2023年空間解析幾何與向量代數(shù)知識(shí)點(diǎn)題庫與答案

第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.重點(diǎn)

①向量的基本概念、向量的線性運(yùn)算、向量的模、方向角；

②數(shù)量積（是個(gè)數(shù)）、向量積（是個(gè)向量）；

③幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面；

④平面的幾種方程的表達(dá)方法（點(diǎn)法式、一般式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程），兩平面

的夾角；

⑤空間直線的幾種表達(dá)方法（參數(shù)方程、對(duì)稱式方程、一般方程、兩點(diǎn)式方程），

兩直線的夾角、直線與平面的夾角；

2.難點(diǎn)

①向量積（方向）、混合積（計(jì)算）；

②掌握幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的方程及二次曲面所相應(yīng)的圖形；

③空間曲線在坐標(biāo)面上的投影；

④特殊位置的平面方程（過原點(diǎn)、平行于坐標(biāo)軸、垂直于坐標(biāo)軸等；）

⑤平面方程的幾種表達(dá)方式之間的轉(zhuǎn)化；

⑥直線方程的幾種表達(dá)方式之間的轉(zhuǎn)化；

二、基本知識(shí)

1.向量及其線性運(yùn)算

①向量的基本概念：

向量:既有大小,又有方向的量；

向量表達(dá)方法：用一條有方向的線段（稱為有向線段）來表達(dá)向量有向線段的長度表達(dá)向

量的大小有向線段的方向表達(dá)向量的方向.；

向量的符號(hào):以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表達(dá)的向量記作靠.向量可用粗體字母

表達(dá)，也可用上加箭頭書寫體字母表達(dá)，例如，a、八八F或2、7、7、

F；

向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、%、壺的模分別記為⑷、油、|西

單位向量:模等于1的向量叫做單位向量；

向量的平行:兩個(gè)非零向量假如它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與8平

行,記作a//b.零向量認(rèn)為是與任何向量都平行；兩向量平行又稱兩向量共線.

零向量:模等于0的向量叫做零向量，記作0或零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向可

以看作是任意的.

共面向量：設(shè)有k(k3)個(gè)向量當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)假如k個(gè)終點(diǎn)和公共起

點(diǎn)在一個(gè)平面上就稱這k個(gè)向量共面；

兩向量夾角：當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí)兩個(gè)向量之間的不超過的

夾角稱為向量a與b的夾角記作或假如向量a與b中有一個(gè)是零向量

規(guī)定它們的夾角可以在0與之間任意取值；

②向量的線性運(yùn)算

向量的加法(三角形法則)：設(shè)有兩個(gè)向量a與b平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合

此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和記作a+b即ca+b.

平行四邊形法則：向量。與》不平行時(shí)，平移向量使。與力的起點(diǎn)重合，以內(nèi)b為鄰邊作一

平行四邊形,從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b.

向量的加法的運(yùn)算規(guī)律：⑴互換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+Z＞)+c=a+S+c).

負(fù)向量:設(shè)a為歷來量,與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,記為-

向量的減法:把向量。與分移到同一起點(diǎn)O,則從。的終點(diǎn)A向6的終點(diǎn)8所引向量最便

是向量b與a的差b-a.

向量與數(shù)的乘法：向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作規(guī)定a是一個(gè)向量它的模|a||||a|

它的方向當(dāng)＞0時(shí)與a相同當(dāng)＜0時(shí)與a相反當(dāng)0時(shí)|a|0即

為零向量這時(shí)它的方向可以是任意的

運(yùn)算規(guī)律：(1)結(jié)合律/(")=〃(&i)=(X〃)a；(2)分派律(2+〃)a=Aa+jUa；A(a+b)=Aa+Ab.

向量的單位化(設(shè)a0則向量是與a同方向的單位向量記為ea，于是a|a|ea

定理1設(shè)向量a*0,那么，向量b平行于a的充足必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù)4使/>=加.

③空間直角坐標(biāo)系

在空間中任意取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量入j、k,就擬定了三條都以。為原

點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)

成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,稱為Qpz坐標(biāo)系.

注：(1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位；

(2)通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線；

(3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則.

坐標(biāo)面：在空間直角坐標(biāo)系中，任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以擬定一個(gè)平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.

x軸及y軸所擬定的坐標(biāo)面叫做尤Oy面,另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面.

卦限：三個(gè)坐標(biāo)面把空間提成八個(gè)部分，每一部分叫做卦限，具有三個(gè)正半軸的卦限叫做第

一卦限，它位于尤Oy面的上方.在xOy面的上方，按逆時(shí)針方向排列著第二卦限、

第三卦限和第四卦限.在尤Oy面的下方，與第一卦限相應(yīng)的是第五卦限，按逆時(shí)針

方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限.八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、

iv、v、vi、VILvni表達(dá).

向量的坐標(biāo)分解式：任給向量r,相應(yīng)有點(diǎn)使=r.以為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱

作長方體，有r=OM=OP+PN+NM=()P+OQ+OR,

設(shè)OP=xi,OQ=yj,OR=zA,則r=OM=xi+yj+zk.

上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式，尤i、yj、zA:稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.

點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一相應(yīng)的關(guān)系

M<^r=OM=xi+yj+zk<^(x,y,z),

有序數(shù)％、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系。孫z)中的坐標(biāo)，記作r=(x,y,z);

向量r=O卷稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)。的向徑.

④運(yùn)用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

設(shè)Q=(6Zx,Cly,〃Z),b=(bx,by,Z?z)

。+8=(Qx+Z?%,dy-hby9Qz+bz).

a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz).

Aa-{Aax,右y4〃z).

運(yùn)用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行：設(shè)a=(ax,ay,〃z)M,b=(bx,瓦,Z?z),向量blla<^b=Aa,即

bllciodby,bz)=4(ax,ay,〃z),于是幺=%二%.

%ay%

⑤向量的模、方向角、投影

設(shè)向量r=(x,y,z),作OM=r,則

向量的模長公式

|r|二J%2+y2+z2.

設(shè)有點(diǎn)A(%l,yi,Zl)、B(X2,y2,22),

AB=OB-OA=(X2,丁2,Z2)-(凡yi,Z1)=(X2-X1,y2-yi,Z2-z。，

A.B兩點(diǎn)間的距離公式為:(

方向角：非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角、、稱為向量r的方向角

設(shè)r=(x,y,z),貝Ux=\r\cosa,y=\r\cos/3,z=|r|cos/.

cosa、cos/?、cos/稱為向量r的方向余弦.

COS1二告，cos/?=g,cos/=M?

\r\\r\|r|

從而COS26Z+COS2；04-COS27^=1.

投影的性質(zhì):

性質(zhì)1(〃)〃=|a|cos夕(即P瑜Q=|〃|COS夕),其中e為向量與〃軸的夾角;

性質(zhì)2(a+b)u=(a)u+(b)u(即PrjM(a+ft)=PqMa+PrjMfe);

性質(zhì)3(Aa)u=A(a)u(即Prj?(/kz)=2Prji(a);

2.數(shù)量積、向量積、混合積

①兩向量的數(shù)量積

數(shù)量積：對(duì)于兩個(gè)向量a和“它們的模嗣、制及它們的夾角。的

余弦的乘積稱為向量a和6的數(shù)量積,記作ab,即

ab=\a\|Z>|cos6).

數(shù)量積的性質(zhì)：

(1)a-a=|a|2.

(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量。、瓦假如a-b=0,貝UalZ>;

反之，假如aXJb,則a-b=0.

假如認(rèn)為零向量與任何向量都垂直,則aX-b=ab=0.

兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表達(dá)：

設(shè)Q(aJb),則當(dāng)awO、辰0時(shí),有

cos。=ab%瓦+叫6+5包

⑷⑶田+國+依優(yōu)+好+優(yōu)

數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)：

〃z),b=(bx,by,bz),貝Ua，b=axbx+ayby+ctzbz.

數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)互換律：。協(xié)二)?〃；

(2)分派律：(a+b)c-ac+bc.

(3)(入①仍=a?@b)=入(。協(xié))，

(九4>(日方)二九|i(a仍)，九、日為數(shù).

②兩向量的向量積

向量積:設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出:

C的模|c|=|a||臼sine,其中。為C與方間的夾角；

c的方向垂直于a與b所決定的平面,c的指向按右手規(guī)則從“轉(zhuǎn)向》來擬定.

那么，向量c叫做向量a與b的向量積,記作axb,即

c=axb.

向量積的性質(zhì)：

(1)axa=0;

(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a、仇假如axb=0,則al1b;反之，假如al1b,則axb=0.

假如認(rèn)為零向量與任何向量都平行,則allboaxb=0.

數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)互換律QX》=_》XG;

(2)分派律：(a+8)xc=axe+bxc.

(3)(Xa)xb=ax(Xft)=X(axb)(九為數(shù)).

數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá):設(shè)a=(ax,%,〃z),b=(bx,by,b。

axb=(aybz-azby)i+(azbx-axb》j+(axby-ayb。k.

為了邦助記憶,運(yùn)用三階行列式符號(hào),上式可寫成

ijk

a^b=axayaz=aybzi-}-azbxj+cixbyk-aybxk-axbzj-azbyi

bxbybz

=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k..

③三向量的混合積

混合積：先作兩向量a和b的向量積，把所得到的向量與第三個(gè)向量c再作數(shù)量

積，這樣得到的數(shù)量叫做三個(gè)向量a、b、c的混合積，記作[abc]

a*4%

[abc]=(。xZ?)?c=bxbybz

CxCyCz

混合積的幾何意義：混合積[abc]是這樣一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表達(dá)以向量a、b、c為棱的平行

六面體的體積，假如向量a、b、c組成右手系，那么混合積的符號(hào)是正的，假如

a、b、c組成左手系,那么混合積的符號(hào)是負(fù)的。

三個(gè)向量a、b、c共面的充足必要條件事他們的混合積[abc]=O即

%az

瓦bybz=0

gCyCz

3.曲面及其方程

①曲面方程的概念

假如曲面S與三元方程F(x,z)=0

有下述關(guān)系：

(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=O;

(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0,

那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.

例如：方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2(表達(dá)球心在點(diǎn)M0(x0y0z。)、

半徑為R的球面

②旋轉(zhuǎn)曲面

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫

做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.

設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線C,它的方程為

f(y,z)=o,

把這曲線繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以Z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程為

f(±Jx2+y2,z)=0,

這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

在曲線C的方程八%z)=0中將y改成士田鏟，便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面

的方程f(±y/x2+y2,z)=0.

同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

f(y,±Vx2+z2)=o.

③柱面

柱面:平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的

準(zhǔn)線,動(dòng)直線L叫做柱面的母線.

例如方程/+產(chǎn)=配在空間直角坐標(biāo)系中表達(dá)圓柱面，它的母線平行于z軸，它的準(zhǔn)線是xOy

面上的圓/+9=代.

一般地，只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空間直角坐標(biāo)系中表達(dá)母線平行于z軸的柱面,

其準(zhǔn)線是xOy面上的曲線C:F(x,y)=0.

類似地，只含X、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分別表達(dá)母線

平行于y軸和無軸的柱面.

④二次曲面

三元二次方程所表達(dá)的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面.

⑴橢圓錐面

由方程C+/_=z2所表達(dá)的曲面稱為橢圓錐面.

⑵橢球面

由方程。?=1所表達(dá)的曲面稱為橢球面.

⑶單葉雙曲面

由方程號(hào)+步■-m=1所表達(dá)的曲面稱為單葉雙曲面.

(4)雙葉雙曲面

由方程4-^-4=i所表達(dá)的曲面稱為雙葉雙曲面.

"Z?2cz

⑸橢圓拋物面

22

由方程與v+==Z所表達(dá)的曲面稱為橢圓拋物面.

(6)雙曲拋物面.

由方程?￡

=z所表達(dá)的曲面稱為雙曲拋物面.雙曲拋物面又稱馬鞍面.

方程=1,x1=ay,

b2

依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面.

4空間曲線及其方程

①空間曲線的一般方程

設(shè)F(x,y,z)=0和G(尤,y,z)=0是兩個(gè)曲面方程,它們的交線為C

所以C應(yīng)滿足方程組

]F(x,%z)=O

[G(x,y,z)=O

上述方程組叫做空間曲線C的一般方程.

②空間曲線的參數(shù)方程

空間曲線。上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)小丁、Z表達(dá)為參數(shù)/的函數(shù)：....⑵

z=zQ)

當(dāng)給定t=ti時(shí)，就得到C上的一個(gè)點(diǎn)(Xi,A,Z1);隨著t的變動(dòng)便得曲線C上的所有點(diǎn).方程組

(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.

③空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面，投影柱面

與xOy面的交線叫做空間曲線C在無Oy面上的投影曲線，或簡(jiǎn)稱投影(類似地可以定義曲線

C在其它坐標(biāo)面上的投影).

設(shè)空間曲線C的一般方程為.

(G(x,y,z)=0

設(shè)方程組消去變量z后所得的方程

H(x,y)=0,

這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.

曲線C在xOy面上的投影曲線的方程為:

H(x,y)=0

z=0

5平面及其方程

①平面的點(diǎn)法式方程

法線向量:假如一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法線向量.

已知平面上的一點(diǎn)MO(xOyOzO)及它的一個(gè)法線向量n(ABC),

平面的點(diǎn)法式方程為:A(xxO)B(yyO)C(z(zO)0

②平面的一般方程

平面的一般方程為：AxByCzD0,其中xyz的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法

線向量n的坐標(biāo)即n(ABC)

特殊位置的平面方程：

D=0,平面過原點(diǎn).

n=(0,B,O,法線向量垂直于無軸,平面平行于無軸.

n=(A,0,C),法線向量垂直于y軸,平面平行于y軸.

n=(A,B,0),法線向量垂直于z軸,平面平行于z軸.

n=(0,0,C),法線向量垂直于無軸和y軸,平面平行于xOy平面.

n=(A,0,0),法線向量垂直于y軸和z軸,平面平行于yOz平面.

n=(0,B,0),法線向量垂直于x軸和z軸,平面平行于zOx平面.

求這平面的方程

③平面的截距式方程為：(其中a0b0c0)該平面與x、y、z軸的交點(diǎn)

依次為P(a00)、Q(0b0)、R(00c)三點(diǎn)而a、b、c依次叫做平面在

x、y、z軸上的截距

④平面的三點(diǎn)式方程為：=0其中M(),N()

P(￡，＞3，Z3)是平面上的三點(diǎn)。

⑤兩平面的夾角

兩平面的夾角：兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.

設(shè)平面4和萬的法線向量分別為m=(Ai,Bi,G)和"2=(4,Bz,C2),那么平面口和"的夾角6

應(yīng)是和(-/："2)=萬-(炳：“2)兩者中的銳角,

A

COS6)=1COS(?1,?)|-|A42+與82+G021

2J蜀+府+(7：.J國;段+廢

平面771和近垂直相稱于4A2+8I&+CC2=0;也即%垂直于％

平面77i和憶平行或重合相稱于孕=裳=反.也即%平行于%

設(shè)Po(xo,g,zo)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn),Po到這平面的距離公式為.

_IAY()+,By0+CZQ+D\

7A2+B2+C2

6空間直線及其方程

①空間直線的一般方程

空間直線L可以看作是兩個(gè)平面刀1和正的交線.

假如兩個(gè)相交平面771和正的方程分別為Aix+Biy+Ciz+Di=Q和

A2x+B2y+Ciz+D2=0,那么直線L滿足方程組

[4x+B]y+Gz+Q=0/1\

[A2X+B2y+C2z+D2=0.

上述方程組叫做空間直線的一般方程.

②空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程

方向向量：假如一個(gè)非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量.

容易知道,直線上任歷來量都平行于該直線的方向向量.

己知直線L通過點(diǎn)M0(x0y0x0)(且直線的方向向量為s(((mnp)則直線L

的方程為:(叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程

注：當(dāng)m,n,p中有一個(gè)為零，例如m=Q,而n,p^=0時(shí),這方程組應(yīng)理解為

x—x0

'y-yo_z-^o；

.np

當(dāng)m,n,p中有兩個(gè)為零，例如m=n=0,而pM時(shí),這方程組應(yīng)理解為

x-xo=O

j-%=0

設(shè)七包=2z2k=三,得方程組

mnp

x=x^+mt

＜尸為+而?

z=zQ+pt

此方程組就是直線L的參數(shù)方程.

③兩直線的夾角

兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角.設(shè)直線心和心的方向向量分別

7rs

為Sl=（/〃1,721,pi）和S2=0"2,改，P2）,那么Al和乙2的夾角夕就是以：S2）和（-S；:S2）=-（$1：2）兩

者中的銳角，因此COS9=|COS（S］；S2）I

A\mAm2+nin2+pxp2\

COS°=|COS（S1,s2）|

J喈+/；+/；?

設(shè)有兩直線Li：七五=2zX=￡z3,心：土玉=匕逐=±至，則

mi々Pim2n2p2

L1±L20帆1機(jī)2+〃l〃2“l(fā)P2=0；

/1上。2=△=且

m2TliPz

④直線與平面的夾角

當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線和它在平面上的投影直線的夾角0稱為直線與平面的夾角，當(dāng)

直線與平面垂直時(shí),規(guī)定直線與平面的夾角為9.

設(shè)直線的方向向量s=（九n,p）,平面的法線向量為"=（A,B,Q,直線與平面的夾角為夕，那么

（P*丁｛s:n）|,因此sin°=|cos（s：n）|

sin^=;\Am+Bn+Cp\

7A2+B2+C2-ylm-+n2+p2

由于直線與平面垂直相稱于直線的方向向量與平面的法線向量平行,所以,直線與平面垂直

相稱于

A^B=C

mnp

由于直線與平面平行或直線在平面上相稱于直線的方向向量與平面的法線向量垂直，所以,

直線與平面平行或直線在平面上相稱于Am+Bn+Cp=0.

設(shè)直線L的方向向量為（m,n,p）,平面刀的法線向量為（A,B,C）,則

ZJJ7O3=￡=C;

mnp

L1177=Am+Bn+Cp=O.

三、疑難點(diǎn)解析

（1）數(shù)量積、向量積、混合積易混怎么辦？

答：數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量無方向、向量積是個(gè)向量有方向，算出來的向量垂直于兩向量

構(gòu)成的平面，且滿足右手法則?；旌戏e也是個(gè)常數(shù)。

數(shù)量積:a?b|n|\b\cosaxbxaybyazbz

向量積式ab（,|c|\a^b\sin

ijk

axb=axavaz=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi

bxbybz

混合積：[abc]==

（2）已知平面圖形的方程如何求出該圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的方程？

答：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣用通俗的語言描述就是：：“繞誰（如x）旋轉(zhuǎn)誰不變，此外

一個(gè)字母變成”。

（3）同一個(gè)方程在空間和在平面中表達(dá)的圖形為什么不同樣？

答：例如：，在平面上只有兩個(gè)坐標(biāo)，所以表達(dá)的是一個(gè)圓，但在空間中是三維坐標(biāo)的，

這個(gè)方程表達(dá)的就是圓柱了，即當(dāng)滿足上述方程，則對(duì)任意的z,也滿足這個(gè)方程。

（4）求平面方程有幾種方法,具體用于求平面方程時(shí)要注意哪些關(guān)鍵的東西？

答：求平面方程時(shí)最關(guān)鍵的就是要找到平面中的一個(gè)點(diǎn)和平面的法向量,求平面的法向量經(jīng)

常會(huì)用到兩向量的叉乘的方向的性質(zhì)來解決法向量,也即找到兩個(gè)向量做叉乘后所得到的向

量便可做所求向量的法向量。

(5)解與直線和平面相關(guān)的題時(shí)如何分析？

答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直線的找方向向量。然后在根據(jù)具體題來分析該如

何使用法向量和方向向量。

四、考點(diǎn)分析

(一)向量的的基本概念的相關(guān)知識(shí)

例1.平行于向量的單位向量為.

解：

例2.設(shè)已知兩點(diǎn)，計(jì)算向量的模，方向余弦和方向角.

解、-(-1,-,1)

I1411271c3冗71

=2,cosa=——,cos/>=——,cos/=—,a=—=——，/=一

1121222343

例3.設(shè)，求向量在x軸上的投影，及在y軸上的分向量.

解：a=13i+7j+15k,所以在x軸上的投影為13,在y軸上的分量為7j

例4、在空間直角坐標(biāo)系｛O;｝下，求M(a,b,c)關(guān)于

(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［解］:M(a,b,c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,-c),

M(a,b,c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(一a,b,c),

M(a,b,c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,—b,c),

M(a,b,c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為

M(a,b,c)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,b,—c),

M(a,b,c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一4,一〃,c).

M(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)薪物寸稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一〃,一",一c).

(二)向量的數(shù)量積、向量積、混合積的計(jì)算

例5.設(shè)，求⑴(3)a、b的夾角的余弦.

解：⑴

ijk

axb=3—1—2=5i+j+7左

12-1

(2),

,c、,A..a-b3

(3)cos(a,6)=||

\a\-\b\2V21

例6.知，求與同時(shí)垂直的單位向量.

解：

ijk

a=MXM'2x=24-l=6i-47-4左

0-22

±同_±12717，2歷，2舊｝

即為所求單位向量。

例7、已知，求的面積

解：思緒：=答案：

其中，|0A|=

例8、求單位向量，使且軸，其中

解：取，則。==8j-6k,=10,=，答案:

例9、a2=3,axb={1,1,1},求N(a,b)

解：=,?tan，答案：

例10.已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計(jì)算：

(1)(?+b)2;(2)0+S)(a-S);(3)(3a-2b).(b-3c);(4)0+2b-c)2

解：

(1)(。+^)2=a+2az+b=1+2x0+22=5;

(2)(%+b)(a-b)=a2+b'=l-22=-3;

(3)(3a-2b).(B-3c)=3az-lb-9a.c+6b.c

。7

=-8-9x3.cos60°+6x2x3cos60°o=——;

2

(4)(a+2刃一c)2=a+4ab-lac-4bc+46+c~

=1—2x3cos60°-4x2x3cos60+4x22+32=ll

例11.已知平行四邊形以｛1,-2,1｝為兩邊

求它的邊長和內(nèi)角求它的兩對(duì)角線的長和夾角解

或

例12.已知，試求：

解：；.4.

原式=.

原式==9

例13、已知直角坐標(biāo)系內(nèi)矢量的分量，判別這些矢量是否共面?假如不共面,求出以它們?yōu)?/p>

三鄰邊作成的平行六面體體積.，，.，，.解：共面：

=二向量共面不共面=；?向量

不共面以其為鄰邊作成的平行六面體體積

(三)求平面的曲線與曲面

例14.一動(dòng)點(diǎn)到的距離恒等于它到點(diǎn)的距離一半，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并指出此軌

跡是什么圖形？

解:動(dòng)點(diǎn)在軌跡上的充要條件是。設(shè)的坐標(biāo)有化簡(jiǎn)得

故此動(dòng)點(diǎn)河的軌跡方程為(x-6y+/=36

此軌跡為橢圓

例15.把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程.

工工工

⑴y2=x3;(2)%<+V=〃，，(〃>0)；(3)%3+y3-3axy=0,(a>0).

解:⑴卜=/3

y=t

J_J_J_

令1=^zcos48,代入方程

iiii

得=a。一a，cos20=sin2O.y=6zsin40

,x=6ZCOS40

.??參數(shù)方程為,.

y=asin40

⑶令y=Zx,代入方程%3+y3_3。個(gè)=0

得(1+F卜3—3〃比2=0

=>x2[(1+/卜—3T=0

八53at

=>x=0或x=-----r

1+F

、“Cr_L八”3at43ati

當(dāng)％=0時(shí)，y=0;當(dāng)%=-----時(shí)，y=------r

1+r1+r

3at

x=

i+7

故參數(shù)方程為<

3at2

y=

1+t3

(四)空間的曲線與曲面方程及投影

一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，與及平面等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，

則A/(x,y,z)eCu>MA-\z\

亦即^(x-4)2+y2+z2=|z|

(x-釬+/=o

由于上述變形為同解變形,從而所求的軌跡方程為

求下列各球面的方程：

(1)中心，半徑為；

(2)中心在原點(diǎn)，且通過點(diǎn)；

(3)一條直徑的兩端點(diǎn)是(2-3,5)與(4,1,-3)

(4)通過原點(diǎn)與(4,0,0),(l,3,0),(0,0,T)

(5)求中心在C(3,-5,2)且與平面2x—y—3z+11=0相切的球面方程。

解：(1)所求的球面方程為：

(x-2)2+(y+l)2+(z-3尸=36

(2)球面半徑R=〔6?+(—2)2+3z=7

所以類似上題,得球面方程為

x2+y2+z2=49

(3)球面的球心坐標(biāo)，球的半徑，所以球面方程為：

(X-3)2+(y+l)2+(z—l)2=21

(4)設(shè)所求的球面方程為：

因該球面通過點(diǎn)，所以

7=0

16+8g=0

4(1)

10+2g+6%=0

16—8左=0

解(1)有

7=0

h=—1

g=-2

k=2

所求的球面方程為x2+y2+z--4x-2y+4z^0

(5)球面的半徑為C到平面：的距離，它為:

所以,規(guī)定的球面的方程為：

(x—3)2+0+5)2+(Z+2)2=56.

即：

例17、(1)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程為—

,曲面名稱為.

2)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程

,曲面名稱為.

3)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方

程為,曲面名稱為.

4)在平面解析幾何中y=x?表達(dá)____________圖形。在空間解析幾何中

y=/表達(dá)______________圖形.

解：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣：“繞誰(如x)旋轉(zhuǎn)誰不變，此外一個(gè)字母變成

(1)/+z2=2x,旋轉(zhuǎn)拋物面

(2)x2+y2+z2=2x,球面

(3)繞x軸：旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面

繞y軸：旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

(4)、拋物線，拋物柱面

5)畫出下列方程所表達(dá)的曲面

(1)z2=4(x2+y2)

解:

'o

(2)z=4(x2+y2)

解

例18、(1)、指出方程組在平面解析幾何中表達(dá)____________圖形，在空間=

析幾何中表達(dá)______________圖形.

(2)、求球面，+y2+z2=9與平面x+z=l的交線在xOy面上的投影方程.

(3)、求上半球OWzW與圓柱體％2+y2Wax(a〉0)的公共部分在

xOy面及xOz面上的投影.

(4)、求曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線？

解：(1)、平面解析幾何表達(dá)橢圓與其一切線的交點(diǎn)；空間解析幾何中表達(dá)橢圓柱面與其

切平面的交線。

j2x2-2x+y2=8

m、v

z=0

(3)、在xoy面的投影為：，

在xOz面的投影為(?):

(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲線在面上的投影曲線方程為

F。原曲線是由旋轉(zhuǎn)拋物面y2+z2—2x=0被z=3平面所截的拋物線。

z=0

例19、已知柱面的準(zhǔn)線為：

'(x-l)2+(y+3)2+(z-2)2=25

<

x+y-z+2=0

母線平行于軸，求該柱面方程；

解:從方程

^-l)2+(y+3)2+(z-2)2=25

<

x+y-z+2=0

中消去，得到：

即：

此即為規(guī)定的柱面方程。

例20、已知橢圓拋物面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱面為面與面，且過點(diǎn)和，求這個(gè)橢圓拋物

面的方程。

解：據(jù)題意可設(shè)，規(guī)定的橢圓拋物面的方程為:

22

令擬定a與〃

???(1,2,6)和(1-1,1)均在該曲面上。

有：

14

-----1-----=12

a2b2

11

-------1-----=2

[9a-b2

y13616

從而—7=,——

a25b25

所以規(guī)定的橢圓拋物面的方程為:

即:

(五)求平面方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類常見的重要題型(找到平面過的點(diǎn)和平面的法向

量)

注意運(yùn)用兩向量的叉乘知識(shí)來解決平面的法向量。

例21⑴、求過點(diǎn)(3,0,-1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

解：平面過點(diǎn)為(3,0,-1),且與平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量

為，再由平面方程的點(diǎn)法式方程知所求方程為：

(2)、求過點(diǎn)(1,1,-1),且平行于向量a=(2,1,1)和b=(l,T,0)的平面方程.

解：由于所求平面平行于向量aE2,l,l)和b=(l,-l,0),所以知道平面的法向量垂直于向

量a<2,l,1)和b=(l,-l,0),根據(jù)向量的叉乘知，在由點(diǎn)法式方程知所求平面為：。

(3)、求平行于xOz面且過點(diǎn)(2,-5,3)的平面方程.

解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y軸，所以可以用z軸上的單位向量(0,1,0)為法

向量，再由點(diǎn)法式方程知所求平面為：

(4)、求平行于x軸且過兩點(diǎn)(4,0,-2)和⑸1,7)的平面方程.

解：由于平面過兩點(diǎn)M(4,0,-2)和N(5,1,7),所以過向量=(1,1,9),由由于所求平面

平行于x軸，所以平面平行于x軸上的單位向量i=(1,0,0),從而，再由點(diǎn)法式方程知

所求平面方程為：

x—2y+4z—7=0

(5)、求過點(diǎn)(2,0,-3)且與直線7垂直的平面方程.

3x+5y—2z+l=0

解：直線的方向向量可以作為所求平面的法向量，所以，在由平面的點(diǎn)法式方程知所

求平面為：

(6)、求過點(diǎn)⑶1,-2)且通過直線*=皿=三的平面方程.

521

解：由于平面過直線，所以過直線上的點(diǎn)A(4,-3,0),已知過點(diǎn)B(3,1,-2),從而過向量

及直線的方向向量因此平面的法向量可求出，再由平面的點(diǎn)法式方程知所求平面為:

2%—2y+4z—7—0

(7)、求過點(diǎn)(20—3)且與直線1-'垂直的平面方程。

3x+5y—2z+l=0.

解：

所求平面方程為(x-2)-(y—0)—(Z+3)=0

即x-y-z-5=0

(8)、求過點(diǎn)，，且垂直于的平面.

解：法一：，所求平面法向量，且

___iik

.,.取〃=MM,x%=-74-3={6,3-10}

6-23

又平面過點(diǎn)，則平面方程為

解法2.在平面上任取一點(diǎn)，則和共面，由三向量共面的充要條件得，整理得所求

平面方程

(9)、求過直線，且與直線：平行的平面.

解：用平面束。設(shè)過直線的平面束方程為

由于所求平面與直線：平行，則所求平面的法向量()與直線的方向向量(1,T,2),

從而，因此所求平面方程為。

(10)、求通過了軸其與點(diǎn)M(5,4,13)相距8個(gè)單位的平面方程。

解:設(shè)通過軸的平面為它與點(diǎn)相距8個(gè)單位，從而

:'：可=8.二4882—10480—10502=0.因此(123—35C)(43+3C)=0.

從而得12B—35C=0或4B+3C=0.于是有B:C=35:12或5:C=3:(T).

所求平面為35y+12z=0或3y—4z=0.

(11)求過A(1,1,-2),B(-2,-2,2),C(1,-1,2)三點(diǎn)的平面方程

解-1,2Z，】，THa-2,33

■i=(l,-1,2X2-2.2)=0,1.0),

所求平面的法線向量為

iJ*1

■=i11Kli=0_23=-3i+9j,64.

31O|

所求平面的方程為

-SD+K尸即

(12)、已知直線，直線，求過且平行的平面方程。

解：

在上任取一點(diǎn)，

故所求平面方程為(x—1)—3(y—2)+(z—3)=0即x—3y+z+2=0

(13)、求過軸，且與平面的夾角為的平面方程.

解：平面過軸，不妨設(shè)平面方程為，則，且(

不全為)，已知平面的法向量為，兩平面的夾角為，根據(jù)兩法向量與兩平面的關(guān)系

有，

所以所求的平面方程為：或

(六)求直線方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類常見的重要題型(找出直線所過的點(diǎn)與直線方向向

量)

例22(1)、求過點(diǎn)(1,2,3)且平行于直線二=工匚==的直線方程.

215

解：由于所求直線平行于直線，所以可取所求直線的方向向量為(2,1,5),又由于過點(diǎn)

(1,2,3),由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：

(2)、求過點(diǎn)(0,2,4)且與兩平面%+22=1,y-3z=2平行的直線方程.

解：所求直線與兩平面，平行，所以該直線垂直于這兩平面的法向量，所以也垂直于

這兩法向量構(gòu)成的平面，有兩向量的叉乘知可去所求直線的方向向量為，再由直線的對(duì)

稱式方程知所求直線方程為：

xy-2z-4

^2~3~1

（3）求過A/。（―1,0,4）且平行于平面3%—4丁+2—10=0又與直線學(xué)=）『=：相

交的直線方程。

解：設(shè)所求直線方程為

所求直線與已知平面平行,則所求直線的方向向量與已知平面的法向量垂直即有（1）

又所求直線與已知直線（相交）共面，在已知直線上任取一點(diǎn)，則

在平面上。三向量（所求直線，已知直線，）共面，得，

即10〃2—4〃-3P=0（2）

由（1）（2）,得所求直線方程：

程.

（4）、求在平面：上，且與直線垂直相交的直線方程.

解：所求直線與已知直線L的交點(diǎn)，過交點(diǎn)且垂直于已知直線的平面為。

答案：

（5）通過點(diǎn)A（-3,0,1）和點(diǎn)3（2,—5,1）的直線；

解:所求直線的方向向量為（5,-5,0）

由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：，亦即。

（6）通過點(diǎn)M（l—5,3）且與羽y,z三軸分別成60°,45°,120°的直線；

解:欲求的直線的方向矢量為：，

故由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：。

（7）通過點(diǎn)2）且與兩直線『=j=V■和;==工垂直的直線；

O

解:欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：

x—1_y_z+2

---------------------------=---------------------O

112

x+y+z+l=O,

（8）用對(duì)稱式方程及參數(shù)式方程表達(dá)直線

2%—y+3z+4=0.

解：，取得

5

_1z—

故直線的對(duì)稱式方程為2=匕=—4

4-1-3

x=4t

直線參數(shù)式方程為(y=T+l

z=-3t+—

[4

（七）運(yùn)用平面與直線的位置關(guān)系找出法向量與方向向量，求平面與直線的夾角、距離、

位置關(guān)系、直線與平面的交點(diǎn)計(jì)算等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類題型

例23.判別下列各直線之間的位置關(guān)系：

x=1+2?,

1)L,:—X+1='+1=~+1與L,:<y=2+t,

1232-

z=3.

解：，，

所以A

±L2

‘2x+y-1=0,

(2)L,:—x=———與L,:<

1