山西省太原市2024年中考二模數(shù)學(xué)試題（含解析）

山西省太原市上期期末復(fù)習(xí)重點名校2024年中考二模數(shù)學(xué)試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.若一次函數(shù)丁=奴+人的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則下列不等式一定成立的是（）

b

A.a+b<0B.a-b>0C.ab>0D.-<0

a

2.估計J7+1的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

3.如圖，在。O中，弦AC〃半徑OB,ZBOC=50°,則NOAB的度數(shù)為（）

A.25°B.50°C.60°D.30°

4.如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的OO的圓心O在格點上，則NBED的正切值等于（）

5.為了盡早適應(yīng)中考體育項目，小麗同學(xué)加強(qiáng)跳繩訓(xùn)練，并把某周的練習(xí)情況做了如下記錄：周一（160個），周二（160

個），周三（180個），周四（200個），周五（170個）.則小麗這周跳繩個數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.180個，160個B.170個，160個

C.170個，180個D.160個，200個

6.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是邊AB,CD上的點，AE=CF,連接EF,BF,EF與對角線AC交于點O,

且BE=BF,NBEF=2NBAC,FC=2,貝!|AB的長為（）

A.873B.8C.473

7.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件:①AB=BC,②NABC=90。,③AC=BD,④AC，BD

中選兩個作為補充條件，使口ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯誤的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

8.一組數(shù)據(jù)8,3,8,6,7,8,7的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（)

A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7

9.如圖，在AABC中,點D為AC邊上一點，N￡>BC=NABC=逐,AC=3則CD的長為（）

B.C.2D.2

22

10.在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上,如果AD=2,BD=3,那么由下列條件能夠判定DE〃BC的是（）

DE2DE2AE2AE2

A.B.C.D.

BC3BC5AC3AC5

11.如圖，有一矩形紙片ABCD,AB=10,AD=6,將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE,再將AAED以

DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F,則ACEF的面積為（）

BADBDBA

DECE

A.4B.6C.8D.10

12.如圖，圖1是由5個完全相同的正方體堆成的幾何體，現(xiàn)將標(biāo)有E的正方體平移至如圖2所示的位置，下列說法

中正確的是（）

A.左、右兩個幾何體的主視圖相同

B.左、右兩個幾何體的左視圖相同

C.左、右兩個幾何體的俯視圖不相同

D.左、右兩個幾何體的三視圖不相同

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.某校為了解學(xué)生最喜歡的球類運動情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生只寫一類最喜歡的球類

運動，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分

那么，其中最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為%

14.某學(xué)校組織學(xué)生到首鋼西十冬奧廣場開展綜合實踐活動，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們在距奧組委辦公樓（原首鋼老廠區(qū)的

筒倉）20m的點3處，用高為0.8機(jī)的測角儀測得筒倉頂點C的仰角為63。，則筒倉CZ＞的高約為機(jī).（精確到

O.lzra,sin63°~0.89,cos63°~0.45,tan63°=1.96)

15.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東

門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”

用今天的話說，大意是：如圖，。瓦G是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于G。

的中點，南門K位于瓦）的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點。在

直線AC上）?請你計算KC的長為步.

16.函數(shù)的自變量x的取值范圍是.

x—3

17.ABC中，AB=15,AC=13,高AO=12,則ABC的周長為。

18.已知一個正數(shù)的平方根是3x—2和5x—6,則這個數(shù)是.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）計算：（萬）一2-炳+（-2）°+|2-瓜|

20.（6分）如圖所示，AC=AE,Z1=Z2,AB=AD.求證：BC=DE.

21.（6分）如圖，AB為（DO的直徑，D為。O上一點，以AD為斜邊作AADC,使NC=90。，NCAD=NDAB求證:

DC是。O的切線；若AB=9,AD=6,求DC的長.

22.（8分）在陽光體育活動時間，小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球，當(dāng)時只有一副空球桌，他們只

能選兩人打第一場.

（1）如果確定小亮打第一場，再從其余三人中隨機(jī)選取一人打第一場，求恰好選中大剛的概率；

（2）如果確定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場.游戲規(guī)則是：三人同時伸“手心、

手背”中的一種手勢，如果恰好有兩人伸出的手勢相同，那么這兩人上場，否則重新開始，這三人伸出“手心”或“手背”

都是隨機(jī)的，請用畫樹狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場的概率.

23.（8分）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象與x軸交于點A（1,0）和點B與y軸交于點C（0,3）,拋

物線的對稱軸與x軸交于點D.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在y軸上是否存在一點P,使APBC為等腰三角形？若存在.請求出點P的坐標(biāo)；

（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，

以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達(dá)點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到

何處時，AMNB面積最大，試求出最大面積.

24.（10分）某手機(jī)店銷售10部4型和20部B型手機(jī)的利潤為4000元，銷售20部A型和10部B型手機(jī)的利潤為

3500元.

⑴求每部A型手機(jī)和B型手機(jī)的銷售利潤；

⑵該手機(jī)店計劃一次購進(jìn)A,3兩種型號的手機(jī)共100部，其中3型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過A型手機(jī)的2倍，設(shè)購進(jìn)A

型手機(jī)x部，這100部手機(jī)的銷售總利潤為V元.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該手機(jī)店購進(jìn)4型、3型手機(jī)各多少部，才能使銷售總利潤最大？

⑶在⑵的條件下，該手機(jī)店實際進(jìn)貨時，廠家對A型手機(jī)出廠價下調(diào)機(jī)（0（和＜100）元，且限定手機(jī)店最多購進(jìn)A型

手機(jī)70部，若手機(jī)店保持同種手機(jī)的售價不變，設(shè)計出使這100部手機(jī)銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案.

25.（10分）先化簡，再求值：±士在+（》——二），其中x=0.

1+xx+1

26.（12分）（問題情境）

張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣的一個問題：如圖1,在AA3C中，AB=AC,點P為邊3c上任一點，過點

P作PELAC,垂足分別為。，E,過點C作垂足為尸，求證：PD+PE=CF.

圖④

小軍的證明思路是：如圖2,連接AP,由△A8P與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE^CF.

小俊的證明思路是：如圖2,過點尸作PGLCF,垂足為G,可以證得：PD=GF,PE=CG,則PZ>+PE=CF.

［變式探究］

如圖3,當(dāng)點尸在5c延長線上時，其余條件不變，求證：PD-PE=CF；

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：

［結(jié)論運用］

如圖4,將矩形ABCD沿E尸折疊，使點。落在點3上，點C落在點。處，點尸為折痕E尸上的任一點，過點尸作

PGVBE.PH±BC,垂足分別為G、H,若40=8,CF=3,求PG+PH的值；

［遷移拓展］

圖5是一個航模的截面示意圖.在四邊形A5C。中，E為A5邊上的一點，EDVAD,EC±CB,垂足分別為。、C,

且AZ>CE=Z>E?8C,AB^2y/13dm,AD3dm,BD=聒dm.M.N分別為AE、3E的中點，連接OM、CN,求

△DEM與ACEN的周長之和.

27.(12分)(1)計算：(―1產(chǎn)6—也+90s60尸+(J2016-J2O15)0+83x(-0.125尸；

11?Y

(2)化簡(——+--)+——,然后選一個合適的數(shù)代入求值.

X+1X—11—X

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、D

【解析】

???一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

/.a<0,b>0,

.\a+b不一定大于0,故A錯誤，

a-b<0,故B錯誤，

ab<0,故C錯誤,

b__

-<0,故D正確.

a

故選D.

2、B

【解析】

分析：直接利用2<近<3,進(jìn)而得出答案.

詳解：?.?2<近<3,

?\3<V7+K4,

故選B.

點睛：此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出J7的取值范圍是解題關(guān)鍵.

3、A

【解析】

如圖，???NBOC=50。，

AZBAC=25°,

VAC/7OB,

.*.ZOBA=ZBAC=25O,

VOA=OB,

.\ZOAB=ZOBA=25°.

故選A.

4、D

【解析】

根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等可知NBED=NBAD,再結(jié)合圖形根據(jù)正切的定義進(jìn)行求解即可得.

【詳解】

■:NDAB=NDEB,

1

?*.tanZDEB=tanZDAB=—，

2

故選D.

【點睛】

本題考查了圓周角定理（同弧或等弧所對的圓周角相等）和正切的概念，正確得出相等的角是解題關(guān)鍵.

5、B

【解析】

根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：把這些數(shù)從小到大排列為160,160,170,180,200,最中間的數(shù)是170,則中位數(shù)是170；

160出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是160；

故選B.

【點睛】

此題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲?/p>

新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

6、D

【解析】

分析：連接OB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BOLEF,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角的

性質(zhì)可得NBAC=NABO,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出NABO=30。，即NBAC=30。，根據(jù)直角三角形30。角

所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC,再利用勾股定理列式計算即可求出AB.

詳解：如圖，連接OB,

：BE=BF,OE=OF,

ABOIEF,

.?.在RtABEO中，NBEF+NABO=90。，

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC,

:.ZBAC=ZABO,

XVZBEF=2ZBAC,

即2ZBAC+ZBAC=90°,

解得NBAC=30。，

.,.ZFCA=30°,

.,.ZFBC=30°,

VFC=2,

：.BC=2y/3,

.*.AC=2BC=4V3，

???AB=7AC2-BC2=J（45—（2后=6,

故選D.

點睛：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30。角所對的直角

邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出NBAC=30。是解題的關(guān)鍵.

7、B

【解析】

A、；四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，

當(dāng)②NABC=90。時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；

B、1?四邊形ABCD是平行四邊形，

二當(dāng)②NABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形,

故此選項錯誤，符合題意；

C、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)③AC=BD時，菱形ABCD是正

方形，故此選項正確，不合題意；

D、1?四邊形ABCD是平行四邊形，...當(dāng)②NABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)④ACLBD時，矩形ABCD

是正方形，故此選項正確，不合題意.

故選C.

8、D

【解析】

試題分析：根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可.把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：3,6,7,7,8,8,8,

8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是8；最中間的數(shù)是7,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7

考點：（1）眾數(shù)；（2）中位數(shù).

9、C

【解析】

CD瓜

根據(jù)NDBC=NA,NC=NC,判定△BCDsaACB,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等得到代入求值即可.

76"V

【詳解】

VZDBC=ZA,ZC=ZC,

/.△BCD^AACB,

?.?CD-BC,

BCAC

.CD_y[6

.?瑞=亍

ACD=2.

故選:C.

【點睛】

主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

10、D

【解析】

ApAJJAF

根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理，當(dāng)——=——或——=——時,DEBD，然后可對各選項進(jìn)行判斷.

DBECABAC

【詳解】

5,ADAE^AD4Z7

解：當(dāng)一=—或一=—時，DE|BD,

DBECABAC

AE21AE2

即nn=—或=—.

EC3AC5

所以D選項是正確的.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.也考查了平行線分線段成比例定

理的逆定理.

11、C

【解析】

根據(jù)折疊易得BD,AB長，利用相似可得BF長，也就求得了CF的長度，△CEF的面積CF?CE.

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)知，第二個圖中BD=AB-AD=4,第三個圖中AB=AD-BD=2,

因為BC〃DE,

所以BF：DE=AB：AD,

所以BF=2,CF=BC-BF=4,

所以ACEF的面積=,CF?CE=8；

2

故選：C.

點睛：

本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小

不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；②矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式等知識點.

12、B

【解析】

直接利用已知幾何體分別得出三視圖進(jìn)而分析得出答案.

【詳解】

A、左、右兩個幾何體的主視圖為：

上旺

主視圖1主視圖2

故此選項錯誤；

B、左、右兩個幾何體的左視圖為：

左視圖］左視圖2

故此選項正確；

C、左、右兩個幾何體的俯視圖為:

開好

俯視圖1俯視圖2

故此選項錯誤；

D、由以上可得，此選項錯誤;

故選B.

【點睛】

此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確把握觀察的角度是解題關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、1%

【解析】

依據(jù)最喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)以及占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，即可得到被調(diào)查總?cè)藬?shù)，進(jìn)而得出最喜歡籃球的學(xué)生數(shù)以

及最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比.

【詳解】

???被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為10+20%=50人，

,最喜歡籃球的有50x32%=16人，

則最喜歡足球的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比.....-—xl00%=l%,

50

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).通

過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

14、40.0

【解析】

首先過點A作AE〃BD,交CD于點E,易證得四邊形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m,DE=AB=0.8m,然后

RtZkACE中，由三角函數(shù)的定義，而求得CE的長，繼而求得筒倉CD的高.

【詳解】

過點A作交CD于點E,

'：AB±BD,CDVBD,

：.NBAE=NA5O=NBOE=90°,

二四邊形ABDE是矩形，

.".AE=BD=20m,DE=AB=0.8m,

在RtAACE中，ZCAE=63°,

AC￡=AE?tan63o=20xl.96=39.2(m),

,?.CZ>=C￡+Z)￡=39.2+0.8=40.0Gn).

答：筒倉CO的高約40.0m,

故答案為：40.0

【點睛】

此題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角的定義，注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【解析】

分析：由正方形的性質(zhì)得到NEZ>G=90。，從而NKZ>C+NHZ>4=90。，再由NC+NKDC=90。，得到NC=NHZ>A,即有

4CKDMDHA,由相似三角形的性質(zhì)得到CK：KD=HD：HA,求解即可得到結(jié)論.

詳解：尸G是正方形，AZEDG=9Q°,：.ZKDC+ZHDA=90°.

'：ZC+ZKDC=90°,：.ZC=ZHDA.

'：ZCKD=ZDHA=9d°,：.△CKD^ADHA,

：.CK：KD=HD：HA,：.CK：100=100：15,

2000

解得：CK=

3

2000

故答案為:

3

點睛：本題考查了相似三角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是證明△CKOs△O/M.

1)

16、x>----且x彳1

2

【解析】

分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式求解即可.

詳解：根據(jù)題意得2x+lK),X-1#0,

解得xN-二且*1.

故答案為xN,且用1.

2

點睛：本題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定，根據(jù)分母不等于0,被開方數(shù)大于等于0列式計算即可，是基

礎(chǔ)題，比較簡單.

17、32或42

【解析】

根據(jù)題意，分兩種情況討論：①若NACB是銳角，②若NACB是鈍角，分別畫出圖形，利用勾股定理，即可求解.

【詳解】

分兩種情況討論：

①若NACB是銳角，如圖1,

VAB=15,AC=13,高AD=12,

?*.在RtAABD中，AD2+BDr=AB~，

即：BD=VAB2-AD2=V152-122=9，

同理：CD=ylAC2-AD-=7132-122=5?

，，ABC的周長=9+5+15+13=42,

②若NACB是鈍角，如圖2,

'：AB=15,AC=13,高AD=12,

???在RtAABD中，AD~+BD~=AB2,

即：BD=^AB1-AD2=V152-122=9>

同理：CD=ylAC2-AD-=V132-122=5?

.?.乙ABC的周長=9-5+15+13=32,

故答案是：32或42.

"DCBcD

【點睛】

本題主要考查勾股定理，根據(jù)題意，畫出圖形，分類進(jìn)行計算，是解題的關(guān)鍵.

18、1

【解析】

試題解析:根據(jù)題意，得：3x-2+5x-6=0,

解得：x=L

3x—2—1,5%—6——1.

(±1)2=1.

故答案為1

【點睛】

：一個正數(shù)有2個平方根，它們互為相反數(shù).

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、20

【解析】

直接利用零指數(shù)幕的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、二次根式以及立方根的運算法則分別化簡得出答案.

【詳解】

解：原式=4-3+1+20-2=20.

【點睛】

本題考查實數(shù)的運算，難點也在于對原式中零指數(shù)騫、負(fù)指數(shù)暮、絕對值、二次根式以及立方根的運算化簡，關(guān)鍵要

掌握這些知識點.

20、證明見解析.

【解析】

試題分析：由N1=N2,可得NC4B=N￡AQ,AC=AE,AB=AD,則可證明ABC=..ADE,因此可得6C=DE.

試題解析：Z1=Z2,Zl+ZEAB=Z2+ZEAB,gpZCAB=ZEADABC和ADE中，

AC=AE

{ZCAB=ZEAD：.ABC^.ADE(SAS),BC=DE.

AB=AD

考點：三角形全等的判定.

21、(1)見解析；(2)275

【解析】

分析：

(1)如下圖，連接OD,由OA=OD可得NDAO=NADO,結(jié)合NCAD=NDAB,可得NCAD=NADO,從而可得

OD//AC,由此可得NC+NCDO=180。，結(jié)合NC=90?？傻肗CDO=90。即可證得CD是。O的切線；

(2)如下圖，連接BD,由AB是。。的直徑可得NADB=9(F=NC,結(jié)合NCAD=NDAB可得△ACDs^ADB,由

AF)AR

此可得——=—,在RtAABD中由AD=6,AB=9易得BD=3j?,由此即可解得CD的長了.

CDBD

詳解：

(1)如下圖，連接OD.

VOA=OD,

:.ZDAB=ZODA,

；NCAD=NDAB,

:.ZODA=ZCAD

???AC〃OD

.*.ZC+ZODC=180°

,:ZC=90°

AZODC=90°

.\OD±CD,

???CD是。O的切線.

(2)如下圖，連接BD,

TAB是。O的直徑，

:.ZADB=90°,

VAB=9,AD=6,

???BD=的2—6=叵=3小,

VZCAD=ZBAD,ZC=ZADB=90°,

AAACD^AADB,

.ADAB

??—9

CDBD

.69

,?而—訪‘

點睛:這是一道考查“圓和直線的位置關(guān)系與相似三角形的判定和性質(zhì)”的幾何綜合題，作出如圖所示的輔助線，熟悉“圓

的切線的判定方法”和“相似三角形的判定和性質(zhì)”是正確解答本題的關(guān)鍵.

22、(1)—(2)—

34

【解析】

(1)由小亮打第一場，再從其余三人中隨機(jī)選取一人打第一場，求出恰好選中大剛的概率即可；

(2)畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情況數(shù)，即可求出所求的概率.

【詳解】

解：(1)?確定小亮打第一場，

...再從小瑩，小芳和大剛中隨機(jī)選取一人打第一場，恰好選中大剛的概率為1;

(2)列表如下：

手心手背

手^手背手手背

Z\/X

手^手背壬已羊背手^手背手心手背

所有等可能的情況有8種，其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且與大剛不同的結(jié)果有2個，

21

則小瑩與小芳打第一場的概率為=

84

【點睛】

本題主要考查了列表法與樹狀圖法；概率公式.

23、(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；(2)點P的坐標(biāo)為：(0,3+30)或(0,3-30)或(0,-3)或(0,

0)；(3)當(dāng)點M出發(fā)1秒到達(dá)D點時，AMNB面積最大，最大面積是1.此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處

或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處.

【解析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)先求出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)APBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；

②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)AM=t則DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解析式化為頂點式，根據(jù)二

2

次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x

軸下方2個單位處.

【詳解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+b+c=0

。=3

解得：b=-4,c=3,

...二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,則x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

AB(3,0),

.\BC=30,

點P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：如圖1,

①當(dāng)CP=CB時，PC=3V2，；.OP=OC+PC=3+3后或OP=PC-OC=3及-3

APi(0,3+3及)，P2(0,3-372);

②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3,

；.P3(0,-3)；

③當(dāng)BP=BC時，

?/OC=OB=3

,此時P與O重合，

/.P4(0,0)；

綜上所述，點P的坐標(biāo)為：(0,3+372)或(0,3-3后)或(-3,0)或(0,0)；

(3)如圖2,設(shè)AM=t,由AB=2,得BM=2-t,則DN=2t,

/.SAMNB=-X(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

當(dāng)點M出發(fā)1秒到達(dá)D點時，AMNB面積最大，最大面積是1.此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在

對稱軸上x軸下方2個單位處.

24、（1）每部A型手機(jī)的銷售利潤為100元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為150元；（2）①>=-50元+15000；②手機(jī)店購

進(jìn)34部A型手機(jī)和66部3型手機(jī)的銷售利潤最大；（3）手機(jī)店購進(jìn)70部A型手機(jī)和30部3型手機(jī)的銷售利潤最大.

【解析】

（1）設(shè)每部A型手機(jī)的銷售利潤為。元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為b元，根據(jù)題意列出方程組求解即可；

（2）①根據(jù)總利潤=銷售A型手機(jī)的利潤+銷售B型手機(jī)的利潤即可列出函數(shù)關(guān)系式；

②根據(jù)題意，得100-解得與，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得當(dāng)當(dāng)％=34時，V取最大值；

（3）根據(jù)題意，y=（m-5O）x+15OOO，與Vx<70,然后分①當(dāng)0<相<50時，②當(dāng)m=50時，③當(dāng)50<m<100

時，三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)每部4型手機(jī)的銷售利潤為。元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為b元.

10a+20/?=4000

根據(jù)題意，得<

20a+10/?=3500

a=100

解得

b=150

答：每部A型手機(jī)的銷售利潤為100元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為150元.

⑵①根據(jù)題意，My=100%+150（100-x）,BPy=-50x+15000.

②根據(jù)題意，mOQ-x<2x,解得嗎

3

y=-50x+15000,-50<0,

隨x的增大而減小.

?.?%為正整數(shù)，

???當(dāng)天=34時，丁取最大值，100-x=66.

即手機(jī)店購進(jìn)34部A型手機(jī)和66部8型手機(jī)的銷售利潤最大.

（3）根據(jù)題意，得y=（100+m）x+150（100—x）.

即y=（加-5O）x+15OOO,x＜70.

①當(dāng)0＜加＜50時，V隨％的增大而減小，

,當(dāng)％=34時，V取最大值，即手機(jī)店購進(jìn)34部A型手機(jī)和66部3型手機(jī)的銷售利潤最大；

②當(dāng)機(jī)=50時，m—50=0,y=15000,即手機(jī)店購進(jìn)A型手機(jī)的數(shù)量為滿足gvxK70的整數(shù)時，獲得利潤相

同；

③當(dāng)50＜機(jī)＜100時，m-50＞0,V隨x的增大而增大,

.?.當(dāng)％=70時，V取得最大值，即手機(jī)店購進(jìn)70部A型手機(jī)和30部3型手機(jī)的銷售利潤最大.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握一次函數(shù)的增減性.

25、1+72

【解析】

先把小括號內(nèi)的通分，按照分式的減法和分式除法法則進(jìn)行化簡，再把字母的值代入運算即可.

【詳解】

x(x+2).1%2+%X、

解:原式=

l+xI%+1

x+l?

x(x+2)%2

1+xx+1

_x(x+2)x+1

1+xx2

_x+2

x

當(dāng)%=y/2時，

原式=與2=1+e.

V2

【點睛】

考查分式的混合運算，掌握運算順序是解題的關(guān)鍵.

26、小軍的證明：見解析；小俊的證明：見解析；［變式探究］見解析；［結(jié)論運用］PG+PH的值為1；［遷移拓展］（6+2灰）

dm

【解析】

小軍的證明：連接AP,利用面積法即可證得；

小俊的證明：過點尸作PGLCT,先證明四邊形尸。歹G為矩形，再證明APGC之△CEP,即可得到答案；

［變式探究］小軍的證明思路：連接AP,根據(jù)5443?=544社-5人4(7尸，即可得到答案；

小俊的證明思路：過點C,作CGLOP,先證明四邊形C尸。G是矩形，再證明△CGP之△CEP即可得到答案；

［結(jié)論運用］過點E作EQLBC,先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出BF,根據(jù)翻折及勾股定理求出DC,證得四邊形EQC。是矩

形，得出5E=3尸即可得到答案；

［遷移拓展］延長A。，BC交于點F,作BHLA尸，證明AAOEsABCE得到FA=FB,設(shè)利用勾股定理求出x

得到Rff=6,再根據(jù)NAOE=N5CE=90。，且M,N分別為AE,5E的中點即可得到答案.

【詳解】

小軍的證明：

連接AP,如圖②

圖②

'：PD±AB,PE±AC,CFLAB,

?e?SAABC=SAABP+SAACPf

111

:.-ABxCF=-ABxPD+-ACxPE,

222

*：AB=AC,

：.CF=PD+PE.

小俊的證明：

過點尸作PGJ_C凡如圖2,

VPD±AB,CF±ABfPG±FC,

/.ZCFD=ZFDG=ZFGP=90°,

J四邊形PDFG為矩形，

：.DP=FGfZPPG=90°,

：.ZCGP=90°9

PEA.AC,

：.ZCEP=90°9

:.ZPGC=ZCEP9

■:ZBDP=ZDPG=90°,

：.PG//AB,

：.ZGPC=ZBf

*：AB=AC9

：.ZB=ZACBf

：.ZGPC=ZECP9

在4尸6。和4CEP中

NPGC=/CEP

<ZGPC=ZECP9

PC=CP

:?△PGC9/\CEP,

：.CG=PE,

：.CF=CG+FG=PE+PD；

［變式探究］

小軍的證明思路：連接AP,如圖③,

9

：PD±ABfPELAC,CF±ABf

?e?SAABC=S^ABP-SAACP,

111

:.-ABxCF=-ABxPD--ACxPE,

222

9：AB=AC,

：.CF=PD-PE；

小俊的證明思路：

過點C,作CGJ_DP,如圖③，

VPD±AB,CF±ABfCGLDP,

：.NCFD=ZFDG=ZI>GC=90°,

：.CF=GD,ZZ)GC=90°,四邊形CFDG是矩形,

9

：PE±AC9

???NC￡P(guān)=90。，

：.ZCGP=ZCEP9

VCG±DP,ABLDP,

：.ZCGP=