2025高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義-拋物線

§8.8拋物線

【課標(biāo)要求】1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、

對稱性、頂點、離心率）3了解拋物線的簡單應(yīng)用.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.拋物線的概念

把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線1（1不經(jīng)過點用的距離_______的點的軌跡叫做拋物

線.點尸叫做拋物線的直線I叫做拋物線的

注意：定點F不在定直線I上,否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線1的

一條直線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2二-2py(p>0)

l

圖形XV:卜,

z—

范圍

焦點

準(zhǔn)線方程

對稱軸

頂點

離心率e=__—

【常用結(jié)論】

1.通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于功.

2.拋物線產(chǎn)=2Px⑦>0）上一點P（xo,%）到焦點造,0）的距離|尸引=沖+§,也稱為拋物線的

焦半徑.

3.設(shè)拋物線方程為/=2Px（p>0），準(zhǔn)線尤=-?與x軸相交于點P,過焦點喔，0）的直線I

與拋物線相交于A（xi,_yi）,8（X2,竺）兩點，O為原點,a為AB與對稱軸正向所成的角，則有

如下的焦點弦長公式：\AB\=-\j1+l^\xi-x2\,\AB\-1-y2\,\AB\-xx+xi+p,\AB\

=J^.

sin2a.

【自主診斷】

1,判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“J”或“X”）

⑴平面內(nèi)與一個定點尸和一條定直線/的距離相等的點的軌跡是拋物線.（）

（2）方程y=4f表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標(biāo)是（1,0）.（）

（3）標(biāo)準(zhǔn)方程丫2=28。>0）中的p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離.（）

（4）焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程/=±2/?（/?>0）,也可以寫成>=辦2,這與以前學(xué)習(xí)的二

次函數(shù)的解析式是一致的.（）

2.（選擇性必修第一冊P133T2改編）拋物線-=%的準(zhǔn)線方程為（）

11

A?產(chǎn)飛B-x=-16

c-y=i6D.X=L

3.（選擇性必修第一冊P133T3改編）拋物線丁=2明仍>0）上一點M（3,y）到焦點廠的距離|四下|

=4,則拋物線的方程為（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x

4.若拋物線/=2內(nèi)Q0）上的點到焦點的最短距離為1,則p的值為（）

A.0B.1C.2D.3

■探究核心題型

題型一拋物線的定義及應(yīng)用

例1（1）（2024.南昌模擬）設(shè)圓o：X2+y2=4與y軸交于A,B兩點（A在B的上方）,過點B作

圓0的切線I,若動點P到A的距離等于P至I」/的距離,則動點P的軌跡方程為（）

A.x2=8yB.x2=16y

C.y2=8xD.y2=16尤

⑵已知點"(20,40)不在拋物線C：y2=2px(p>0)上,拋物線C的焦點為E若對于拋物線上的

一點P,\PM\+|PR的最小值為41,則p的值等于.

思維升華“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡

捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知拋物線y=加(心0)上的點(比,2)到該拋物線焦點F的距離為手，則相等于

()

A.4B.3C."D.g

⑵已知點P為拋物線/=-4A-上的動點，設(shè)點尸到/：x=1的距離為小,到直線x+y-4=

0的距禺為，則"1+心的最小值是()

A.1B.^2^C.2D.y/2

題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2⑴拋物線過點(3,-4),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)已知拋物線C：y2=2px(p>0)，點A,B在拋物線上，且直線AB過點從J,0),尸為C

的焦點，若照I=2\FB\=6,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2023?臨汾統(tǒng)考)拋物線C的焦點尸關(guān)于其準(zhǔn)線對稱的點為(0,-9),則拋物線

C的方程為()

A.x2=6yB.x2二12y

C./二18yD.x2二36y

(2)設(shè)拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在y軸正半軸上，點P在拋物線C上,\PF\=|,

若以線段PF為直徑的圓過坐標(biāo)軸上距離原點為1的點，則該拋物線C的方程為

題型三拋物線的幾何性質(zhì)

例3(1)(2023?蘭州一中模擬)已知圓/+產(chǎn)=1與拋物線y?=2內(nèi)。>。)交于A,8兩點，與拋物

線的準(zhǔn)線交于C,。兩點，若四邊形ABCD是矩形，則p等于()

A當(dāng)B坐C*D羋

⑵(多選)已知拋物線C：y2=2Px30)的焦點為尸，直線/的斜率為S且經(jīng)過點F,與拋物線

C交于A,8兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點。.若|Af]=8,則以下結(jié)論正

確的是()

A.p=4B.DF-FA

C.\BD\=2\BF\D.|BF|=4

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2021.新高考全國I)已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C：9=2.30)的焦點為F,

P為C上一點,PF與X軸垂直，。為x軸上一點，且PQ±OP.^\FQ\=6,則C的準(zhǔn)線方程

為.

(2)已知F是拋物線/=16x的焦點，加是拋物線上一點,

FM的延長線交y軸于點N,若3前=2MN,則|NF|=

§8.8拋物線答案

落實主干知識

知識梳理

1.相等焦點準(zhǔn)線

2go)(4,0)(0,與(0,龍=-”老

*2y^2x軸y軸

(0,0)1

自主診斷

1.(1)X(2)X(3)V(4)V

2.A3.B4.C

探究核心題型

例1⑴A[因為圓O：/+尸=4與y軸交于A,8兩點(A在B的上方),

所以A(0,2),B(Q,-2),

又因為過點8作圓。的切線/,

所以切線I的方程為y=-2,

因為動點尸到A的距離等于尸到/的距離，

所以動點尸的軌跡為拋物線，且其焦點為(0,2),準(zhǔn)線為y=-2,

所以P的軌跡方程為/=8y.]

(2)42或22

解析當(dāng)點M(20,40)位于拋物線內(nèi)時，如圖①，過點尸作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，

則|「網(wǎng)=|尸。|,

\PM\+\PF\^\PM\+\PD\.

當(dāng)點M,P,Z)三點共線時，

|PM|+|PF|的值最小.

由最小值為41,得20+5=41,

解得p=42；

當(dāng)點M(20,40)位于拋物線外時，如圖②，當(dāng)點尸，M,尸三點共線時，IPM+F日的值最小.

由最小值為41,

得@。2+(20一好=41,

解得p=22或p=58.

當(dāng)p=58時，/=116尤，點M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去.

綜上，p=42或p=22.

跟蹤訓(xùn)練1(1)D

(2)B[直線l-.x=\為拋物線尸=—4苫的準(zhǔn)線，點尸到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點尸的距離，

過焦點/作直線x+y—4=0的垂線，

如圖所示，當(dāng)點P為所作直線與拋物線的交點時，小+42的值最小，為點F到直線x+y—4

=0的距離.

VF(-1,O),

1-1+0-415^2

??(〃1十〃2)min——?」

16Q

例2(I)/=下或x2=一。

解析：點(3,—4)在第四象限，，拋物線開口向右或向下，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為尸=2px(p>0)或爐=-2piy(pi>0).

把點(3,—4)的坐標(biāo)分別代入尸=2℃和/=-2piy中，得(-4)2=2p3,32=-20r(—4),

169

則Ml2p=于2P尸不

二所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

,16.,9

y=f或/=一平

(2)/=8x

解析如圖，過點A,B分別作拋物線C的準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為4,Bi,

由拋物線的定義可知，\AAi\=\AF],\BBi\=\BF\,

\'2\FB\=\FA\,.,.2|BBi|=|A4i|,

則易知8為A。的中點.連接。8,

則OB為△￡)河的中位線，

：.2\OB\=\FA\,：.\OB\=\FB\,

...點B在線段OF的垂直平分線上,

.?.點8的橫坐標(biāo)為宗

.,.下8|=?+占=3,.,.p=4,

拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.

跟蹤訓(xùn)練2(1)B

(2)f=2y或x2=8y

例3(1)D[因為四邊形ABCD是矩形，所以由拋物線與圓的對稱性知，弦AB為拋物線/=

2夕x(/?>0)的通徑，

因為圓的半徑為1,拋物線的通徑為20

所以有0+p2=l,解得0=善.]

(2)ABC[如圖所示，分別過點4,8作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點E,M,連接

EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點P,則|PQ=p.因為直線/的斜率為小，所以其傾斜角為60。.

因為A￡〃x軸，所以/E4尸=60。，

由拋物線的定義可知，\AE\=\AF\,

則△AEF為等邊三角形，

所以/AEF=60。，

則/PEF=30。，

所以|AF|=|En=2|PF|=2p=8,得p=4,故A正確;

因為|AE|=|ER=2|Pfl，且PF//AE,

所以尸為的中點，則赤=函，故B正確；

因為NZME=60。，所以/ADE=30。，

所以|BZ)|=2|BM=2|BF|,故C正確；