2025屆廣西壯族自治區(qū)欽州市數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆廣西壯族自治區(qū)欽州市數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過橢圓+=1左焦點F1引直線交橢圓于A、B兩點，F(xiàn)2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長是（）A.20 B.18C.10 D.162．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結論中正確的為（）A.與互為對立事件 B.與互斥C與相等 D.3．已知橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上，若、、是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為A B.4C. D.4．已知拋物線上的點到其準線的距離為，則（）A. B.C. D.5．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝17．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）8．已知橢圓的中心為，一個焦點為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.9．已知半徑為2的圓經(jīng)過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1310．古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.12．已知，，，則，，的大小關系是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，三點共線，則m的值為___________.14．已知，空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.15．正方體的棱長為2，點為底面正方形的中心，點在側面正方形的邊界及其內部運動，若，則點的軌跡的長度為______16．若，m，三個數(shù)成等差數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列的前項和為，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)，有.18．（12分）設函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性；（2）函數(shù)，若對任意的，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值20．（12分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關系，并證明你的結論21．（12分）已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍22．（10分）設F為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓C交于兩點.（1）若點B為橢圓C的上頂點，求直線的方程；（2）設直線的斜率分別為，，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的定義求得正確選項.【詳解】依題意，根據(jù)橢圓的定義可知，三角形的周長為.故選：A2、D【解析】利用互斥事件和對立事件的定義分析判斷即可【詳解】因為拋擲兩枚質地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以ABC錯誤，D正確，故選：D3、D【解析】設橢圓短軸的一個端點為根據(jù)橢圓方程求得c，進而判斷出，即得或令，進而可得點P到x軸的距離【詳解】解：設橢圓短軸的一個端點為M由于，，；，只能或令，得，故選D【點睛】本題主要考查了橢圓的基本應用考查了學生推理和實際運算能力是基礎題4、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標準方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因為點到的準線的距離為，所以，得故選：C5、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D6、A【解析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題7、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關關系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關關系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關關系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關關系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關關系.故選：D.8、D【解析】根據(jù)是正三角形可得的坐標，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點，因為且，故，故，，整理得到，故，故選：D.9、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經(jīng)過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B10、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，進而可得結果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.11、A【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結合的值即可求得答案.【詳解】設直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.12、B【解析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷即可，若底不同，則根據(jù)結構構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性判斷大小【詳解】對于的大?。?，，明顯；對于的大小：構造函數(shù)，則，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，即對于的大?。海?，，故選B【點睛】將兩兩變成結構相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷，對于結構類似的，可以通過構造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)三點共線與斜率的關系即可得出【詳解】由，，三點共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：14、【解析】由題意分別求出這三個平面的法向量，設直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點坐標為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設直線的方向向量為，則，即取，設直線與平面所成角則故答案為：15、【解析】取中點，利用線面垂直的判定方法可證得平面，由此可確定點軌跡為，再計算即可.【詳解】取中點，連接，平面，平面，，又四邊形為正方形，，又，平面，平面，又平面，；由題意得：，，，，；平面，，平面，，在側面的邊界及其內部運動，點軌跡為線段；故答案為：.16、【解析】由等差中項的性質求參數(shù)m，即可得曲線標準方程，進而求其離心率.【詳解】由題意，，可得，所以圓錐曲線為，則，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）利用關系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進而寫出的通項公式；（2）由，將不等式左側放縮，即可證結論.【小問1詳解】當時，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.【小問2詳解】，..18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)的正負性分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)存在性和任意性的定義，結合導數(shù)的性質、（1）的結論、構造函數(shù)法分類討論進行求解即可.【小問1詳解】,,①當時，恒成立，在上單調遞增.②當時，恒成立，在上單調遞減，③當吋，，在單調遞減，單調遞增.綜上所述，當吋，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，當時，在單調遞減，單調遞增.【小問2詳解】由題意可知：在單調遞減，單調遞增由（1）可知：①當時，在單調遞增，則恒成立②當時，在單調遞減，則應（舍）③當時，，則應有令，則，且在單調遞增，單調遞減，又恒成立，則無解綜上，.【點睛】關鍵點睛：運用構造函數(shù)法，結合存在性、任意性的定義進行求解是解題的關鍵.19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質證明結論；（2）構建空間直角坐標系，確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設為面的法向量，則，令得，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結合弦長公式可求，可轉化為，結合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.21、【解析】（1）求a,b的值,根據(jù)曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，列方程組,即可求出的值；（2）求k的取值范圍．,先求出的解析式,由已知時，設,求導函數(shù)，確定函數(shù)的極值點，進而可得時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；時，函數(shù)在在區(qū)間上的最大值小于，由此可得結論試題解析：（1）,因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以,所以;（2）當時，，，，令，則，令，得，所以在與上單調遞增，在上單調遞減，其中為極大值，所以如果在區(qū)間最大值為，即區(qū)間包含極大值點，所以考點：導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調性與最值22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出的直線方程，結合橢圓方程可求的坐標，從而可求的直線方程；（2）設，直線（或），則可用兩點的坐標表示或，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消元后利用韋達定理可化簡前者從而得到要證明的結論【詳解】（1）若B為橢圓的上頂點，則.又過點