四川省眉山市彭山區(qū)一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

四川省眉山市彭山區(qū)一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④2．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列中的、是函數(shù)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則的值為（）A. B.1C.2 D.34．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.5．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.16．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與向量的模長(zhǎng)分別是（）A.；5 B.；C.； D.；9．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知點(diǎn)，，若直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．從集合中任取兩個(gè)不同元素，則這兩個(gè)元素相差的概率為（）A. B.C. D.12．已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓的一部分C.圓 D.不完整的圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“矩形的對(duì)角線相等”的否命題是________.14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為_(kāi)__________.15．點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.16．函數(shù)在處的切線方程是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大?。唬?）若cosA=，求的值.19．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點(diǎn)，使得和面所成角的余弦值為，并說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點(diǎn)B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）已知拋物線C：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為2（1）求實(shí)數(shù)p的值；（2）若直線l過(guò)C的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程22．（10分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),且（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，且△的面積為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】①③可以通過(guò)分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故②錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿足將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，所以④錯(cuò)誤；故選：B2、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結(jié)合由，轉(zhuǎn)化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，?dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3、C【解析】對(duì)求導(dǎo)，由題設(shè)及根與系數(shù)關(guān)系可得，再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求，最后應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算求值即可.【詳解】由題設(shè)，，由、是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以，又是等差數(shù)列，所以，即，故.故選：C4、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過(guò)的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A5、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D6、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.7、D【解析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.8、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B9、B【解析】先求出圓心到直線的距離為，由此可知當(dāng)圓的半徑為時(shí)，圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)圓的半徑時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故半徑的取值范圍是，即可求出答案.【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選：.10、B【解析】直接利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式和直線的斜率的關(guān)系求出結(jié)果【詳解】解：直線過(guò)點(diǎn)且斜率為，與連接兩點(diǎn)，的線段有公共點(diǎn)，由圖，可知，，當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)故選：B11、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個(gè)不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個(gè)元素相差的取法有、、共3種.故這兩個(gè)元素相差的概率為.故選：B.12、D【解析】根據(jù)題意，分析得動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合圓以及橢圓的方程，以及點(diǎn)的限制條件，即可判斷軌跡.【詳解】因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因?yàn)?，故可得，則，綜上所述：動(dòng)點(diǎn)在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行說(shuō)明，在平面中，因?yàn)?，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過(guò)且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：因?yàn)?，故可得，整理得：，故?dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；又當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，幾何體不是空間幾何體，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)不完整的圓.故選：.【點(diǎn)睛】本題考察立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，處理的關(guān)鍵是利用立體幾何知識(shí)，找到動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，進(jìn)而求解軌跡.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、“若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線不相等”【解析】否命題是條件否定，結(jié)論否定，即可得解.【詳解】否命題是條件否定，結(jié)論否定，所以命題“矩形的對(duì)角線相等”的否命題是“若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線不相等”故答案為：“若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線不相等”14、【解析】過(guò)F作，利用點(diǎn)到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過(guò)F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.15、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：16、【解析】求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，，，故在處的切線方程是，整理得：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由于在點(diǎn)處有極小值，所以，從而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可求出其值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以，①且②聯(lián)立①②得：；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，由得；由得，所以，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以在上的值域?yàn)?18、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，由此求得.（2）先求得，結(jié)合兩角差的正弦公式求得.【小問(wèn)1詳解】，，即，，，.【小問(wèn)2詳解】由，可得，.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）為的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，再由，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖：因?yàn)槿切问堑冗吶切危?，又因?yàn)槊娴酌?，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；?）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，在上找一點(diǎn)，其中，，，，設(shè)面的一個(gè)法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點(diǎn)，符合題意.20、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個(gè)面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問(wèn)1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D(3,6,0),A(0,6,0)設(shè)平面的一個(gè)法向量所以n?PD令，可得記點(diǎn)到平面的距離為，則d=【小問(wèn)2詳解】由(1)可知平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的平面角為由圖可知，21、（1）2（2）或【解析】（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離相等