之和為（）

A.2nB.2〃+1C.4〃D.4〃+2

法技巧?名學(xué)霸

一、指對(duì)塞與對(duì)數(shù)式運(yùn)算

1、指數(shù)幕運(yùn)算的一般原則

（1）指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，以便利用法則計(jì)算；

（2）先乘除后加減，負(fù)指數(shù)基化成正指數(shù)哥的倒數(shù)；

（3）底數(shù)為負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)為小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)；

（4）運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)包含根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)。

2、對(duì)數(shù)混合運(yùn)算的一般原則

（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)幕形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式log,“河"=’108“方化簡合并；

°m

（2）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)式；

（3）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、募；

（4）如果對(duì)數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個(gè)因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個(gè)對(duì)數(shù)相加減的形式，然后

進(jìn)行化簡合并；

（5）對(duì)數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對(duì)數(shù)相減的形式。

3、對(duì)數(shù)運(yùn)算中的幾個(gè)運(yùn)算技巧

（1）Ig2+lg5=l的應(yīng)用技巧：在對(duì)數(shù)運(yùn)算中如果出現(xiàn)lg2和lg5,則一般利用提公因式、平方差公式、

完全平方公式等使之出現(xiàn)1g2+1g5,再應(yīng)用公式1g2+1g5=1進(jìn)行化簡；

（2）log。"log/,。=1的應(yīng)用技巧：對(duì)數(shù)運(yùn)算過程中如果出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)數(shù)相乘且兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置

顛倒，則可用公式log。6log/=1化簡；

（3）指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧：對(duì)于將指數(shù)恒等式優(yōu)=夕=1作為已知條件，求函數(shù)/（羽y,z）的值的問題，

通常設(shè)屋=夕=c"=左伏〉0）,則x=log/,y=l0gz，左，z=logck,將羽y,z值帶入函數(shù)/'（x,y,z）

求解。

【典例1］（23-24高三上?山東荷澤?月考）化簡求值：

（1）27-i+（7r-l）<，-（3'/5）

（2）lgV5+lgV20+lg^--lg25

【典例2］（23-24高三上.河南信陽?月考）計(jì)算下列各式的值:

2

2「+（同+2）。+162

⑴-273-

81

(2)log7'+；1g0.7+InVe-1g近.

二、幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對(duì)于幕函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x=l,y=l,尸所分區(qū)域.

根據(jù)aO,0<a<l,a=l,的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

【典例1】（2024?山東日照?二模）已知幕函數(shù)圖象過點(diǎn)（2,4）,則函數(shù)的解析式為（）

x2

A.j=2B.y=xC.J=log2xD.y=sinx

【典例2］（23-24高三上?廣東佛山?月考）當(dāng)xe（O,y）時(shí)，幕函數(shù)y=（蘇-2吁2），一23為單調(diào)遞減函數(shù)，

貝!］"?=.

【典例3］⑵-24高三上?遼寧大連?期中）已知幕函數(shù)=x”的圖象過點(diǎn),且“a-2a）,

則a的取值范圍是.

三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)的圖象需要注意以下幾個(gè)特征:

(1)指數(shù)函數(shù)的圖象所過的關(guān)鍵點(diǎn)為(1,a),(0,1),

a

(2)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置；

(3)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性。

【典例1】(2024.貴州畢節(jié).三模)已知函數(shù)/(x)=￡^是奇函數(shù)，若了(2023)＞/(2024),則實(shí)數(shù)。的值為

e"+。

()

A.1B.-1C.±1D.0

【典例2](23-24高三上?山西晉中?月考)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丁=/+依+〃—1與＞=優(yōu)的圖象可能

【典例3】(23-24高三上?福建莆田?月考)函數(shù),=優(yōu)一1+2(。＞0且QW1)的圖象恒過定點(diǎn)(左㈤，若%+〃=〃-左

91

且機(jī)則一+一的最小值為（）

mn

Q5

A.9B.8C.-D.-

22

(i、(x-a)(x+2)

【典例4](23-24高三下.江西鷹潭?月考)若函數(shù)；在區(qū)間(-L2)上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是()

A.[0,6]B.[-2,0]C.[6,+oo)D.(^?,0]

四、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法

（1）在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、

最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項(xiàng)；

（2）一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【典例1］（23-24高一上?全國?課后作業(yè)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（16,2）,則對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為.

【典例2］（23-24高三上?四川綿陽?月考）若/5）=|-1+一1］為奇函數(shù)，貝防=.

【典例3】（23-24高三上?廣東東莞?月考）（多選）對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/（a>0且awl）與二次函數(shù)y=（a-l）-r

在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（）

【典例4］（23-24高三下?陜西西安?月考）已知函數(shù)"%）=1%（/+6+2）在（-1,內(nèi)）單調(diào)遞增，則。的取

值范圍是.

五、指對(duì)塞比較大小的常見方法

1、單調(diào)性法：當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是指數(shù)塞或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值，

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較；

2、作差法、作商法：

（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對(duì)數(shù)比大??；

（2）作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法；

3、中間值法或1/0比較法：比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí)，先利用作為分界點(diǎn)，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)

的性質(zhì)比較大??；

4、估值法：（1）估算要比較大小的兩個(gè)值所在的大致區(qū)間；

（2）可以對(duì)區(qū)間使用二分法（或利用指對(duì)轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值；

5、構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時(shí)候三個(gè)數(shù)比較大小，可能某一個(gè)數(shù)會(huì)被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律,

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個(gè)數(shù)規(guī)律

（1）對(duì)于抽象函數(shù)，可以借助中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大?。?/p>

（2）有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，比較大小。

6、放縮法:

（1）對(duì)數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

（2）指數(shù)和塞函數(shù)結(jié)合來放縮；

（3）利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮；

（4）“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會(huì)發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)（主要是整數(shù)多一些），那么

可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系。

【典例1］（23-24高三上.天津武清?月考）已知°=0.6"5,6=0.5°5,c=0.506.則（）

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【典例2】（2024?山東濰坊?二模）已知q=eT,b="c=e°,貝【J（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【典例3】（2024?山東聊城?三模）設(shè)。=log49,b=log25,c=3ig，4,則氏瓦。的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【典例4］（23-24高三上.河南?月考）己知正數(shù)滿足

空二2+1唱〃,乎?=3+1嗎6,竺三^d+log/,則下列不等式成立的是（）

a—1c-1

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

六、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

1、直接法：直接求零點(diǎn)，令/（月=0,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).

2、定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間［a,可上是連續(xù)不斷的曲線，且/■（a）-70）<O,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

3、圖象法：

（1）單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)/（X）的圖象，函數(shù)/（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就

是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)“X）拆成兩個(gè)函數(shù)及（可和g（_x）的差，根據(jù)/（x）=0o/2（x）=ga）,則

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=Mx）和y=g（%）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；

若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【典例1］（23-24高三上?廣東深圳?月考）函數(shù)〃x）=cosx—sin2x,x?0,2可的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【典例2］（23-24高三上.廣東中山?月考）函數(shù)y=lgN-sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【典例3】(2024.河南.二模)已知函數(shù)〃尤)是偶函數(shù)，對(duì)任意xeR,均有〃x)=/(x+2),當(dāng)xe[0』]時(shí),

f(x)=l-x,貝I］函數(shù)g(x)=〃x)-log5(x+l)的零點(diǎn)有個(gè).

七、已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法

1、直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟

悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.

2r+1-l,x<0

【典例1](23-24高三上?山東濟(jì)南?月考)已知函數(shù)/(尤)=<，若函數(shù)g(x)=f(x)-a有3個(gè)零點(diǎn),

lg-,x>0

X

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為—.

1一1_TTIX<0

【典例2](23-24高三上?廣東惠州?月考)設(shè)函數(shù)〃x)='J"一，若函數(shù)“X)恰有3個(gè)零點(diǎn)，

XuYrI,，v,z

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(—°°,—1)B.(-1,2]C.[2,+oo)D.[-1,2)

x|x—1|—l,x>0,

【典例3】(2023?天津河北?一模)函數(shù)/(%)=1,若函數(shù)g(x)=/(lr)-以+1("0)恰有兩

---,x<0,

JV-1

個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

易錯(cuò)點(diǎn)1指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中忽略對(duì)底數(shù)的討論

點(diǎn)撥：指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)問題中，其底數(shù)若不是確定的數(shù)值，需要對(duì)底數(shù)分。>1或。<。<1兩種情況進(jìn)

行討論。

Q

【典例1】(2023?四川攀枝花?模擬預(yù)測(cè))已知奇函數(shù)/(力=優(yōu)+?4(。>0,。W1)在[T1]上的最大值為三，

則〃二()

A.1或3B.J或2C.3D.2

【典例2](23-24高三上?上海浦東新?月考)設(shè)常數(shù)。>0且awl,若函數(shù)y=log”(x+1)在區(qū)間[0,1]上的最

大值為1,最小值為0,則實(shí)數(shù).

易錯(cuò)點(diǎn)2求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時(shí)忽略定義域

點(diǎn)撥：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是①求函數(shù)的定義域；②作出內(nèi)層函數(shù)的圖象；③用“同增異減”法則

寫單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會(huì)出現(xiàn)以下兩類錯(cuò)誤：一是忽視定義域；二是“同增異減”法則不會(huì)或法則用錯(cuò)。

1—Y

【典例1](2023?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=log2—的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(0,1)B.C.&,+力D.

【典例2](23-24高三上.遼寧沈陽?月考)/(x)=lg，+2x-3)的單調(diào)增區(qū)間是.

易錯(cuò)點(diǎn)3忽視轉(zhuǎn)化的等價(jià)性

點(diǎn)撥：等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會(huì)起到意想不到的效果，但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化

的等價(jià)性，反之會(huì)出現(xiàn)各種離奇的錯(cuò)誤。

【典例1](23-24高三上?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃力=3尤Tlnx存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為

()

A.B.[②5]C.(3e,+co)D.(^?,3e)

【典例21(2024高三全國?專題練習(xí))設(shè)b分另IJ是方程2*+尤+2=0與log2》+x+2=0的根，則a+6=.

【典例3】(2024?河南南陽?一模)已知函數(shù)〃x)=3x2_2hu+(a_l)x+3在區(qū)間(1,2)上有最小值，則整數(shù)。

的一個(gè)取值可以是.

易錯(cuò)點(diǎn)4函數(shù)零點(diǎn)定理的理解不準(zhǔn)確

點(diǎn)撥：函數(shù)零點(diǎn)定理是指如果函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

/(?)/(&)<0,那么函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,切內(nèi)有零點(diǎn)。解決函數(shù)零點(diǎn)問題常用方法有定理法、圖象法和方

程法。函數(shù)零點(diǎn)又分為“變號(hào)零點(diǎn)”和“不變號(hào)零點(diǎn)”，函數(shù)零點(diǎn)定理僅適用于“變號(hào)零點(diǎn)”，對(duì)“不變號(hào)零點(diǎn)”無

能為力。

【典例1】(2023?寧夏銀川?三模)函數(shù)/(*=1*2無+必+〃2在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是（）

A.(-oo,-18)B.(5,+oo)C.(5,18)D.(-18,-5)

【典例2】（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?月考）函數(shù)y=