九年級數(shù)學(xué)二次根式的性質(zhì)和運算培優(yōu)教程

九年級數(shù)學(xué)二次根式的性質(zhì)和運算培優(yōu)教程考點·方法·破譯1．了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義，能準(zhǔn)確進行辨析；2．掌握二次根式有關(guān)性質(zhì)，并能熟練運用性質(zhì)進行化簡；3．會根據(jù)二次根式的性質(zhì)挖掘題中隱含條件，求參數(shù)的值（或取值范圍）.經(jīng)典·考題·賞板【例１】（荊州）下列根式中屬最簡二次根式的是（）A.B.C.D.【解法指導(dǎo)】判斷式子是否為最簡二次根式的條件有兩點：①被開方式中不能含分母；②被開方式中不能有可開盡方的數(shù)或式子.B中含分母，C、D含開方數(shù)4、9，故選A.【變式題組】1．⑴（中山）下列根式中不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.⑵①；②；③；④，最簡二次根式是（）A．①,② B．③,④ C．①,③ D．①,④【例２】(黔東南)方程，當(dāng)y＞0時，m的取值范圍是（）A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指導(dǎo)】本題屬于兩個非負(fù)數(shù)的代數(shù)和問題，隱含兩個代數(shù)式均為0的結(jié)論.由題意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化為y＝2－m，則2－m＞0，故選C.【變式題組】2．（寧波）若實數(shù)x、y滿足，則xy的值是__________.3．（荊門）若，則x－y的值為（）A．－1 B．1 C．2 D．34．（鄂州）使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（懷化），則a－b－c＝________.【例３】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．B． C． D．【解法指導(dǎo)】判斷幾個二次根式是否為同類二次根式應(yīng)先把它們都化為最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否一樣.A．；B． 不能化簡；C.；D．，而.故本題應(yīng)選D.【變式題組】6．如果最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝________．7．在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）A．和B．和 C．和 D．和8．已知最簡二次根式和是同類二次根式，則a＝_______，b＝______.【例４】下列計算正確的是（）A．B． C． D．【解法指導(dǎo)】正確運用二次根式的性質(zhì)①；②；③；④進行化簡計算，并能運用乘法公式進行計算.A、B中的項不能合并.D..故本題應(yīng)選C.【變式題組】9.（聊城）下列計算正確的是（）A．B． C． D．10．計算：_____________11．_____________12．(濟寧)已知a為實數(shù)，那么＝（）A．a(chǎn)B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝6，則的值為（）A． B．2 C． D．【例５】已知xy＞0，化簡二次根式的正確結(jié)果為（）A． B． C． D．【解法指導(dǎo)】先要判斷出y＜0，再根據(jù)xy＞0知x＜0.故原式.選D.【變式題組】14．已知a、b、c為△ABC三邊的長，則化簡的結(jié)果是_______.15．觀察下列分母有理化的計算：，，，算果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：_________.16．已知，則0＜x＜1，則_________.【例６】（遼寧）⑴先化簡嗎，再求值：，其中，.⑵已知，，那么代數(shù)式值為________.【解法指導(dǎo)】對于⑴，先化簡代數(shù)式再代入求值；對于⑵，根據(jù)已知數(shù)的特征求xy、x＋y的值，再代入求值.【解】⑴原式＝，當(dāng)，時，ab＝1，a＋b＝,原式＝.⑵由題意得：xy＝1，x＋y＝10,原式＝.【變式題組】17．（威海）先化簡，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中,.18．（黃石）已知a是的小數(shù)部分，那么代數(shù)式的值為________.【例７】已知實數(shù)x、y滿足，則3x2－2y2＋3x－3y－2007的值為（）A．－2008 B．2008 C．－1 D．1【解法指導(dǎo)】對條件等式作類似于因式分解的變形，找出a、b的關(guān)系，再代入求值.解:∵，∴，，由以上兩式可得x＝y(tǒng).∴,解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，故選D.【變式題組】19．若a＞0，b＞0，且，求的值.演練鞏固·反饋提高01．若，則估計m的值所在的范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜502．（綿陽）已知是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．303．（黃石）下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.04．（賀州）下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.05．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A.B.C.D.06．（常德）設(shè)a＝20，b＝(－3)2,,,則a、b、c、d、按由小到大的順序排列正確的是（）A．c＜a＜d＜b B．b＜d＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜d＜b D．b＜c＜a＜d07．（十堰）下列運算正確的是（）A． B． C． D．08．如果把式子根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．09．（徐州）如果式子化簡的結(jié)果為2x－3，則x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x＞010．（懷化）函數(shù)中自變量的取值范圍是________.11．（湘西）對于任意不相等的兩個數(shù)a，b，定義一種運算a※b＝.那么12※4＝________.12．（荊州）先化簡，再求值：，其中.13．（廣州）先化簡，再求值：，其中.培優(yōu)升級·奧賽檢測01．（涼山州）已知一個正數(shù)的平方根是3x－2和5x＋6，則這個數(shù)是________.02．已知a、b是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對（a，b）共有________對.03．（全國競賽）設(shè)，則________.04．（全國競賽）設(shè),a是x的小數(shù)部分,b是x的小數(shù)部,則a3＋b3＋3ab＝________.05．（重慶競賽）已知，則x2＋y2＝________.06．（全國競賽）已知，，，那么a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b07．（武漢聯(lián)賽）已知（x，y均為實數(shù)），則y的最大值與最小值的差為（）A． B．3 C． D．08．（全國競賽）已知非零實數(shù)a、