九年級(jí)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換培優(yōu)教程二

九年級(jí)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換培優(yōu)教程二考點(diǎn)·方法·破譯1．能利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)進(jìn)行開(kāi)放探究；2．能運(yùn)用類比推理思想進(jìn)行開(kāi)放探究；3．學(xué)會(huì)在旋轉(zhuǎn)變換中尋找不變幾何關(guān)系。經(jīng)典·考題·賞板【例１】（山西）如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC.試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和CG,你認(rèn)為（1）的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘夥ㄖ笇?dǎo)】解：（1）答：AE⊥GC.證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H.在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°∴AE⊥GC（2）答：成立證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H.在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG.∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90°∴∠1=∠2=90°-∠3∴△ADE≌△CDG∴∠5=∠4.又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°∴∠6=∠7.又∵∠AEB+∠6=90°,∠AEB=∠CEH∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC【變式題組】1．（煙臺(tái)）如圖，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，∠BCD的平分線于點(diǎn)E,連接BE.（1）求證：BC=CD（2）將△BCE繞點(diǎn)C，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCG，連接EG。求證：CD垂直平分EG。（3）延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)P.求證：P是CD的中點(diǎn)?！纠病浚ㄅ_(tái)州）如圖1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°?！鱁DF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交線段AC于點(diǎn)M、K（1）觀察：①如圖2、圖3，當(dāng)∠CDF=0°或60°時(shí)，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如圖4，當(dāng)∠CDF=30°時(shí)，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如圖1，當(dāng)0°＜∠CDF＜60°時(shí)，AM+CK_______MK，證明你所得到的結(jié)論．（3）如果MK2+CK2=AM2，請(qǐng)直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值．【解法指導(dǎo)】（1）①=②＞（2）＞證明：作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GK，GM，GD，則CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=CD=GD．∵30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（3）∠CDF=15°，=【變式題組】2．填空或解答：點(diǎn)B、C、E在同一直線上，點(diǎn)A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點(diǎn)F.（1）如圖①，若∠BAC=60°，則∠AFB=_____；如圖②，若∠BAC=90°，則∠AFB=_____；（2）如圖③，若∠BAC=，則∠AFB=_____（用含的式子表示）；（3）將圖③中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合），得圖④或圖⑤，在圖④中，∠AFB=與∠的數(shù)量關(guān)系是______；在圖⑤中，∠AFB=與∠的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明。【例３】已知將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖1擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一直線上，且D是AB的中點(diǎn)，將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（0°＜＜90°），在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)M、N作直線AB的垂線垂足為G、H。當(dāng)=30°時(shí)，（如圖2），求證：AG=DH；當(dāng)=60°時(shí)，（如圖3），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；當(dāng)0°＜＜90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并根據(jù)圖4說(shuō)明理由?！窘夥ㄖ笇?dǎo)】本題屬于旋轉(zhuǎn)類動(dòng)態(tài)問(wèn)題，是開(kāi)放探究題，在旋轉(zhuǎn)變化中，始終有兩組三角形全等（或相似）。（1）證明：∵∠A=∠ADM=30°，

∴MA=MD.又MG⊥AD于點(diǎn)G，

∴AG=AD.

∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，

∴CB=CD.

∴C與N重疊.又NH⊥DB于點(diǎn)H，

∴DH=DB.

∵AD=DB，

∴AG=DH.

(2)解：結(jié)論成立.

∵∠ADM=60°，

∴∠NDB=90°-60°=30°.

∴∠MAD=∠NDB.

又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，

∴△MAD≌△NDB.

∴MA=ND.

∵M(jìn)G，NH分別是△MAD，△NDB的對(duì)應(yīng)高，

∴Rt△MAG≌Rt△NDH.

∴AG=DH.

(3)解：結(jié)論成立.在Rt△AMG中，∠A=30°，

∴∠AMG＝60°＝∠B.

又∠AGM=∠NHB=90°，

∴△AGM∽△NHB.

∴.

∵∠MDG=α，

∴∠DMG=90°-α=∠NDH.

又∠MGD=∠DHN=90°，

∴Rt△MGD∽R(shí)t△DHN.

∴

∴

∴∴AG=DH.【變式題組】3．（沈陽(yáng)）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．

（1）求證：AF+EF=DE；

（2）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；

（3）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【例４】如圖①，兩個(gè)圖形（與比2：1），∠BAD=120°，對(duì)角線均在軸上，拋物線y=x2經(jīng)過(guò)AD中點(diǎn)M．

（1）填空：A點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____，D點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）操作：如圖②，固定，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長(zhǎng)E交AD于P，延長(zhǎng)H交CD于Q．探究1：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)推斷出α值；若不存在，說(shuō)明理由；探究2：設(shè)AP=x，四邊形OPDQ面積s，求s與x之間函數(shù)關(guān)系式，并指出x取值范圍．【解法指導(dǎo)】（1）A（0，2），D（，0）．（2）探究1：當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形．理由如下：∵兩菱形的位似比為2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠BAO=60°∴菱形EFGH的邊長(zhǎng)EF=AD=2，∠FEO=60°∵在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中EF的長(zhǎng)和∠FEO的大小始終不變∴當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，P與M重合，AM=AP=2△AOP為等邊三角形，∠APO=∠AOP=60°那么，∠APO=∠FEO=60°，則EF∥AP又∵EF=AM=2∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α=∠AOP=60°時(shí)，EF平行且等于AP∴α=60°時(shí)，四邊形AFEP為平行四邊形．探究2：過(guò)P點(diǎn)作PR⊥y軸于R，過(guò)Q作QT⊥x軸于T，設(shè)TQ=y，則：PR=AP?sin60°=，OR=OA﹣AR=2﹣AP?cos60°=2﹣x，OT=OD﹣DT=﹣TQ?tan60°=2﹣y∵它繞對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)時(shí)∠POR=∠QOT∴Rt△POR∽R(shí)t△QOT∴∴，化簡(jiǎn)得：y=∴S=S△OPD+S△ODQ=×2（2﹣x）+×2×=2﹣x+．即S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=2﹣x+．（0＜x＜4）【變式題組】4．（寧波）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)OA′、B′C′分別與直線BC相交于P、Q．（1）四邊形OA′B′C′的形狀是________矩形，當(dāng)α=90°時(shí)，的值是________；（2）①如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求△OPB′的面積；（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)0°＜α≤180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=BQ？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.（武漢選拔賽）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S則BE的長(zhǎng)為（ ）A．2 B．3 C． D．2演練鞏固·反饋提高01．（茂名）如圖，把拋物線y=x2與直線y=1圍成圖形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個(gè)單位得到圖形O1A1B1C1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A． 點(diǎn)O1的坐標(biāo)是（1,0） B．點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，-1） C．四邊形O1BA1B1是矩形 D．若連接OC，則梯形OCA1B1的面積是302．（河南）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2,0）和（2,0）.月牙①繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到月牙②，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（ ）A．（2,2）B．（2,4） C． （4,2） D．（1,2）03．（包頭）如圖，已知△ACB與△的DFE是兩個(gè)全等的直角三角形，量得它們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小的銳角為30°，將兩個(gè)三角形擺成如圖（1）所示的形狀，使點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，將圖（1）中的△ACB繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖（2）的位置，點(diǎn)E在AB邊上，AC交DE于點(diǎn)G，則線段FG的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm（保留根號(hào)）.04．（河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α.

（1）①當(dāng)α______度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形，此時(shí)AD長(zhǎng)為_(kāi)_____；②當(dāng)α______度時(shí)，四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí)AD長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）當(dāng)α=90°時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP.當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有（ ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)02．（武漢選拔賽）如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3.則PC所能達(dá)到的最大值為（ ）A． B． C． 5 D．603．（常德）如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．（1）當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時(shí)，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．04．（隨州）如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使