云南省昆明市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

云南省昆明市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足zi=l-i,則匕卜()

A.72B.73C.2D.45

2.已知向量＜=(4+1,2),3=(2一1,3),若2〃刃,則4=()

A.—6B.—5C.—4D.—3

3.已知命題,：天￡R,2"v0,命題q:Vx￡＞0,則()

A.)和夕都是真命題B.r7和夕都是真命題

C.2和「9都是真命題D.和都是真命題

4.已知函數(shù)y=〃x),xeR且"0)=3,,(05(/))=2,〃=*,則/⑺的一個(gè)解析

式為()

A./(x)=3.2xB./(%)=3-2^C./(x)=34D./(x)=3-4^

5.某人連續(xù)投一枚骰子4次，記錄向上的點(diǎn)數(shù)得到一組樣本數(shù)據(jù)，若該組樣本數(shù)據(jù)的平均

數(shù)為2,則()

A.極差可能為5B.中位數(shù)可能為3C.方差可能為1D.眾數(shù)可能為4

6.已知尸為拋物線。：/=2°武。＞0)的焦點(diǎn)，過(guò)C上一點(diǎn)P作圓(x-2y+j?=r的兩條切

線，切點(diǎn)分別為尸,/,若PFS4,則。=()

124

A.-B.—C.1D.一

233

7.已知正四棱臺(tái)的體積為上、下底面邊長(zhǎng)分別為行,2行，其頂點(diǎn)都在同一球面上，

則該球的表面積為()

A.20兀B.25兀C.36兀D.50兀

8.函數(shù)/(x)=g+cos2x,xeLz+yl則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.HeR,使得f(x)為偶函數(shù)

B.HeR,使得曲線y=/(x)為中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.V/eR,/(x)存在極值

D.V/eR,/(X)存在兩個(gè)零點(diǎn)

二、多選題

9.等比數(shù)列｛%｝的公比為4,前〃項(xiàng)和為S“，｛S“｝為等差數(shù)列，則()

A.q=lB.S“=〃a“C.｛%+邑｝為等差數(shù)列D.｛。囚｝為等比

數(shù)列

10.已知函數(shù)f(x)=x(x-l)(x-a),“eR,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若/(3)=6,則/(1)=一1

B.若/(2)>0,貝！|0<2

C.若小)在(0,￡|上單調(diào)遞增，則”的范圍為a>0

D.函數(shù)/")有兩個(gè)極值點(diǎn)

2

11.已知雙曲線氏/-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為用工，點(diǎn)P在E的右支上，則下列說(shuō)法

8

正確的是()

A.若百片的周長(zhǎng)為24,則△尸原鳥(niǎo)的面積為48

B.|尸國(guó)2

C.0<tan^PFXF2<2

D.若/耳尸鳥(niǎo)為銳角，則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)范圍是(---8)58,+8)

三、填空題

X

12.已知函數(shù)〃x)=，,則/(3)=

/(x-2),x>0

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

13.已知sinacos￡=]tana=3tan￡,貝|sin（a+/）=.

14.甲、乙兩人先后在裝有〃，顆黑球的1號(hào)盒子與裝有“顆白球的2號(hào)盒子（m<〃,加eN*,

neN*）輪流取球，規(guī)定每次取球可以從某一盒子中取出任意多顆（至少取1顆），或者在

兩個(gè)盒子中取出相同顆數(shù)的球（至少各取1顆），最后不能按規(guī)則取的人輸.例如:當(dāng)m=\,n=2

時(shí)，甲先手不論如何取球，乙后手取球均有必定獲勝的策略.若機(jī)+〃=8,且后手取球者有

必定獲勝的策略，則滿足條件的一組數(shù)組（加,〃）可以為.

四、解答題

15.VABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為。，6,c,已知sin?/+sin25=sin2C+百sin/sinB.

⑴求C；

(2)若c=l,V4BC的面積為也，求V48C的周長(zhǎng).

4

16.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，AB1AD,COYAD,AO=-AD,PM=.

33

⑴證明:CM//平面P/2;

（2）若直線PO1平面ABCD,OA=AB=1,OC=OD=2,OP=^2,求平面PBC與平面PCD的

夾角的大小.

17.已知橢圓及W+￡=l（a>b>0）的短軸長(zhǎng)為2,離心率為等.

（1）求E的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)（0,6）作直線/與橢圓E相交于4B兩點(diǎn)，若|/用=半，求直線/的方程.

18.如圖，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別站在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每次由

一人隨機(jī)將球傳給另外三人中的一人,任意一人持球時(shí)，傳給位于相鄰頂點(diǎn)同學(xué)的概率為P,

傳給位于對(duì)角線頂點(diǎn)同學(xué)的概率為q,傳球3次為一輪.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

T丙

(i)已知第一次由隨機(jī)一名同學(xué)將球傳出，若p=q，設(shè)事件A為“一輪中每人各持一次球”.

(i)求0及事件A的概率；

(ii)設(shè)三輪傳球中，事件A發(fā)生的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)已知第一次由甲將球傳出，在一輪傳球中，乙、丙兩人，誰(shuí)兩次持球的可能性更大？

19.已知函數(shù)/=的定義域?yàn)?,設(shè)y曲線y=/(x)在點(diǎn)(尤處的切線交x

軸于點(diǎn)(不,0),當(dāng)“21時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)(x“J(x,))處的切線交x軸于點(diǎn)(X“M，O),依次類(lèi)推,

稱(chēng)得到的數(shù)列｛七｝為函數(shù)y=/(x)關(guān)于尤。的“N數(shù)列”，已知/(x)=2x-In(x+1).

⑴若",｝是函數(shù)y=關(guān)于％=1的“N數(shù)列”，求玉的值；

(2)若8g)=/(),｛%｝是函數(shù)〉=8("關(guān)于/=-1的“N數(shù)列”，記6“=log212a“+1|.

⑴證明:也｝是等比數(shù)列;

n+11

(ii)證明：￡sin：＜ln(log2(-b“+])),N.

i=21

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABDCCDADABCABD

題號(hào)11

答案BC

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)的模.

【詳解】由力=1一i,得z=Ei=T=巴

ii2-i

則忖二^（-i）2+（-i）2=V2,

故選：A.

2.B

【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?（2+1,2）3=俱一1,3）,

a//b，所以3（彳+1）-2（2-1）=0,解得2=-5.

故選：B

3.D

【分析】判斷出命題0、命題《、命題［4、命題R的真假可得答案.

【詳解】VxeR,2X>0,所以命題2：玉?11,2工<0是假命題，力是真命題，

當(dāng)0<xWl時(shí)，0<x2<1,所以16<0,

所以命題4：Vxe（0,+8）,lnx2>0是假命題，F(xiàn)是真命題，

對(duì)于A,。和0都是真命題，錯(cuò)誤；

對(duì)于B,力和4都是真命題，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,0和「4都是真命題，錯(cuò)誤

對(duì)于D,r5和［0都是真命題，正確.

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)各解析式分別代入即可.

【詳解】A選項(xiàng)：/（x）=3.2\/（0）=3成立，/（0.5?）=3.2°-5",/'（0.5（〃一1））=3.產(chǎn)（臼,

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

05

則/(/O(；O.(5"M))=3h-2?"2co5=區(qū)r-A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：/(x)=3?2Z,/(0)=|,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：/(x)=3-4\/(0)=3成立,/(0.5?)=3-405",/(0.5(H-1))=3-40-5(K-1),則

/(O.5n)3.40-5"

/(0.5(?-1))=3^^=4'=2>C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：〃X)=3-4，T,/(0)=-,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式可得匹+/+匕+七=8,且14再4/4退4尤446,再根據(jù)各個(gè)

數(shù)據(jù)特征值的概念及公式分別判斷即可.

【詳解】根據(jù)平均數(shù)的公式可得占+憶+%3+無(wú)4=8,JiL1<%!<x2<x3<x4<6,

A選項(xiàng)：若極差為5,則X]=l,x4=6,此時(shí)2+三=1不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：若中位數(shù)為3,貝1]失%=3,即9+退=6,且退23,此時(shí)再+匕=2與匕2尤3不

符，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：當(dāng)國(guó)=苫2=1,退=匕=3時(shí)，方差為GT)+仁2)+舊―2J+j=],c

4

選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：若眾數(shù)為4,則數(shù)據(jù)中至少有兩個(gè)為4,此時(shí)玉+%+無(wú)3+X4>8,不成立，D選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

故選：C.

6.D

【分析】利用拋物線的知識(shí)可以知道點(diǎn)尸，然后再利用切線和垂直即可求解.

【詳解】由題意易得尸(!■,()),

???過(guò)C上一點(diǎn)P作圓(》-2)2+r=/的兩條切線，切點(diǎn)分別為凡N,且P尸，尸N,

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

將點(diǎn)%代入拋物線方程可得r2=p\即廠=乙

.?.y=2,解得p=:

故選：D.

7.A

【分析】根據(jù)臺(tái)體體積公式可得臺(tái)體的高，即可利用勾股定理列方程求解半徑.

【詳解】在正四棱臺(tái)/2C。-44GA中，AB=26，4⑸=百，體積為

故？=|(2+8+V23T8)/I=>h=1

22

則BD=J(2魚(yú)尸+(2魚(yú)尸=4>B1D1=J(V2)+(V2)=2>

連接B。、NC相交于點(diǎn)E,BR、4G相交于點(diǎn)廠，

設(shè)外接球的球心為。，若。在臺(tái)體外，

設(shè)。到底面48CD的距離為力，

則半徑為R=7EB2+尼=］名產(chǎn)+(1+h)2,

即，4+八2=/1+(1+h)2,解得h=1,

若。在臺(tái)體內(nèi)，O到底面N2C。的距離為6,

則半徑為R=VEB2+h2=JfijF2+(1-/ip

即在+五-Jl+(1_爐,解得〃=-1,舍去,

綜上所述，〃=1,故火=石，所以4成2=20兀.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

故選：A.

8.D

【分析】利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】A：當(dāng)仁-；時(shí)，》(-/三］,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

此時(shí)/(-x)=；+cos(-2x)=g+cos2x=/,),A正確；

B：/(x)=g+cos2r,

令2%=q+而，keZ,解得工=：+與，keZ,

242

即函數(shù)/(X)=1+cos2x的對(duì)稱(chēng)中心為g+M)，左eZ,

即當(dāng),+,+?=2.停+燈，即；Y+白，后ez時(shí)，曲線y=/(x)為中心對(duì)稱(chēng)圖形，B正確;

10jr177rQTTTTT

C：因?yàn)椤▁)=±+cos入的最小正周期為7=?=兀，/+W-

v7223322

所以函數(shù)V/eR,/(無(wú))存在極值，C正確；

jr?7T7EI1

D：取%=-『則又/(x)=5+cos2x,

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在［-/()］上單調(diào)遞增，在(ogj上單調(diào)遞減，

又《小”*務(wù)1'7'(0)<+3()=|,d=；+"=-3

所以/(x)在，彳。］上沒(méi)有零點(diǎn)，在/e］上只有一個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤；

故選：D.

9.ABC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及公式可判斷.

【詳解】由已知｛SJ為等差數(shù)列，則當(dāng)“22時(shí)，邑-S,i=/為定值,

即?！盀槌?shù),

此時(shí)數(shù)列｛4｝為常數(shù)列,

又?jǐn)?shù)列｛%｝為等比數(shù)歹U，

則且g=l,an=ax,A選項(xiàng)正確;

此時(shí)$.=〃％,B選項(xiàng)正確；

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

+s,=。1+叼=("+1)%，%+S"T=〃％，"22,+5,)-(％+5,_])=%,即{%+S.}

為等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確；

q2

a?Sn=,ia-,氣」=產(chǎn)旌=<，?>2,不為定值，所以｛。巨,｝不為等比數(shù)列，D選

an-is?-i（1）4?-1

項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：ABC.

10.ABD

【分析】根據(jù)求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值直接可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)值情況解不等式可判

斷B選項(xiàng)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)，并可列不等式，解不等式判斷C選項(xiàng).

［詳解】由/（X）=X（X-1）（X-6Z）=X3-（（2+1）%2+d!X,貝［j/r（x）=3%2—2（Q+1）X+Q,

A選項(xiàng)：由/（3）=3,—（〃+1）.32+3Q=18—6Q=6,解得Q=2,

/（X）=3X2-6X+2,r（l）=3-6+2=-l,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)：/（2）=2（2-l）（2-a）=2（2-a）>0,解得a<2,B選項(xiàng)正確;

C選項(xiàng)，D選項(xiàng)：f(x)=3x2-2(a+l)x+a,

由△=[-2(a+l)]—4x3。=4(。2—。+1+3>0

所以令,(尤)=3尤2_2(a+l)x+a>0,解得x<“+j~+L或>a+l+J“~+L

33

a+1+

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一叫"+I-'；+1和^^￡±1；+00,

\7\7

4+1-JQ，-〃+1Q+1+A/?2~Cl+1

單調(diào)遞減區(qū)間為

33

則函數(shù)函數(shù)/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確；

又函數(shù)/（X）在（0,￡|上單調(diào)遞增，則白0+土1,解得°卻，

或a+l+-“+lVO,無(wú)解，綜上。加，c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3

故選：ABD.

11.BC

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合周長(zhǎng)可得歸匐=10,|邛￡|=2C=6,即可由直角三角形求解面

積，判斷A,根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的范圍，結(jié)合雙曲線定義即可求解B,根據(jù)漸

近線斜率即可求解C,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解D.

2

【詳解】E:X2——=1可得a=l,b=2V2,c=3,

8

由于點(diǎn)尸在￡的右支上，故|尸用尸閶=20=2,

對(duì)于A,若A/V笆的周長(zhǎng)為24,則戶周+|尸引+2c=2+2|尸引+2c=24n|尸閭=8,

進(jìn)而|尸凰=10,閨周=2c=6,故|尸片『=|甲球+|尸乙「，

故AP/g的面積為:忸用忸周=gx6x8=24,A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由于|尸名|2c-a=2,當(dāng)尸在右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)取到，

故|尸耳「_戶引2=2.尸團(tuán)+1尸用)=2424+2|尸段)=4+4|尸引212,故B正確，

對(duì)于C,由于雙曲線一三象限的漸近線方程為了=2②，

故tan/尸片片＜上漸近線=2近,

又當(dāng)尸在右頂點(diǎn)時(shí)，tan/P4為=0,故OWtan/尸耳此＜26，C正確，

對(duì)于D,設(shè)尸(x,y)(x＞0),乙(3,0),4(-3,0),

則尸片=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),

2

貝1」所.成=(_3_x)(3_x)+y2=x2+y2_9=y2_9+i+2S＞0,

8

解得/或＞＜一|,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，將問(wèn)題化為對(duì)?班＞0,從而得解.

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

12.-1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)直接求函數(shù)值.

【詳解】由分段函數(shù)可知/(3)=/(1)=/(-1)=(-1)^=-b

故答案為：T.

3?

【分析】利用商數(shù)關(guān)系由tana=3tan￡求出sin-cosc,再由兩角和的正弦展開(kāi)式計(jì)算可得

答案.

【詳解】因?yàn)閠ana=3tan〃，所以sinacos/?=3sin￡cosc=；,

所以sin/?cosa=g,

]14

^Jsin(a+6)=sintzcos￡+sin￡cosa=.

4

故答案為：—.

14.(3,5)

【分析】分(1,7)、(2,6)、(3,5)進(jìn)行討論，若甲有必勝策略則不符合，重點(diǎn)在于得出當(dāng)甲或

乙取完后盒中情況為。,2)或(2,1)時(shí)，此人必勝.

【詳解】由機(jī)+〃=8,機(jī)＜〃，貝!](加,〃)可能有以下三種情況：

①(1,7),甲可先手在2號(hào)盒子中取5顆球，此時(shí)盒中情況為(1,2),

則乙必不可能全部取完，乙后手取球后可能為。,1)、(0,1)、(0,2)或(1,0),

這時(shí)無(wú)論何種情況甲都可全部取完，故甲有必定獲勝的策略，不符；

②(2,6),甲可先手在2號(hào)盒子中取4顆球，此時(shí)盒中情況為(2,1),

同①，甲有必定獲勝的策略，不符；

③(3,5),甲先手后，若兩盒中球數(shù)一樣或有一盒取空，則乙可全部取完，乙必勝，

若兩盒中球數(shù)不一樣，則一定是以下兩種情況之一：

(i)有一盒中只有一個(gè)球，另一盒中多于兩個(gè)球；

(ii)有一盒中有兩個(gè)球，另一盒中多于兩個(gè)球；

無(wú)論為哪種情況，乙都可將其取為。,2)或(2,1),由①知，此時(shí)乙必勝，

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

故滿足條件的一組數(shù)組（加⑼只有（3,5）.

故答案為：（3,5）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于得到誰(shuí)能將盒中情況變?yōu)椋?,2）或（2,1）,則必勝.

71

15.d)C=-

6

(2)6+2

【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再利用余弦定理可得角C；

（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積，可得“+b,進(jìn)而可得周長(zhǎng).

【詳解】（1）因?yàn)?苗24+5吊23=5出（+而5111/51118,

由正弦定理得/+/=c1+y/3ab>

由余弦定理得cosC="2+"-C2=叵2=立,

2ab2ab2

又Ce（O,兀），

則C=g

6

（2）由已知S/Be=!仍sin。=Lqb.L=,即qb=G，

“BC2224

又/+/=/+也即（〃+b）2=c2+4^ab+2ab=1+3+26=4+26,

所以Q+Z）=1+百，

所以VNBC的周長(zhǎng)為〃+b+c=l+百+1=百+2.

16.（1）證明見(jiàn)解析

喏

【分析】（1）連接。w.分別證明（W//平面尸48,C。〃平面尸4B,即可證明平面MOC〃

平面P/8,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間角的向量求法，即可求得答案.

——?1—?1

【詳解】（1）因?yàn)槭琈=—尸。，所以9=—尸。，連接。河.

33

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

―?1—?1

因?yàn)?0=—40,所以/O=—ZD,

33

在中，變=0￡,所以QM〃尸/,OM(z平面尸48,K4u平面P/5,

OAMP

故OM〃平面尸48,

又在四邊形ABCD中，AB1AD,COYAD,

所以NB〃C。，OC(Z平面P48,4Bu平面P48,

故C?！ㄆ矫媸?/p>

因?yàn)镃On=。,CO,(Wu平面MOC,

所以平面MOC//平面PAB,

又CA/u平面MOC,所以CM〃平面P/B.

(2)在AP/O中，AO=1,OP=五,

因?yàn)镻O_L平面A8CZ),OCu平面/BCD,所以尸O_LOC,

ODu平面N3CD,所以尸OLOD,即尸。,OD,OC兩兩垂直.

以O(shè)C,00,03分別為x,“z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-平.

則A(0,-1,0),B(l,-1,0),P(0,0,V2),C(2,0,0),D(0,2,0),

BC=(1,1,0),PC=(2,0,-V2),DC=(2,-2,0),

4?BC=&+必=0,

設(shè)平面尸8c的法向量/=(Ki，yi，Zi),則

?PC=-V2zj=0

可取，=(1,-1,女)為平面PBC的一個(gè)法向量,

n-DC=2x,-2y=0

設(shè)平面尸CD的法向量叼=仁,％,z2),則22

n2-PC=2X2-6z[=0

可取0=(1,1,V2)為平面PCD的一個(gè)法向量,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

々?九2*|--?---?,---*]I

所以COS"],”2=l-ll-5,nl9n2G[0,K],所以

JT

所以平面尸8c與平面尸CD的夾角的大小為］.

2

17.（1）^+/=1

（2）y—\f3x+A/3y—+V3

b=\

【分析】（1）由題意得一匚廬_0，求出從而可求出橢圓方程;

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程y=fcv+6,

設(shè)4（久1，%）,3（久2，為），將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公

式列方程可求出左，從而可求出直線方程.

b=1

【詳解】（1）依題意：廠廬0，解得“=’2,

J1--7=—b=l

N/2

所以E的方程為二+/=1.

2

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，|^|=2,與題意不符，舍去；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程》=h+石，設(shè)4（%i，yi）,B（X2，y2），

x2_,

----Fy2=1?—

聯(lián)立!2，消y得：/+2（依+=2,

y—kx+y/3

整理得：（2/+1）/+4限^+4=0,

A=（4行左）2-16（2/+1）=16（/_1）>0,貝ij左?（-00,-1）U（l,+oo）,

-4限4

國(guó)+%=定口,2=罰，

4“4-18近

則|/同=y/1+k2/（再+/）2-49％=V1+A:2,

2左2+1―〒

BP744-1=2后（2/+1）,

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

貝(]17后4一32左2-57=0,即(17〃+19)儼一3)=0,

解得上=6或左=-6，

則直線I的方程為〉=在^+6或＞=-6尤+6.

122

18.(1)(i)p=],—；(ii)分布列見(jiàn)解析，E(X)=—.

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)

(i)球傳出后，可能給相鄰兩個(gè)的概率都為P,給對(duì)角線的概率為4,則2p+q=1,結(jié)合？=4,

解出即可.

2

(ii)由條件可得X~8(3,g),運(yùn)用二項(xiàng)分布的概率公式和期望公式求解概率即可.

(2)將乙丙兩次持球的概率求出來(lái)后，用作差法比較大小即可.

【詳解】(1)(i)由題意，球傳出后，可能給相鄰兩個(gè)的概率都為0,給對(duì)角線的概率為4,

則2p+q=l,

當(dāng)0=4,解得P=q=；.則尸(/)=C；C；

(ii)由條件可得X的取值有0」,2,3,且'~中,|1,

尸(X=l)=C；[I)[3=寨

尸(X=2)=C；

所以X的分布列為

X0123

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

34398288

P

729243243729

22

從而￡(X)=3X§=H.

乙3222

(2)P=2p3+pq2=p(2p2+q2),Pm=q+2qp=q(2p+^),

又與一斗=(222+/)(0一9)，22+9=1，

當(dāng)p=g=g，則七=七，乙、丙兩人兩次持球的可能性一樣大；

當(dāng)p>q,即;<p<g時(shí)，鄉(xiāng)>舄，乙兩次持球的可能性更大；

當(dāng)p<q,即0<〃<:時(shí)，當(dāng)<小，丙兩次持球的可能性更大.

21n2-l

19.(1)^—

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)“N數(shù)列”的定義，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出切線方程，即可求得答案；

(2)(i)根據(jù)“N數(shù)歹廣的含義，結(jié)合等比數(shù)列定義，即可證明結(jié)論；(ii)求出，=-2",即

1

可將原不等式轉(zhuǎn)化為Zsin二<1的+1),〃22,,〃eN,結(jié)合ln(〃+1)=Z[lni-ln(i-l)],轉(zhuǎn)化

i=2Ii=2

為證$山1<111111(1),，=2,3,,“，由此可結(jié)合不等式結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判

i

斷函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明即可.

113

【詳解】⑴由題意知，八幻=2--^-?/(l)=2-ln2,所以八1)=2-

x+11+12

3

曲線"x)=2x-ln(x+l)在點(diǎn)(1J(1))處的切線處的斜率為：，

所以曲線在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為y-(2-ln2)=|(x-l),

人八A7Jzn21n2-