安徽省宿州市宿城第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

安徽省宿州市宿城第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.2．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標(biāo)來描述.設(shè)曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應(yīng)點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應(yīng)點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.3．某制藥廠為了檢驗?zāi)撤N疫苗預(yù)防的作用，把名使用疫苗的人與另外名未使用疫苗的人一年中的記錄作比較，提出假設(shè)：“這種疫苗不能起到預(yù)防的作用”，利用列聯(lián)表計算得，經(jīng)查對臨界值表知.則下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病B.這種疫苗預(yù)防的有效率為C.在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”D.有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用4．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.5．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得6．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.7．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.8．設(shè)、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.12．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______14．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為______15．已知拋物線：，過焦點作傾斜角為的直線與交于，兩點，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點，則__________.16．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列前項和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱的中點，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.20．（12分）保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110（1）建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預(yù)測該地區(qū)2022年有多少新能源汽車參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，21．（12分）已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項和為，求22．（10分）如圖所示，四棱錐的底面為矩形，，，過底面對角線作與平行的平面交于點（1）求二面角的余弦值；（2）求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A2、C【解析】設(shè)單位圓上一點為，經(jīng)過題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點坐標(biāo)為，經(jīng)過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.3、C【解析】根據(jù)的值與臨界值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】∵，，∴在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”，C對，由已知數(shù)據(jù)不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病，A錯，由已知數(shù)據(jù)不能判斷這種疫苗預(yù)防的有效率為，B錯，由已知數(shù)據(jù)沒有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用,D錯，故選：C.4、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因為，所以，，故選：D5、B【解析】A選項，當(dāng)一真一假時也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項，可以使用正弦定理和大邊對大角，大角對大邊進(jìn)行證明；C選項，利用逆否命題的定義進(jìn)行判斷，D選項，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結(jié)論否定，故可判斷D選項.【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯誤；命題，使得，則，使得，故D錯誤.故選：B6、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D7、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關(guān)鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面8、B【解析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，對選項進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】選項A.一條直線垂直于一平面內(nèi)的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項A不正確.選項B.,則正確，故選項B正確.選項C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項C不正確.選項D.若，則與可能相交，可能平行，故選項D不正確.故選：B9、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.10、D【解析】利用最值的含義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決即可【詳解】解：由題意可得，整理得，當(dāng)時，不等式化簡為恒成立，所以，當(dāng)時，不等式化簡為恒成立，所以，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D11、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C12、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯誤故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對于C項解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：214、【解析】求出圓心關(guān)于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設(shè)關(guān)于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.故答案為：15、【解析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即得.【詳解】由拋物線：可知則焦點坐標(biāo)為，∴過焦點且斜率為的直線方程為,化簡可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：16、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，故，可得.【小問2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時，，當(dāng)時，.因為滿足，所以.【小問3詳解】解：，、、這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)周長為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設(shè)，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標(biāo)求解；方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點P橫坐標(biāo)，再由的直線方程聯(lián)立，得到P，Q的橫坐標(biāo)的關(guān)系求解.【小問1詳解】解：∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點，的點，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值419、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）【解析】小問1：由于，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；小問2：以為原點，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可證明；小問3：分別求得平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解【小問1詳解】在直三棱柱中，，且平面，平面所以AC平面；【小問2詳解】因為，故以為原點，分別為軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：則，所以則所以又平面，平面故平面；【小問3詳解】由，得，設(shè)平面的一個法向量為則得又因為平面的一個法向量為所以所以二面角的大小為20、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問的結(jié)果，帶入方程即可算出預(yù)估的結(jié)果.【小問1詳解】，，，因為，所以，所以【小問2詳解】預(yù)測該地區(qū)2022年抽樣1000汽車調(diào)查中新能源汽車數(shù)，當(dāng)時，，該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，所以新能源汽車.21、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求.（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳解】因為，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，.【小問2詳解】，，，.22、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）設(shè)，連接、，證明出平面，推導(dǎo)出為的中點，然后以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余