福建省寧德市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-福建省寧德市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）（考試時(shí)間:120分鐘試卷總分:150分）留意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的校名、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷的相應(yīng)位置上.2.全部答案在答題卡上完成，答在本卷上無效.一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的相應(yīng)位置填涂.1.已知全集則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)扇形面積公式即可求解.【詳解】由扇形面積公式可得這個(gè)扇形面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】，，，，因?yàn)椋?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了零點(diǎn)存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)得到，，計(jì)算出，即可得到.【詳解】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，直角三角形中較小的銳角為，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意求出直角三角形的面積以及斜邊的長(zhǎng)，由勾股定理以及三角形面積公式列出等式，求解即可.【詳解】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為5，所以直角三角形的斜邊為小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，則每一個(gè)直角三角形的面積為設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為：，則有解得：則故選：B點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角形面積公式以及求正切，屬于基礎(chǔ)題.6.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式將綻開，平方后化簡(jiǎn)得到，求出，即可得出.【詳解】因?yàn)樗裕?jiǎn)得到又，所以，即，即所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，則的最小值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】將綻開化簡(jiǎn)得到，再由化簡(jiǎn)得到，依據(jù)的范圍，即可得到的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算以及模長(zhǎng)的求法，屬于中檔題.8.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)奇偶性解除D，取特別值解除A，C，即可得出答案.【詳解】令，則函數(shù)為奇函數(shù)所以解除D，解得：，因?yàn)?，，所以解除A，C故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.9.若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出，利用指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)并與比較，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較大小，屬于中檔題.10.已知函數(shù)則的最大值為（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，利用換元法以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以令，則,二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)正弦的二次式的最值，屬于中檔題.11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，依據(jù)平移變換得到，由結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到,或,，由即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以由題意可得，解得：,或,即,或,當(dāng)時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的平移變換等，屬于中等題.12.高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù)，在自然科學(xué)社會(huì)科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影.設(shè)，用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，如，則叫做高斯函數(shù).給定函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】證明函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，并依據(jù)時(shí)，的圖象畫出，，將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，探討的取值，依據(jù)圖像，列出相應(yīng)不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則要使得有5個(gè)解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)，的圖象如下圖所示不滿意題意當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)，的圖象如下圖所示要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的圖象低于點(diǎn)A，不低于點(diǎn)B故有，解得：故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于難題.二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡相應(yīng)位置13.若向量與共線，則實(shí)數(shù)___________;【答案】【解析】【分析】由向量共線得到，即可得到.【詳解】向量與共線，則，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.求值=___________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，逆用兩角和的余弦公式，即可求解.【詳解】則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的余弦公式的逆用，屬于基礎(chǔ)題.15.若函數(shù)在上的最大值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】先確定的解，畫出函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像分析即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，解得；，解得函數(shù)的圖像如下圖所示由圖可知，要使得函數(shù)在上的最大值為2，則【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)，屬于中檔題.16.若函數(shù)同時(shí)滿意下列兩個(gè)條件，則稱該函數(shù)為“和諧函數(shù)”:（1）隨意恒成立;（2）隨意且，都有以下四個(gè)函數(shù):①；②；③；④中是“和諧函數(shù)”的為________________（寫出全部正確的題號(hào)）.【答案】③④【解析】【分析】先由單調(diào)性以及奇偶性定義得到“和諧函數(shù)”滿意的條件，再以此為依據(jù)，分別推斷奇偶性以及單調(diào)性，即可推斷.【詳解】隨意恒成立，則隨意即函數(shù)在上為奇函數(shù)取，因隨意且，都有，所以在上增函數(shù)①函數(shù)的定義域?yàn)?，故①不是和諧函數(shù)；②，令，則函數(shù)在上為奇函數(shù)，但，即不是增函數(shù)，故②不是和諧函數(shù)；③令，定義域?yàn)?，則函數(shù)在上為奇函數(shù)；設(shè)，因?yàn)?，所以，即所以函?shù)在上為增函數(shù)，故③為和諧函數(shù)；④令，定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)在上為奇函數(shù)；設(shè)，因?yàn)?，，所以即即函?shù)在上為增函數(shù)，故④是和諧函數(shù)；故答案為：③④【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的證明以及奇偶性的證明，屬于中等題.三、解答題:本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明或演算步驟.17.已知全集，集合（1）求（2）假如，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】(1)化簡(jiǎn)集合B，求出集合A的補(bǔ)集，即可求解(2)依據(jù)集合A與集合C沒有公共部分，畫出韋恩圖，列出相應(yīng)不等式，即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，或，?）因?yàn)?，所以集合A與集合C沒有公共部分或故有或，解得：或即實(shí)數(shù)的取值范圍是或【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交并補(bǔ)運(yùn)算以及已知集合間的關(guān)系求參數(shù)，屬于中等題.18.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上.（1）若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，試用表示;（2）若AB＝2，BC＝3，當(dāng)時(shí)，求DF的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)平行四邊形法則得到，，結(jié)合三角形法則并化簡(jiǎn)得；(2)建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示、，即可得到DF的長(zhǎng).【詳解】解：（1）因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槭巧峡拷娜确贮c(diǎn)，所以，.所以.（2）如圖，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)的長(zhǎng)為,則.所以.因?yàn)?，所?所以,即的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了用基底表示向量以及已知數(shù)量積求模長(zhǎng)，屬于中檔題.19.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若，且求的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式、協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間化簡(jiǎn)得到的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)依據(jù)函數(shù)的解析式以及化簡(jiǎn)得到，再由確定，再由兩角和的正切公式求出.【詳解】解：（1）由已知得：由得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?所以,即.因?yàn)樗砸虼思此?【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的單調(diào)性以及兩角和的正切公式，屬于中檔題.20.在國(guó)慶期間，某商場(chǎng)進(jìn)行實(shí)惠大酬賓活動(dòng)，在活動(dòng)期間，商場(chǎng)內(nèi)全部商品按標(biāo)價(jià)的80％出售;同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿肯定金額（元）后，還可按如下方案獲得相應(yīng)金額（元）的獎(jiǎng)券:依據(jù)上述實(shí)惠方案，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重實(shí)惠例如，購(gòu)買標(biāo)價(jià)為300元的商品，則消費(fèi)金額為240元，獲得的實(shí)惠額為:（元）.設(shè)購(gòu)買商品得到的，試問:（1）購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為800元的商品，顧客得到的實(shí)惠率是多少?（2）對(duì)于標(biāo)價(jià)在（元）內(nèi)的商品，要使顧客購(gòu)買某商品獲得30％的實(shí)惠率，則該商品的標(biāo)價(jià)是多少?【答案】（1）購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為元的商品，顧客得到的實(shí)惠率是（2）購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品可以得到的實(shí)惠率【解析】【分析】(1)依據(jù)題意求出實(shí)惠額，利用題設(shè)所給公式即可得到實(shí)惠率；(2)設(shè)購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品可以得到的實(shí)惠率，分別探討和，依據(jù)實(shí)惠率列出等式，求出相應(yīng)的標(biāo)價(jià)，即可得出滿意題意的標(biāo)價(jià).【詳解】解：（1）標(biāo)價(jià)為元商品實(shí)惠額為:元,所以實(shí)惠率為：.答：購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為元的商品，顧客得到的實(shí)惠率是.（2）設(shè)購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品可以得到的實(shí)惠率.當(dāng)時(shí)，，實(shí)惠率為：，解得.因?yàn)椋圆缓项}意，舍去.當(dāng)時(shí)，，實(shí)惠率為：，解得.因?yàn)?，符合題意.答：購(gòu)買標(biāo)價(jià)為元的商品可以得到的實(shí)惠率.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知函數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，且.（1）求函數(shù)的解析式;（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)依據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸以及，得出，由，列出方程組，解出，依據(jù)得出，；(2)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，依據(jù)圖像，求出的取值范圍.【詳解】解：（1）是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，且，則由已知得所以所以,又因?yàn)樗?，，故?）依題意知函數(shù)與在上有個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定解析式以依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于中檔題.22.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求滿意方程的的值;（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).①若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;②已知函數(shù)滿意，若對(duì)隨意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】(1)解方程求出的值即可；(2)依據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，由定義列出方程，求出，對(duì)于①，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式得到，由，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；對(duì)于②，由的解析式得到的解析式，化簡(jiǎn)，結(jié)合換元法以及基本不等式得到實(shí)數(shù)的最大值.11【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所?/p>