江蘇省徐州中學(xué)徐州一中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬試題含解析

PAGE20-江蘇省徐州中學(xué)、徐州一中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬試題（含解析）一．填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則________.【答案】【解析】【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，，0，1，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了描述法、列舉法的定義、交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)復(fù)數(shù)（a，，i是虛數(shù)單位），且，則______.【答案】【解析】【分析】將代入，利用復(fù)數(shù)相等，可求出的值,【詳解】由代入,,所以，則，解得或所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題.3.若一組樣本數(shù)據(jù)21，19，x，20，18的平均數(shù)為20，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為________.【答案】2【解析】分析】依據(jù)平均數(shù)求出x，再求數(shù)據(jù)的方差.【詳解】，解得，該組樣本數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)的平均值與方差，屬于基礎(chǔ)題.4.橢圓()與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，則______.【答案】4【解析】【分析】由題意得兩條曲線的值相等，從而得到關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】由題意得兩條曲線的值相等，∴，求得，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果為_____．【答案】15【解析】【分析】依據(jù)給出的算法語句的作用求解即可．【詳解】依題意，第一次運(yùn)行循環(huán)時(shí)，I＝1，滿意I＜9，S＝2×1+1＝3，I＝3；其次次運(yùn)行循環(huán)時(shí)，I＝3，滿意I＜9，S＝2×3+1＝7，I＝5；第三次運(yùn)行循環(huán)時(shí)，I＝5，滿意I＜9，S＝2×5+1＝11，I＝7；第四次運(yùn)行循環(huán)時(shí)，I＝7，滿意I＜9，S＝2×7+1＝15，I＝9；循環(huán)結(jié)束，輸出S＝15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了算法語句的理解和應(yīng)用，考查分析和解決問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．6.把分別標(biāo)有“誠”“信”“考”“試”的四張卡片隨意的排成一排，則能使卡片從左到右可以念成“誠信考試”和“考試誠信”的概率是_____.【答案】【解析】分析】先確定“誠”“信”“考”“試”的四張卡片隨意排成一排的全部可能狀況，再求概率即可．【詳解】“誠”“信”“考”“試”的四張卡片隨意排成一排，共有種故能能使卡片從左到右可以念成“誠信考試”和“考試誠信”的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型的概率，解題的關(guān)鍵是確定基本領(lǐng)件的種數(shù)，屬于中檔題.7.已知圓柱的高為2，它的兩個(gè)底面的圓周在半徑為2的同一個(gè)球的球面上.則球的體積與圓柱的體積的比值為__________.【答案】【解析】【分析】畫圖分析可得,該球的直徑與圓柱的底面直徑和高構(gòu)成直角三角形,進(jìn)而求得圓柱的底面半徑,進(jìn)而求得球的體積與圓柱的體積的比值.【詳解】如圖有外接球的體積,圓柱的底面直徑,故底面半徑.故圓柱體積.故球的體積與圓柱的體積的比值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱與外接球的關(guān)系,須要依據(jù)球的直徑和圓柱的底面直徑和高構(gòu)成直角三角形進(jìn)行求解.屬于基礎(chǔ)題.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，_______________.【答案】【解析】【分析】在時(shí)，利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這樣我們在求數(shù)列和時(shí)只要從第一項(xiàng)起先兩項(xiàng)并一組，變可以求得偶數(shù)項(xiàng)和．而題中求正好可求。【詳解】解：當(dāng)時(shí)有得，當(dāng)時(shí)，①，又②，②－①得整理得；于是得，得，得，…，，；．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)，考查并項(xiàng)求和，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式．雖然考查學(xué)問點(diǎn)較多，但順著題求解也較簡潔，屬于中檔題．9.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則________．【答案】．【解析】【分析】已知條件用正弦定理化角為邊，再由余弦定理可求A，然后代入即可求解．【詳解】解：，由正弦定理可得，，整理可得，，由余弦定理可得，，，，則．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，解題關(guān)鍵是駕馭正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換．10.如圖，在平面四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，若，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意要求的值，則要求出中的值，故考慮以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，然后依據(jù)兩向量相等，則對應(yīng)坐標(biāo)相等，進(jìn)而可求解.【詳解】解:如圖建立直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，，點(diǎn)在線段上，且，所以，因?yàn)樵谥?，，，所以，由題知，是等腰三角形.所以，所以，，，，，若，則，，解得，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，當(dāng)干脆運(yùn)用向量的三角形法則與平行四邊形法則較困難時(shí)，可借助坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成兩向量相等，則對應(yīng)坐標(biāo)相等，進(jìn)而通過方程思想來求解.11.過直線l：上隨意一點(diǎn)P作圓C：的一條切線，切點(diǎn)為A，若存在定，使得恒成立，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)圓及切點(diǎn)，結(jié)合，可推出，再依據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式化簡可得，結(jié)合點(diǎn)在上，可列出方程組，即可解出，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)∵∴∴∴，即∵在上任取∴，解得∵∴∴故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的關(guān)系，涉及了兩點(diǎn)之間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．12.設(shè),則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】將式子變形可得，依據(jù)已知條件可得利用基本不等式可得最小值.【詳解】解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．13.函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象與其對稱軸在y軸右側(cè)的交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，…，在點(diǎn)列{An}中存在三個(gè)不同的點(diǎn)Ak、Al、Ap，使得△AkAlAp是等腰直角三角形，將滿意上述條件的ω值從小到大組成的數(shù)記為ωn，則ω6＝_____．【答案】π【解析】【分析】令ωx＝kπ，可求對稱軸方程，進(jìn)而可求A1，A2，A3，……An的坐標(biāo)，由△AkAtAp是等腰直角三角形可知直線的斜率之積為﹣1可求ωn，進(jìn)而可求ω6的值．【詳解】由ωx＝kπ，得x，k∈Z，由題意得x，，，…，，即A1（，1），A2（，﹣1），A3（，1），A4（，﹣1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得kA1A2?kA2A3＝﹣1，即?1，得ω1，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得kA1A4?kA1A4＝﹣1，得ω2．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得kA1A6?kA6A11＝﹣1，得ω2從而有ωn．則ω6π，故答案為：π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的對稱性及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，還考查了歸納推理的應(yīng)用，屬于學(xué)問的簡潔綜合．14.已知定義在上的偶函數(shù)滿意．且當(dāng)時(shí)，．若對于隨意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】先求得的值，由此求得的值.證得是周期為的周期函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，依據(jù)的周期性和對稱性，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合求得的取值范圍.【詳解】由，令，得.由于當(dāng)時(shí)，，所以.故當(dāng)時(shí)，.，由于為偶函數(shù)，所以.由，得，所以是周期為的周期函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以.所以當(dāng)，.得，故.所以當(dāng)時(shí)，，所以.結(jié)合是周期為的周期函數(shù)，畫出的圖像如下圖所示.由得（），對于隨意成立.時(shí)，，解得，所以，即對于隨意成立.當(dāng)時(shí)，由得，由于在遞減，所以；由得，由于在在遞增，所以.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查函數(shù)解析式的求法，考查不等式恒成立問題的求解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，把條件等式化成角，再用誘導(dǎo)公式與兩角和的正弦公式，即可求出，進(jìn)而求出；（2）面積公式結(jié)合余弦定理，求出，就可得到的周長.【詳解】（1）由，，，，；（2），由余弦定理得，，周長為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式，以及誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.16.如圖，在三棱錐A-BCD中，點(diǎn)M，N分別在棱AC，CD上，且N為CD的中點(diǎn)．（1）當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD//平面BMN；（2）若平面ABD平面BCD，ABBC，求證：BCAD.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】（1）由中位線定理可得，依據(jù)線面平行判定定理即可得結(jié)果；（2）在平面內(nèi)，作，垂足為，依據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而，結(jié)合易得平面，即可得.【詳解】證明：（1）在中，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如圖，在平面內(nèi)，作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，所以平面．因?yàn)?，所以，又，，，，所以，又，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定，面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用以及通過證明線面垂直得到線線垂直的過程，屬于中檔題.17.如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)的距離是，從點(diǎn)沿海岸正東處有一城鎮(zhèn)B.一年青人從小島動(dòng)身，先駕駛小船到海岸線上的某點(diǎn)處，再沿海岸線步行到城鎮(zhèn)B.若，假設(shè)該年青人駕駛小船的平均速度為，步行速度為.（1）試將該年青人從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)辰表示成角的函數(shù)；（2）該年青人欲使從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間最小，請你告知他角的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出和的值，再求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）依據(jù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值以及對應(yīng)的值．【詳解】（Ⅰ）由題意知，，，，所以，，，所以關(guān)于的函數(shù)為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，則；解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；即時(shí)，所花時(shí)間最小．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的問題，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平．18.已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，以PF1為直徑的圓E：x2過點(diǎn)F2．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P且斜率大于0的直線l1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與直線x＝4的交點(diǎn)為B，過點(diǎn)（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x＝4交于點(diǎn)D，求△ABD面積的最小值．【答案】（1）；（2）22．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l1的方程，代入涂鴉方程，利用韋達(dá)定理求得A的橫坐標(biāo)，求得直線l2方程，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式及基本不等式即可求得△ABD面積的最小值．【詳解】（1）在圓E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），又因?yàn)?，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，b＝2，因此橢圓的方程為；（2）設(shè)直線l1：yk（x﹣2）（k＞0），所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)A（xA，yA），D（xD，yD），將直線l1代入橢圓方程得：（1+2k2）x2+（4k﹣8k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0，所以xPxA，所以xA，直線l2的方程為y（x﹣3），所以點(diǎn)D坐標(biāo)為，所以S△ABD（4﹣xA）|yB﹣yD|??＝2k222，當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時(shí)取等號，綜上，△ABD面積的最小值22．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19.已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù),對隨意,恒成立.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）求函數(shù)定義域,然后對函數(shù)求導(dǎo),依據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得出時(shí),有極大值,即可算出實(shí)數(shù)的值.（2）（i）由（1）知,,代入中,依據(jù),整理至即對恒成立,設(shè)新函數(shù),將原問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立,分的取值范圍分類探討即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.（ii）要證,轉(zhuǎn)化為證證,整理至,設(shè)兩個(gè)新函數(shù),,分別對兩個(gè)新函數(shù)求導(dǎo),推斷單調(diào)性,即可證得成立.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?,令,解得：,令,解得：,所以當(dāng),為增函數(shù),當(dāng),為減函數(shù),所以時(shí),有極大值,所以;（2）（i）由（1）知,,則,即對恒成立,所以對恒成立,即對恒成立,設(shè),則對恒成立,,設(shè),,原問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立,①若,當(dāng)時(shí),則,不合題意;②若,則對恒成立,符合題意③若,則,令,,令,,所以當(dāng)時(shí),為減函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以,即,即;綜上.（ii）要證,只需證,即,即,只需證,設(shè),,因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以：因?yàn)楹愠闪?所以在上單調(diào)遞增,所以,則,則,由（2）可知,,所以;所以,即,得證.所以成立.【點(diǎn)睛】本題考查已知導(dǎo)數(shù)的極值求參數(shù),考查利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性,證明不等式恒成立,考查計(jì)算實(shí)力,屬于中檔題.20.對于數(shù)列{an}，若從其次項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的全部項(xiàng)的和，則稱{an}為P數(shù)列.（1）若{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2，試推斷{an}是否是P數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列a1，a2，a3，…，a10是首項(xiàng)為﹣1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是P數(shù)列，求d的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a、公比為q的等比數(shù)列，有窮數(shù)列{bn}，{cn}是從{an}中取出部分項(xiàng)按原來的依次所組成的不同數(shù)列，其全部項(xiàng)和分別為T1，T2，求{an}是P數(shù)列時(shí)a與q所滿意的條件，并證明命題“若a＞0且T1＝T2，則{an}不是P數(shù)列”.【答案】（1）數(shù)列{an}是P數(shù)列；詳見解析（2）（3）或；證明見解析【解析】【分析】（1）先求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合P數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；（2）先求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合P數(shù)列的特點(diǎn)列出不等關(guān)系，然后進(jìn)行求解；（3）依據(jù)P數(shù)列建立不等關(guān)系，求解不等式可得.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝5，故，那么當(dāng)時(shí)，，符合題意，故數(shù)列{an}是P數(shù)列.（2）由題意知，該數(shù)列的前n項(xiàng)