九年級(jí)數(shù)學(xué)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系培優(yōu)教程

九年級(jí)數(shù)學(xué)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系培優(yōu)教程考點(diǎn)·方法·破譯理解掌握?qǐng)A的切線(xiàn)、割線(xiàn)的概念，懂得直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系及判別依據(jù)；理解掌握切線(xiàn)的性質(zhì)定理、判定定理，能熟練運(yùn)用會(huì)根據(jù)需要添加輔助線(xiàn)；理解掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理，能利用切線(xiàn)相關(guān)定理進(jìn)行推理論證。經(jīng)典·考題·賞析【例1】（泉州）已知直線(xiàn)y=kx（k≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,-4），（1）求k的值；（2）將該直線(xiàn)向上平移m（m＞0）個(gè)單位，若平移后得到直線(xiàn)與半徑為6的⊙O相離（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求m的取值范圍【解法指導(dǎo)】解：（1）依題意得：―4=3k,∴k=－eq\f(4,3)（2）由（1）及題意知，平移后得到的直線(xiàn)l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=－eq\f(4,3)x+m（m＞0），設(shè)直線(xiàn)l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,（如圖所示）當(dāng)x=0時(shí)，y=m；當(dāng)y=0時(shí)，x=eq\f(3,4)m，∴A（eq\f(3,4)m,0）,B（0,m）即OA=eq\f(3,4)m,OB=m,在Rt△OAB中，AB=eq\r(,OA2+OB2)=eq\r(,eq\f(9,16)m2+m2)=eq\f(5,4)m,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=eq\f(1,2)OD·AB=eq\f(1,2)OA·OB，∴eq\f(1,2)OD·eq\f(5,4)m=eq\f(1,2)·eq\f(3,4)m·m∵m＞0,解得OD=eq\f(3,5)m,依題意得：eq\f(3,5)m＞6,解得m＞10，即m的取值范圍為m＞10.【變式題組】1.（遼寧）如圖，直線(xiàn)y=eq\f(eq\r(,3),3)x+eq\r(,3)與x軸、y軸分別相交于A,B兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為（1,0），⊙P與y軸相切于點(diǎn)O，若將⊙P沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)⊙P與該直線(xiàn)相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P有個(gè)2.（永州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,0），經(jīng)過(guò)A、O兩點(diǎn)作半徑為eq\f(5,2)的⊙O，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)B（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)B點(diǎn)作⊙C的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D，求直線(xiàn)BD的解析式【例2】（襄樊）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，則∠D等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°【解法指導(dǎo)】解:連結(jié)OC，則OC⊥DC，且∠OCA=∠A=25°，∴∠DOC=∠∠OCA+∠A=50°，又∠D+∠DOC=90°，∴∠D=40°，本題應(yīng)選A.【變式題組】3.（徐州、南京）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm和5cm，弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則AB的長(zhǎng)為（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm4.（南充）如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別是A，B,若PA=8cm，C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)，分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，則△PED的周長(zhǎng)是.5.（徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠C=18°，則∠CDA=.6.（荊門(mén)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=.【例3】（日照）如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=2,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)l，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線(xiàn)BD，垂足為D，BD與⊙O交于點(diǎn)E（1）求∠AEC的度數(shù);（2）求證：四邊形OBEC是菱形【解法指導(dǎo)】本題（2）根據(jù)垂徑定理證AC=CE=2，再證BE=2即可。解:（1）在△AOC中，AC=2，∵AO=OC=2，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠AEC=30°（2）證明：∵OC⊥l，BD⊥l，∴OC∥BD，∴∠ABD=∠AOC=60°，∵AB為⊙O的直徑，∴△AEB為直角三角形，∠EAB=30°，∴∠EAB∠=∠AEC，∴四邊形OBEC為平行四邊形，又∵OB=OC=2，∴四邊形OBEC是菱形。【變式題組】7.（寧波）已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，eq\o(⌒,BC)=eq\o(⌒,BD)，⊙O的切線(xiàn)BF與弦AD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，（1）求證:CD∥BF（2）連結(jié)BC，若⊙O的半徑為4，cos∠BCD=eq\f(3,4)，求線(xiàn)段AD、CD的長(zhǎng)【例4】（安順）如圖，AB=BC,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥BC，垂足為E，（1）求證:DE是⊙O的切線(xiàn);（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若∠A=30°，AB=8，求弦DG的長(zhǎng)【解法指導(dǎo)】本題（1）根據(jù)切線(xiàn)的判定定理要連接OD，證明OD⊥DE即可，（2）用等面積法求DF證明:連結(jié)，OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO.∵BA=BC,∴∠A=∠C.∴∠ADO=∠C.∴DO∥BC,∵DE⊥BC,∴DO⊥DE.又點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線(xiàn).（2）解:∠DOF=∠A+∠ADO=60°，在Rt△DOF中，OD=4DF=OD·sin∠DOF=4·sin60°=2eq\r(,3),∵直徑AB⊥弦DG，∴DF=FG,∴DG=2DF=4eq\r(,3).【變式題組】8.（十堰）如圖，直線(xiàn)l切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)P為直線(xiàn)l上一點(diǎn)，直線(xiàn)PO交⊙O于點(diǎn)C、B，點(diǎn)D在線(xiàn)段AP上，連結(jié)DB，且AD=DB（1）求證:DB為⊙O的切線(xiàn);（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的長(zhǎng)9.（大連）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°.（1）判斷直線(xiàn)CD是否是⊙O的切線(xiàn)，并說(shuō)明理由；（2）若CD=3eq\r(,3)，求BC的長(zhǎng).【例5】（本溪）如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，若∠AEC=∠ODB，（1）判斷直線(xiàn)BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；（2）當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求BD的長(zhǎng)【解法指導(dǎo)】（1）直線(xiàn)BD和⊙O相切，證明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，∴∠ABC=∠ODB，∴OD⊥BC，∠DBC+∠ODB=90°，∴∠DBC+∠ABC=90°，即∠DBO=90°∴直線(xiàn)BD和⊙O相切.（2）連結(jié)AC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，∴AC=eq\r(,AB2-BC2)=6，∵直徑AB=10，∴OB=5.由（1），BD和⊙O相切，∴∠OBD=90°，∴∠ACB=∠OBD=90°，由（1）得∠ABC=∠ODB，△ABC∽△ODB，∴eq\f(AC,OB)=eq\f(BC,BD)，∴eq\f(6,5)=eq\f(8,BD),解得BD=eq\f(20,3).【變式題組】10.（仙桃）如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上的一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且FD=FE（1）請(qǐng)?zhí)骄縁D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若⊙O的半徑為2，BD=eq\r(,3)，求BC的長(zhǎng).11.（德化）如圖，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)AC上，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F（1）判斷直線(xiàn)CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若tan∠ACB=eq\f(eq\r(,2),2)，BC=2，求⊙O的半徑.演練鞏固反饋提高1.（佳木斯）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于E，連結(jié)AD，則下列結(jié)論：①AD⊥BC②∠EAD=∠B③OA=eq\f(1,2)AC④DE是⊙O的切線(xiàn)。正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.（衡陽(yáng)）如圖，直線(xiàn)AB切⊙O于點(diǎn)C，D是⊙O上一點(diǎn)，∠EDC=30°，弦EF∥AB，連結(jié)OC交EF于點(diǎn)H，連結(jié)CF，且CF=2，則HE的長(zhǎng)為3.（門(mén)頭溝）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OA平行的直線(xiàn)與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)OP=x，則x的取值范圍是（）A.-1≤x≤1B.-eq\r(,2)≤x≤eq\r(,2)C.0≤x≤eq\r(,2)D.x＞eq\r(,2)4.（武漢）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點(diǎn)D，E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，（1）求證:直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OC交DE于點(diǎn)F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.5.（北京）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線(xiàn)，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑（1）求證:AE與⊙O相切;（2）當(dāng)BC=4，cosC=eq\f(1,3)時(shí)，求⊙O的半徑.6.（無(wú)錫）如圖，已知點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在直線(xiàn)上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過(guò)O作OC⊥AB于C,過(guò)C作CD⊥軸于D,問(wèn)：為何值時(shí),以P為圓心、1為半徑的圓與直線(xiàn)OC相切？并說(shuō)明此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系．7.（陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，交BO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，（1）求證:AP是⊙O的切線(xiàn)；（2）若⊙O的半徑R=5，BC=8，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng).8.（賀州）如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、OE.（1）求證:DE是⊙O的切線(xiàn)（2）如果⊙O的半徑是eq\f(3,2)cm，ED=2cm，求AB的長(zhǎng)培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)1.（義烏）如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G，（1）求證:點(diǎn)E是eq\o(⌒,BD)的中點(diǎn)；（2）求證:CD是⊙O的切線(xiàn)；（3）若sin∠BAD=eq\f(4,5),⊙O的半徑為5，求DF的長(zhǎng).2.（衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2㎝，∠ABC=60°，（1）求⊙O的直徑；（2）若D是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連結(jié)CD，當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí)，CD與⊙O相切；（3）若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），連接EF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．3.（深圳）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l:y=-2x-8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（O,k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P.（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，以⊙P與直線(xiàn)l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？4.（全國(guó)競(jìng)賽）如圖：直線(xiàn)AB與⊙O相交于點(diǎn)E、F，EF為⊙O的直徑，且AE=EF=FB，