浙江省北斗星盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性聯(lián)考試題含解析

PAGE25-浙江省北斗星盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性聯(lián)考試題（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用肯定值的幾何意義求出集合，再利用集合的交運算即可求解.【詳解】由，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了集合的交運算、解肯定值不等式，考查了基本運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知是雙曲線的一個焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件列出關(guān)系式，求解，然后得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】解：由已知為雙曲線的一個焦點可得，，即，所以漸近線方程為：．故選：．【點睛】本題考查雙曲線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，是基本學(xué)問的考查．3.在中，內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別為，，.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，從而求出角，進(jìn)而求出.【詳解】由，可得，所以，又，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了正弦定理的邊角互化，考查了基本運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且，則D.若，且，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間中直線和平面的位置關(guān)系分別去推斷各個選項，均可舉出反例；可證明得出.【詳解】若，，則或與異面或與相交，故選項錯誤；若，，則與可能相交，故選項錯誤；若直線不相交，則平面不肯定平行，故選項錯誤；，或，又，故選項正確.本題正確選項：【點睛】本題考查空間中直線、平面之間位置關(guān)系有關(guān)命題的推斷，考查學(xué)生的空間想象實力和對定理的駕馭程度.5.已知函數(shù)f（x）＝ax+b的圖象如圖所示，則函數(shù)h(x)＝loga(﹣x+b)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由一次函數(shù)的圖象得0＜a＜1，﹣1＜b＜0，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解除B、C，結(jié)合h(0)無意義可解除A，即可得解.【詳解】由函數(shù)f(x)＝ax+b圖象可知，0＜a＜1，﹣1＜b＜0，所以函數(shù)y＝logax單調(diào)遞減，所以函數(shù)h(x)＝loga(﹣x+b)單調(diào)遞增，故解除B、C；因為﹣1＜b＜0，所以h(0)＝logab無意義，可解除A.故選：D.【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象的識別，考查了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.已知圓：（），直線：，則“”是“上恰有不同的兩點到的距離為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圓心到直線距離d，比較d與r的關(guān)系即可推斷．【詳解】圓：（）圓心坐標(biāo)為則圓心到直線距離為所以當(dāng)時恰有兩個不同的點到的距離為當(dāng)上恰有不同的兩點到的距離為時，滿意所以“”是“上恰有不同的兩點到的距離為”的充分不必要條件所以選A【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件的簡潔應(yīng)用，屬于中檔題．7.若，則的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】令，由題意可知，化簡可得，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】令，因為，所以，所以；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，取等號.故選：A.【點睛】本題主要考查了基本不等式的在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題.8.已知數(shù)列中，，.記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用累加法和累乘法得到，，再利用數(shù)列的單調(diào)性計算得到答案.【詳解】，則，故，；，故，，故，A，B錯誤；，，，，故，，D錯誤C正確.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)列的累加法，累乘法，數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于數(shù)列學(xué)問的綜合應(yīng)用實力.9.已知、為橢圓的左、右焦點，的橢圓上一點（左右頂點除外），為為重心.若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)的橢圓上一點，且恒成立，不妨設(shè)點P為上頂點，再依據(jù)為為重心，由求解.【詳解】因為的橢圓上一點，且恒成立，不妨設(shè)點P為上頂點，如圖所示：因為為為重心，所以，而，即，所以，所以，所以，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)以及焦點三角形的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.10.設(shè)函數(shù)，，.若對隨意恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)題意，可知，然后就和兩種狀況分類探討，利用平凡不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為當(dāng)時，令，易知在上單調(diào)遞減；所以，所以；當(dāng)時，令，則易知在上單調(diào)遞減；所以，所以所以；所以綜上，.故選：D.【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題，和平凡不等式的應(yīng)用，屬于難題.二、填空題：本大題共7小題.11.已知直線和直線.若，則實數(shù)的值為______，此時，兩直線與之間的距離為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)兩直線平行時的條件，列方程求出的值，再依據(jù)兩平行線間的距離公式計算可得．【詳解】解：因為直線和直線且，所以解得所以即，所以故答案為：；【點睛】本題考查了利用直線方程推斷兩直線平行的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．12.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線恰好平分矩形的面積，則該“塹堵”的正視圖的面積是_____，體積是_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先依據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)計算出正視圖的面積和幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體直觀圖如下圖所示：該幾何體為直三棱柱，正視圖為等腰直角三角形，且斜邊長上的高為，斜邊長為，故該“塹堵”的正視圖的面積是，體積為.故答案為：；.【點睛】本題考查的主要學(xué)問點：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算實力以及空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題.13.設(shè)，若不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則______，的最大值為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】如圖所示，畫出可行域，依據(jù)面積得到，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域，則，解得或（舍去）；，即，表示直線在軸截距的倍，依據(jù)圖象知當(dāng)直線過點，即，時，有最大值為.故答案為：；.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃面積問題，最值問題，意在考查學(xué)生的計算實力和應(yīng)用實力，畫出圖象是解題的關(guān)鍵.14.已知符號函數(shù)設(shè)函數(shù)，若互不相同的實數(shù)，，滿意，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】求出解析式并作出其圖像，利用圖像以及對稱性即可求解.【詳解】由，，所以，作出的圖像，由互不相同的實數(shù)，，滿意，則，解得，由，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點和，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題。15.若數(shù)列中的最大項是第項，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】依據(jù)題意知：，解得；，解得，即，，故故答案為：.【點睛】本題考查了求數(shù)列的最大項，意在考查學(xué)生的計算實力和轉(zhuǎn)化實力.16.已知正四面體的棱長為2，動平面交線段，（含端點）于點，，且平面平面，設(shè)平面和平面所成二面角的平面角為，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)在平面上的投影為，為中點，連接，，為與平面所成角，結(jié)合計算得到答案.【詳解】設(shè)在平面上的投影為，則平面，平面平面，故平面，正四面體，故為中心.為中點，連接，，則，，，故平面，故為與平面所成角，中，，，，故，設(shè)平面平面，于，于，連接，平面，平面，故，，則平面，故，，故為平面和平面所成二面角的平面角，，故，當(dāng)時等號成立.故答案為：.【點睛】本題考查了二面角，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實力，轉(zhuǎn)化實力.17.如圖，已知邊長為2的正方形內(nèi)有一點，滿意，則的最小值是______，過做，為的內(nèi)心，則的最小值是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點的軌跡，然后再利用向量模的求法表示出，依據(jù)其幾何意義即可求解.（2）由，，，求出內(nèi)切圓半徑，從而求出點坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算表示出，依據(jù)式子的幾何意義即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由正方形的邊長為2，則，，，，設(shè)，由，可得，即，所以點是以為圓心，以為半徑的圓上，且在正方形內(nèi)的點，，，，，所以表示在正方形內(nèi)部的圓上的點到的距離，當(dāng)，所以的最小值是（2）為的內(nèi)心，由，則，，則內(nèi)切圓半徑，所以點坐標(biāo)為，即，所以，，所以，由（1）可知的最小值為，所以的最小值為，所以的最小值是.故答案為：；【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示、兩點間的距離公式，考查了基本運算求解實力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）若函數(shù)在有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先利用二倍角的正弦、余弦公式以及協(xié)助角公式化簡函數(shù)求出，將代入即可求解.（2）令，即，在同一坐標(biāo)系中作出當(dāng)時的圖像以及的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）所以，（2）令，即，在同一坐標(biāo)系中作出當(dāng)時的圖像以及的圖像，由圖像可知，函數(shù)在有兩個零點，則.【點睛】本題考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、協(xié)助角公式，特別角的三角函數(shù)值、由零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在側(cè)棱垂直底面的三棱柱中，，，是棱的中點.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）如圖所示，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算兩個平面的法向量，依據(jù)法向量垂直得到證明.（2）干脆利用向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，故平面平面.（2）直線與平面所成角為，則.【點睛】本題考查了面面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實力，應(yīng)用實力.20.已知正項數(shù)列的前項的和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)公式化簡得到，依據(jù)等差數(shù)列公式計算得到答案.（2）化簡得到，利用分組求和法和裂項相消法計算得到答案.【詳解】（1），故，解得，當(dāng)時，，故，整理得到：，正項數(shù)列，故，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，驗證時滿意，故.（2），故.【點睛】本題考查了求數(shù)列的通項公式，分組求和，裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.21.如圖，拋物線的焦點為，為過點的弦，設(shè)直線的斜率為（）.的中垂線與軸交于點，拋物線在，兩點處切線交于點Q.（1）當(dāng)時，求的面積；（2）推斷是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）設(shè)AB所在直線方程為，，由，得，然后依據(jù)，利用，求得斜率k，得到直線AB的中垂線方程，進(jìn)而得到點P坐標(biāo)，求得點P到直線AB的距離d，由求解.（2）由（1）方法：得到，由，得，求導(dǎo)，得到直線的方程；直線的方程，聯(lián)立求得，進(jìn)而得到點Q到直線AB的距離為：，得到，再代入求解.【詳解】（1）設(shè)AB所在直線方程為，，由，得，由韋達(dá)定理得：，因為，所以，解得，因為，所以，則，所以，則直線AB的中垂線方程為：，令得，所以點，所以點P到直線AB的距離為：，所以.（2）由（1）知：，則直線AB的中垂線方程為：，令得，所以點，所以點P到直線AB的距離為：，所以.由，得，所以，則直線的方程為：，即；直線的方程為，即；由，解得，由，得：，解得，，所以，所以，所以，所以點Q到直線AB的距離為：，所以.為定值，【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，點到直線的距離以及定值問題，還考查了運算求解的實力，屬于難題.22.已知函數(shù)的點處的切線方程為，，.（1）求，值；（2）若不等式對隨意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）實數(shù)的取值范圍是，．【解析】【分析】（1）依據(jù)切線方程得到，解方程即得解；（2）等價于在上恒成立，令，則只需即可．再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，