文登教育屆數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)課程老師線性代數(shù)

例 axax21 22 xxa aa a11 1211 12例 axax21 22 xxa aa a11 1211 12例 求解線性方程組a21x1a22x2a23x3b2xaxax31 32 33 x,x?,xaaaaaaaaaaaaaaaaa1122 1223 1321 1322 1221 11231Dadbc（對角線法則D 于是，當(dāng)D0時， xD1，2D D2D3xD1 D2 xD3D01.n階行列式定義（遞歸式DΔ(a)aAaA...a11 121nai1Ai1ai2Ai2aina1jA1ja2jA2janjAnjA1ijM，M為元素aA為元素ai1）Dn是一個數(shù)值，它由n！項的代數(shù)和組成，每項都是取自不同行不同列的n2）MijAijaijaijMijAij的值最多相差一Dna11a22ann例性質(zhì) 行列互換，行列式的值不變，即DDT性質(zhì) ，性質(zhì) 1性質(zhì) 行列互換，行列式的值不變，即DDT性質(zhì) ，性質(zhì) 1）D中有一行（列）D0性質(zhì) ai1ain 性質(zhì)將行列式的某行（列）k倍加到另一行（列）性質(zhì)iA...a ii1iniaA...a i1i1ni基本方法基本方法例 計算Dn，其中練 計算Dn1，x0 （axnaxn1xa 例 計算Dn例 計算Dn例 計算范德蒙行列式Dan1.引 axax21 22 1.引 axax21 22 (a11a22a12a21)x1b1a22b2a12Dx1(a aa)xababDxD11 12 11 21 2.xaxaxb21 222n （1）D(aij0xj ，j1,2,,DjDj注D(aij0xaxax21 222nD(aij0該齊次線性方程組有非零解D0x1x2x3x42x3x4x5x例 解方程組 4x9x16x25x 8x127x264x3125x4ax1x2x3例 ax1x2x3例 設(shè)x1ax2x31,有無窮解，則a xax 2xxx練 已知 有非零解，則λ 2x λx 第二講矩陣及其運算1.2xaxaxb第二講矩陣及其運算1.2xaxaxb11 121n a1naxaxax2n 11 121nam1x1am2amnxn2.amna1n2n，其中aA(aijmn ，則A與B同型，且ABaijbij bAB2 bm單位矩 EnkEn對角矩 單位矩 EnkEn對角矩 nATAATATAAATE1.線性運 Aaij,Bbij加 ABaijbij數(shù) kAAkkaij2.ABAmsCmn，其中cijai1b1jai2b2jaisbsj 03，BAB6 1 A(BCAB)CA(BCABACAB)CACBCkAB)kA)BA(kB，其中kbAB2bAB2例bn例a11x1a12x2a1nxnxaxax21 222n 3.AA2AAAk.A0Ekfλλmλm1aλafAaAmAm1aAa3.AA2AAAk.A0Ekfλλmλm1aλafAaAmAm1aAaE m次多項式（A同階的方陣AklAk)lAkl，但是AB)kAk A2EAEAEAEAEAE)2A22AAB)2A22ABB2.例 4.（1）A,ATa 0α 44 （2）ATA,AB5.kAAkk為自然數(shù)AA的各個元素aijAij例 n階行列n2的各個元素aijAij例 n階行列n2nnA*AAA*A*AAE例 設(shè)A0,BABA*2BA*E 1.2.ABABBA2.ABABBAEABA1BB1A3.定 矩陣A可逆A0例 設(shè)A,求EA1推 設(shè)A,B為n階矩陣，若ABE（或BAE）,則A與B互逆設(shè)nAA2A4E0,則AE1 設(shè)nAA2A4E0,則AE1 例4.kA11A1k0Ak1A1k；A*1A1*（2）AB是兩個nAB也可逆，且AB1B1A1例 （2）A**n2ABA6B練 設(shè)矩陣A可逆，且A*BA1B1.AAAsA； 1.AAAsA； s例 設(shè)A0A,2.β1a1nβA2nα2 mnβmxaxax2.β1a1nβA2nα2 mnβmxaxaxb11 121n am1x1am2amnxnbmA為系數(shù)矩陣，Aα,α,,α，xx,x，βbb, 1x1α1x2α2xnαnβ1.背 ②用一個非0k③把某一方程的k2x1x24x39x4xx3x例如，用消元法求解線性方程組 xx 14431333x1x2x4xxx x2x 4x4x42，x33，0x122.rirjcickcjk0rc 3.對單位矩陣作一次33Ei,jE的第i,jE的第i,j000E0E2,40001Ei(k)：用數(shù)k0E的第i行或第i03.對單位矩陣作一次33Ei,jE的第i,jE的第i,j000E0E2,40001Ei(k)：用數(shù)k0E的第i行或第i00E0E2(k) 0Ei,j(k)Ejk倍加到第iE的第ikj00E0E1,4(k) 0定 16E(i,E(i(kE(i,j(kTi,j）E(i,j),ET(i(k))E(i(k)), ，Ei,jk1Ei,jkEi,j1Ei,j，EiEk Ei, Ei,j，Ei kE，Ei,j Ei,jk 4.等價矩陣ABPAQPQ注4.等價矩陣ABPAQPQ注AAE例 （C）A*1，2兩行得B*（D）A*1，2兩列得B*5.AXXAXAXBCXA1CB1X例 求A 1 例 已知A1B 0XXAX 例 已知A1B 0XXAXB1.矩陣的kAaA中任取kkk2個元素構(gòu)成kA的一個k2.rA)A3.rATrAc0rcArAβ1βAαrβ,βrArα βm（4）rABrA（5）A滿秩AA的行（列）Ax0Axβ（6）AB0rArBn（AB的行數(shù)（7）rABminrArBArAB（7）rABminrArBArABrBBrABrArAn,rAnrA*4.ABB的非零行數(shù)即rA例 已知A練 設(shè)n階矩陣Aa，且rA2，則a 了解n（數(shù)一要求（了解n（數(shù)一要求（bβ2αa,,, bm2.線性運算設(shè)α1200,α010,α00,1βα-3α4α 例1.定義設(shè)有向量組α1,α2,,αsk1α1k2α2ksαs為向量組α1,α2,,αs的一個線性組合，其中k1k2,ksβ使k1α1k2α2ksαsββ可以由α1,α2,,αsβα1,α2,,αs。注2）β可以由α1,α2,,αsβα1,α2,,αs例例 設(shè)α11,2,3,1,α5,5,0,11,α1,3,6,3,β2,1,3,t試問t取何值時 β不能由α1,α2,α3β能由α1,α2,α32.β1β2,βtα1,α2,,αs，即向量組β1β2,βt中每個向量均可由向量組α1,α2,,αs線性表示，則稱向量組β1,β2,,βt可由α1,α2,,αs線性表示。α1,α2,,αs與β1β2,βtα1,α2,,αsβ1β2,βt例 設(shè)向量（1）ε11,0,0,ε20,1,0 （2）α11,1,0,α21,1,0,α32,1,0 （3）β12,0,0,β0,0,1 1.引 考查向量組α11.引 考查向量組α10，α21，α30，α41例性表示例2.定義對于向量組α1,α2,,αsk1,k2,ksk1α1k2α2ksαs0則稱α1,α2,,αs線性相關(guān)，否則稱α1,α2,,αsk0kαkαkα0αk2αksαα可由1 2sα2,,αs線性表示，從而向量組α1,α2,,αs反之，若α1,α2,,αs線性無關(guān)，則當(dāng)k1α1k2α2ksαs0時，必有k1ks01）含有零向量的向量組必線性相關(guān)。4）兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)分量成比例，即設(shè)α1a1a2,an，α2b1b2,bn，則α1,α2線性相關(guān)a1b1a2b2anbn例 例 設(shè)α1,α2,α3線性無關(guān)，證明（1）α1α32α1α22α3α2（2）α1α2,α2α3,α3α1例 設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量若Am1α0,Amα0,證明向量組α,Aα,A2α,,3.向量組α1,3.向量組α1,α2,,αs線性相關(guān)α1,α2,,αss-1若sn，則α1,α2,,αs線性相關(guān)。若α1,α2,,αs無關(guān)，則sn若α1,α2,,αs中有一部分向量線性相關(guān)，則整個向量組α1,α2,,αs線性相關(guān)。若α1,α2,αs（4）nn維向量組α1,α2,,αn線性相關(guān)（無關(guān)）α1,α20（0（5）若向量組α1,α2,,αs線性無關(guān)，而α1,α2,,αsβ線性相關(guān)，則β可由α1,α2,,αs表示，且表示唯一。若α1,,αs線性無關(guān)，而β不能由α1,α2,,αs線性表示，則α1,,αsβ例 研究α1,α2,,αsα1,α2研究α1,α2,,αsα1,α2,,αs：α101 例 請找出向量組β10，β20，β31，β41的一個極大無關(guān)組，并把所0 1.定義設(shè)有向量組α1,,αs,αj1,,αjrαj1,,αjrα1,,αs中任一向量均可由αj1,,αjr線性表示，則αj1,,αjr為α1,,αs的一個極大無關(guān)組，極大無關(guān)組包含向量的個數(shù)為α1,,αs的秩，記為r(α1,,αs)r。2.rα1,α2,αss(s（1）α1,α2,,αs線性相關(guān)（無關(guān)）rα1,α2,αsβ2.rα1,α2,αss(s（1）α1,α2,,αs線性相關(guān)（無關(guān)）rα1,α2,αsβrα1,,αs（2）βα1,α2,,αs（3）β可用α1,,αs唯一表示rα1,,αsβrα1,,αssrα1,,αs,β1,,βtrα1,,αs（4）β1,,βtrβ1,βtrα1,,αsrα1,,αsrα1,αsβ1,βtrβ1,βt（5）α1,,αsβ1,,βt3.向量組α1,α2,,αsα1,α2,αsB，則rα1,,αsB3 2 例 設(shè) 7 5 ①α1,α2,α3③α1,α3,α5②α1,α3,α4④α1,α4,α5例 設(shè)向量組α11,1,1,3,α1,3,5,1,α2,6,10,a,α4,1,6,a10 向量空間的基本概 例 設(shè)向量組α11,1,1,3,α1,3,5,1,α2,6,10,a,α4,1,6,a10 向量空間的基本概 ab,bβTαβ,αα,ββa,,a 1n aα,ββa,,ab0 1n (α,α) a2a2a2 設(shè)向量組α1,α2,,αsβ1,α2β1,α3ββ2,α3βα，ββ，β,ββ,ββ,β β2,αsββs1,αsββαβ,β 4.規(guī)范正交基（正交矩陣的構(gòu)造方法設(shè)向量組α1,α2,,αn線性無關(guān)，先利用施密特正交化方法把α1,α2,,αn正交化得β1,β24.規(guī)范正交基（正交矩陣的構(gòu)造方法設(shè)向量組α1,α2,,αn線性無關(guān)，先利用施密特正交化方法把α1,α2,,αn正交化得β1,β2,,βn,,,η，則ηηηRn 令Qη,,QTQE，即Q為正交矩陣，此時Q1QT 1；ABA1B1AB例 設(shè)向量α11,1,0,α1,0,1,α1,1,1，試用該向量組構(gòu)造一個正交矩陣 設(shè)向量α1123,α32,1，試求與向量α,α都正交的向量α 例33xaxax代數(shù)形式21 222n am1x1am2amnxn向量形式x1α1xnαn x1α1xnαn2.Ax0bx0Axb1.引 x1x2x3（1）2x12x22x35x5x5x x1x2x3x2x3（2）xx12x23x33x2xx（3） x2x 2.解的判定2.解的判定定理只有零解特別地，Anxnx r( 有非零 A0設(shè)向量α11322,α2,11t,α3140，試問t 例量α1,α2,α33.解的性質(zhì)若η1,η2,,ηsAx0的解，則k1η1k2η2ksηsAx04.向量組ξ1,ξ2,,ξsAx0①每個ξiAx0②ξ1,ξ2,,ξsAx0的每個解向量均可由ξ1,ξ2,,ξsx1x2x3x1x2x3引例2x12x22x35x5x5x x1x22x3例 問λ為何值時，方程組x12x2x32xxλx 例 設(shè)例 設(shè)A Ax0例 設(shè)β1,β2,β3是Ax0的一組基礎(chǔ)解系，考查下列向量①β1,β2,β1β3③β1β2β3,β1β3②β1β2β3,β2,β1β3β1,β3,β1β2β3Ax0(B(C(D0rAr(Bn0rAr(Bn例Axβx1α1x2α2xnαnβ1.引 xxx x1x2x3x2x3（2）xx1x2x3xxx 2.解的判定Axb有解rArAbr，且rn有唯一解定理nAxb無解rArAb3.解的性質(zhì)若η1,η2,,ηs3.解的性質(zhì)若η1,η2,,ηsAxβk1η1k2η2ksηsAxβ的解k1k2ks1。k1η1k2η2ksηsAx0的解k1k2ks0。設(shè)η1,η2AxβA(η1η20，即η1η2Ax0設(shè)ξAx0的解，ηAxβA(ξηβ，即ξηAxβ Axβxk1ξ1knrξnrη，其中ξ1,,ξnrAx定理的基礎(chǔ)解系rrA),ηAxβ5.求解非齊次方程組Amnxβ例 當(dāng)λ,μ為何值時，線性方程x1x2x3x4xx2x 2x3xλx4x 設(shè)α11設(shè)α11121,α3412α453b2，β0a51a 例β不能由α1,α2,α3β能由α1,α2,α3β能由α1,α2,α3例 設(shè)4元線性方程組Axβ的系數(shù)矩陣的秩為3，η1,η2,η3是它的3個解向量，η(2,3,4,5)T,ηη(1,2,3,4)T，則Axβ的通解 AxAAxATAx0TxPAQ Q1AQ1.概 若存在可逆矩陣Q，使得Q1AQB,則稱矩陣A與B相似，記為AB；稱Q1AQA作相似變換。若Q1AQ λnAB（1）ATBTAkBkAB（1）ATBTAkBkA*B*A1B1（AB可逆（2）r(A)r(B);tr(A)tr(A);λ,λEλEBB3.nA可對角化存在可逆陣Q，使Q1AQn定理 n階矩陣A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量1.A為n階矩陣，如果存在數(shù)λxAxλx，則λAxA屬于特征值λ2 1 例 已知2，2，1都是3階矩陣A的特征向量，特征值依次為1，2，3，求矩陣A 2 2 4 11.A為n階矩陣，如果存在數(shù)λxAxλx，則λAxA屬于特征值λ2 1 例 已知2，2，1都是3階矩陣A的特征向量，特征值依次為1，2，3，求矩陣A 2 2 4 12 A22，A2224，A1313 1 12 22 213 26 22，A2 22.0λ1λ2,λnλEλi，求Ex0的非零解，得基礎(chǔ)解系η(rir(λiEA的全部特征向量為kη，其中knr 1 n階矩陣A的特征值有n個：λ1,λ2,,λn，可能其中有的不是實數(shù)，有的是多重的。λ重數(shù)即λλE0例 求矩陣A例 求矩陣A3.性質(zhì) 設(shè)Aαλα,α0，（1）(kA)α（2）(aAbE)αaAαbαaλαbα(aλ2AEα2Aαα2λαα2λ（3）AkαAk1AαAk1λαλkα.A3αAAAαAAλαλAAαλAλαλ2Aαλ3αA54A32A2EαA5α4A