陜西省咸陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬檢測(cè)試題理含解析

PAGE21-陜西省咸陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次模擬檢測(cè)試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)滿分150分，時(shí)間120分鐘；2.答卷前，考生須精確填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并仔細(xì)核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)；3.第Ⅰ卷選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂，第Ⅱ卷非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，涂寫要工整、清楚；4.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆用補(bǔ)集，交集的概念運(yùn)算即可.【詳解】，，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出虛部.【詳解】由題意得:，的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量,,向量在向量上的投影等于（）A. B.9 C.?3 D.【答案】D【解析】【分析】求出以及的值,即可求出向量在向量上的投影.【詳解】解:由題意知,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量投影的概念,考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的模.在求一個(gè)向量在另一個(gè)向量的投影時(shí),有兩種做題思路:一是干脆求,即;另外還可以由向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,.4.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，，我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球，）若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆第10層球的個(gè)數(shù)為（）.A.66 B.55 C.45 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角形數(shù)的特征可得通項(xiàng)公式,代入可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)數(shù)列為數(shù)列，則所以即，所以該堆第10層球的個(gè)數(shù)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，找出數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.已知一組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為12 B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為21C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為21 D.該組數(shù)據(jù)的方差為11【答案】D【解析】【分析】通過(guò)莖葉圖計(jì)算出極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依據(jù)莖葉圖可知，數(shù)據(jù)為，所以：極差，A選項(xiàng)正確.中位數(shù)為，B選項(xiàng)正確.平均數(shù)為，C選項(xiàng)正確.方差為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)莖葉圖計(jì)算極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，則下列不等式不成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出不等式不成立的選項(xiàng).【詳解】依題意，由于為定義域上的減函數(shù)，故，故A選項(xiàng)不等式成立.由于為定義域上的增函數(shù)，故，則，所以B選項(xiàng)不等式不成立，D選項(xiàng)不等式成立.由于，故，所以C選項(xiàng)不等式成立.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理推斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得；若，依據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.8.的綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）.A.24 B.18 C.12 D.4【答案】B【解析】【分析】由綻開(kāi)式中含的項(xiàng)為：，計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】綻開(kāi)式中含的項(xiàng)為：，所以的綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為18，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式綻開(kāi)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)鍵在于理解二項(xiàng)式綻開(kāi)式的意義，屬于基礎(chǔ)題.9.若，且，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)余弦的二倍角公式和正弦的和角公式將原式化簡(jiǎn)得，再將其兩邊平方和運(yùn)用正弦的二倍角公式可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵在于嫻熟記憶三角恒等變換所需的公式，屬于基礎(chǔ)題.10.拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線垂直于雙曲線的一條漸近線，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出過(guò)兩焦點(diǎn)的直線方程，依據(jù)直線垂直的條件可得選項(xiàng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,兩焦點(diǎn)的連線的方程為，又雙曲線的漸近線方程為，所以，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.11.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度單位后得函數(shù)圖象，若為偶函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間勻上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合是偶函數(shù)求出，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度單位后得函數(shù)圖象，則，若為偶函數(shù)，則，即，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不具備單調(diào)性，故A，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)，故D正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了余弦型函數(shù)的圖象變換、性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.12.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先探討函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的圖像整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由函數(shù)的解析式易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，繪制函數(shù)圖像如圖所示，留意到，故方程的解：，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程時(shí)解的個(gè)數(shù)之和，由函數(shù)圖像易知滿意題意的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè).本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，分類探討的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】6【解析】【分析】先作出不等式組所表示的可行域，再運(yùn)用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得出最值.【詳解】由不等式組作出可行域如下圖所示，由，得，由圖示可知直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，取得最大值，由得，所以的最大值為，故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組所表示的可行域和線性目標(biāo)函數(shù)的最值求解，正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14.已知定義在上的函數(shù)滿意，且，則________.【答案】3【解析】【分析】由已知可得，是函數(shù)的一個(gè)周期，所以，再由，可求得，可得答案.【詳解】由已知可得，，則有，則是函數(shù)的一個(gè)周期，

所以，又，所以，

所以，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期性及其應(yīng)用，精確理解周期性的定義是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15.在中內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由已知條件和正弦定理可得，又由余弦定理可得，可求得c，得出是直角三角形，可求得其面積.【詳解】由已知條件和正弦定理得，又依據(jù)余弦定理得，，又，是直角三角形，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行三角形的邊角互轉(zhuǎn)，關(guān)鍵在于正確選擇和運(yùn)用相應(yīng)的公式，屬于中檔題.16.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱全部頂點(diǎn)都在球的表面上，若球的表面積為，則該三棱柱的體積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】通過(guò)球的內(nèi)接體,說(shuō)明幾何體的中心是球的球心,由球的表面積求出球的半徑,設(shè)出三棱柱的底面邊長(zhǎng),通過(guò)解直角三角形求得棱長(zhǎng),然后由棱柱的體積公式可得答案.【詳解】如圖,因?yàn)橹比庵娜坷忾L(zhǎng)都相等,6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,所以三棱柱為正三棱柱,且其中心為球的球心,設(shè)球心為O,再設(shè)球的半徑為r,由球O的表面積為,得，設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,則上底面所在圓的半徑為,且球心O到上底面中心H的距離,

,即,.則三棱柱的底面積為.

.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接正棱柱與球的關(guān)系,關(guān)鍵在于求得球心的位置和球的半徑,考查計(jì)算實(shí)力,屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列滿意，，其前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)求出首項(xiàng)、公差,即可得到通項(xiàng)公式,

(2),求得通項(xiàng),利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，，∴，，∴，，（2）因?yàn)?，所以，所以，①①式兩邊同時(shí)乘，得，②所以①-②可得，，，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式的求解，以及運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和，屬于中檔題.18.已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，且，，.（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，.依據(jù)平面幾何學(xué)問(wèn)和線面垂直的判定可證得平面，再證得，可證明平面平面.（2）由線面角的定義可得為與平面所成的角，再以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角的余弦值.【詳解】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，.∵，∴.又∵，，∴四邊形為正方形，則.∵平面，平面，∴.∵，∴平面.∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）∵平面，∴為與平面所成的角，即，則.設(shè)，則，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.∵平面，∴平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，∵，，則，取，則.設(shè)二面角的平面角為，∴.由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是空間中的面面垂直關(guān)系,運(yùn)用空間向量求解二面角大小.考查空間想象、推理論證、計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.19.已知某校6個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如下表：學(xué)生的編號(hào)123456數(shù)學(xué)898779817890物理797577737274（1）若在本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的學(xué)生為理科小能手.從這6個(gè)學(xué)生中抽出2個(gè)學(xué)生，設(shè)表示理科小能手的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）通過(guò)大量事實(shí)證明發(fā)覺(jué)，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成果和物理成果具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在上述表格是正確的前提下，用表示數(shù)學(xué)成果，用表示物理成果，求與的回來(lái)方程.參考數(shù)據(jù)和公式：，其中，.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由題意得1號(hào)學(xué)生、2號(hào)學(xué)生為理科小能手,從而得到X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）利用最小二乘法分別求出，，由此能求出y與x的回來(lái)直線方程．【詳解】（1）由題意得1號(hào)學(xué)生、2號(hào)學(xué)生為理科小能手.的可能取值為：0,1,2P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），的分布列為012（2），xiyi＝37828，xi2＝42476，∴（6）÷（），75﹣×84＝，回來(lái)方程為【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查回來(lái)直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意最小二乘法的合理運(yùn)用．20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且其離心率為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條相互垂直的射線與橢圓分別相交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在；定圓【解析】【分析】(1)依據(jù)橢圓的離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程中,求出a、b,即可得到橢圓C的方程.

(2)依據(jù)條件，分直線的斜率不存在和直線的斜率不存在兩種狀況分別求出定圓的方程，,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程組,令，,利用韋達(dá)定理,結(jié)合.推出,利用直線與圓相切,求出圓的半徑,得到圓的方程,即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，又∵，解之得，.所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴.∴到直線的距離為，所以.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，由得.設(shè)，，則，.∵，∴，∴.∴，即.∴到直線的距離為，故存定圓與直線總相切.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法,圓與橢圓的以及直線的綜合應(yīng)用,考查分類探討思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（且）.（1）探討的單調(diào)性；（2）對(duì)隨意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)探討a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)由題意知對(duì)隨意，恒成立，，又由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以只需：，設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由.令得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由題意知對(duì)隨意，恒成立，，又由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以只需：，設(shè).∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.留意到，所以，當(dāng)不等式（1）成立；當(dāng)時(shí)不等式（1）不成立.又，∴當(dāng)不等式（1）也成立，所以，時(shí)不等式（1）成立.此時(shí)，不等式（2）也成立，而當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)的性質(zhì)知，不等式（2）不成立.綜上所述，不等式組的解為.又∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查探討函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)證