2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之圓

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之

選擇題（共10小題）

1.如圖，。。的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,NA=22.5°,0c=4,CD的長(zhǎng)為（）

4V2D.8

2.如圖，Rt^ABC中，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

8V1312V13

A.-B.2C.-------D.---------

21313

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OP的圓心坐標(biāo)是（3,a）Q>3）,半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被。尸

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，若四邊形ABC。是平行四邊形，則/AOC的大小為（）

D

A.45°B.50°C.60°D.75°

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與（DO相切于E,F,G三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

。。的切線交BC于點(diǎn)切點(diǎn)為N,則0M的長(zhǎng)為（）

C.1V13D.2V5

6.如圖，A8是。。的直徑,弦C。交A8于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,ZAPC=30°,則CD的長(zhǎng)為（)

2V5C.2V15D.8

7.如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16c??,則該半圓的半徑為（）

C.4乘cmD.6y[2cm

8.如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（0,2）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，8C=1,點(diǎn)M為線段AC

的中點(diǎn)，連接。則的最大值為（)

A.V2+1B.V24-iC.2V2+1D.2V2-j

9.如圖，四邊形ABC。為O。的內(nèi)接四邊形，已知/2。。=100°,則的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

10.如圖，。。的直徑A8與弦C。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若DE=OB,NAOC=84°,則/￡等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

二.填空題（共5小題）

11.如圖，AB,CD是半徑為5的。。的兩條弦，48=8,CD=6,MN是直徑，AB_LMN于點(diǎn)E,CD1.

MN于點(diǎn)F,P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為.

A

12.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，若BC=6,AB=10,于點(diǎn)。，則。。的長(zhǎng)

13.如圖，在口ABC。中，AD=2,AB=4,NA=30°,以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E,

連接C￡,則陰影部分的面積是(結(jié)果保留n).

14.在平面直角坐標(biāo)系中，O尸的圓心是(2,a)(a>2),半徑為2,函數(shù)y=x的圖象被O尸截得的弦A2

的長(zhǎng)為2百，則a的值是

15.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,以頂點(diǎn)。為圓心作半徑為廣的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、

B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是.

16.如圖，AC是。。的直徑，BC是O。的弦，點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，連接尸3、AB,/PBA=/C.

(1)求證：尸8是。。的切線；

(2)連接。尸，若OP〃BC,且0P=8,。。的半徑為2vx求BC的長(zhǎng).

c

p

17.如圖，在△ABC中，/C=90°,點(diǎn)。在AC上，以。4為半徑的。。交4B于點(diǎn)。，8。的垂直平分

線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.

(1)判斷直線DE與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求線段QE的長(zhǎng).

18.如圖，已知△ABC內(nèi)接于。。，SLAB=AC,直徑交BC于點(diǎn)E,尸是OE上的一點(diǎn)，使

(1)求證：BE=CE；

(2)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)若BC=8,AD=10,求CD的長(zhǎng).

19.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，EC=BC=DC.

(1)若NCBD=39°,求NBA。的度數(shù)；

(2)求證：Z1—Z2.

20.如圖，已知三角形ABC的邊AB是。。的切線，切點(diǎn)為8.AC經(jīng)過(guò)圓心。并與圓相交于點(diǎn)。、C,過(guò)

C作直線CE1AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CB平分/ACE；

(2)若BE=3,C￡=4,求O。的半徑.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之圓（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，。。的直徑A8垂直于弦CD,垂足為E,ZA=22.5°,OC=4,CD的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；等腰直角三角形.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角定理得/BOC=2/A=45°,由于OO的直徑AB垂直于弦CO,根據(jù)垂徑定理得

CE=DE,且可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=￥OC=2VL然后利用C￡）=2CE進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解:VZA=22.5°,

：.ZBOC^2ZA^45°,

,：QO的直徑AB垂直于弦CD,

:.CE=DE,△OCE為等腰直角三角形，

:.CE=芍OC=2版

：.CD=2CE=A42.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理.

2.如圖，RtAABCABLBC,AB=6,BC=4,尸是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足NP8C,

則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

B

38V1312V13

A.-B.2C.-------D.---------

21313

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；圓周角定理.

【答案】B

【分析】首先證明點(diǎn)尸在以A8為直徑的OO上，連接。。與。0交于點(diǎn)P,此時(shí)尸。最小，利用勾股

定理求出OC即可解決問(wèn)題.

【解答】解：?.?NABC=90°,

ZABP+ZPBC=90°,

*：APAB=APBC,

：.ZBAP+ZABP=90°,

ZAPB=90°,

：.OP=OA=OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），

???點(diǎn)尸在以A5為直徑的。。上，連接。。交。。于點(diǎn)尸，此時(shí)PC最小,

在RtZXBCO中，9：ZOBC=90°,BC=4,0B=3,

：.OC=7BO2+BC2=5,

：.PC=OC-OP=5-3=2.

???尸。最小值為2.

故選：B.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P位置，學(xué)

會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓的最小、最大距離，屬于中考常考題型.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OP的圓心坐標(biāo)是（3,a）（a>3）,半徑為3,函數(shù)丫=尤的圖象被。尸

【考點(diǎn)】垂徑定理；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；勾股定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題.

【答案】B

【分析】PC_Lx軸于C,交A8于。，作PE_LA8于E,連接尸8,由于0c=3,PC=a,易得。點(diǎn)坐標(biāo)

為（3,3）,則△08為等腰直角三角形，△尸即也為等腰直角三角形.由PELAB,根據(jù)垂徑定理得

AE=BE=jAB=2V2,在RtZXPBE中，利用勾股定理可計(jì)算出PE=1,則PZ）=/PE=所以a=

3+V2.

【解答】解：作PC_Lx軸于C,交A8于。，作于E,連接PB,如圖，

尸的圓心坐標(biāo)是（3,。），

*,*0C=39PC=cij

把x=3代入y=x得y=3,

???。點(diǎn)坐標(biāo)為（3,3）,

：.CD=3,

???A0CD為等腰直角三角形，

???APED也為等腰直角三角形，

VPE1AB,

：.AE=BE=%8=1X4V2=2或,

在RtZ\P8E中，尸3=3,

：.PE=J32-（2V2）2=1,

：.PD=V2P￡=V2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股

定理和等腰直角三角形的性質(zhì).

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，若四邊形ABC。是平行四邊形，則/AOC的大小為（）

50°C.60°D.75°

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理.

【答案】c

+6

a一

一

1

【分析】設(shè)/AOC的度數(shù)=a,N45C的度數(shù)=0,由題意可得-S,求出P即可解決問(wèn)題.

a-2

【解答】解：設(shè)/AOC的度數(shù)=a,/ABC的度數(shù)=0；

:四邊形ABCO是平行四邊形，

NA2C=ZAOC；

1

VZADC=^P，ZADC=a；ffi]a+p=180°,

a+S=180°

**?i，

a=不B

Lr

解得：8=120°,a=60°,ZADC=60°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用問(wèn)題；應(yīng)牢固掌握該定理并能靈活運(yùn)用.

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與。。相切于E,F,G三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

O。的切線父BC于點(diǎn)M,切點(diǎn)為N,則。M的長(zhǎng)為（）

1394/—「

A.—B.-C.—V13D.2A/5

323

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】壓軸題.

【答案】A

【分析】連接OE,OF,ON,OG,在矩形ABC。中，得到/A=NB=90°,CD=AB=4,由于AD,

AB,BC分別與。。相切于E,F,3三點(diǎn)得到/450=/4尸0=/0尸8=/860=90°,推出四邊形

AFOE,FBGO是正方形，得到A尸=8尸=AE=2G=2,由勾股定理列方程即可求出結(jié)果.

【解答】解：連接OE,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中，

VZA=ZB=90°,CD=AB=4,

,：AD,AB,BC分別與O。相切于E,F,G三點(diǎn),

:./AEO=NAFO=NOFB=NBGO=90°,

四邊形AFOE,EBG。是正方形，

.?.AF=BF=AE=2G=2,

；.DE=3,

是O。的切線，

:.DN=DE=3,MN=MG,

：.CM=5-2-MN=3-MN,

在RtzXOMC中，DM2=CD2+CM2,

：.(3+W)2=(3-W)2+42,

4

-

3，

4

3+--

313

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，是O。的直徑，弦CD交48于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,NAPC=30°,則CZ）的長(zhǎng)為（）

-------

A.V15B.2V5C.2V15D.8

【考點(diǎn)】垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【答案】C

【分析】作OHLCD于H,連接OC,如圖，根據(jù)垂徑定理由OHLCD得到HC=HO,再利用人尸=2,

BP=6可計(jì)算出半徑0A=4,則。尸=。4-AP=2,接著在RtAOPH中根據(jù)含30度的直角三角形的性

質(zhì)計(jì)算出OH=然后在RtAOHC中利用勾股定理計(jì)算出CH=V15,所以CD=2CH=2底＞.

【解答】解：作OHLCD于“，連接OC,如圖，

\'OHLCD,

:.HC=HD,

；AP=2,BP=6,

：.AB=S,

：.OA=4,

：.OP=OA-AP=2,

在RtZxOPH中，VZOPH=ZAPC=30°,

：.ZPOH=60°,

1

，OH=抑0=1,

在Rtz\OHC中，；OC=4,OH=1,

CH=VOC2-OH2=V15,

:.CD=2CH=2后.

故選：c.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股

定理以及含30度的直角三角形的性質(zhì).

若小正方形的面積為16”?,則該半圓的半徑為（

C.4?cmD.6yf2cm

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題.

【答案】C

1

【分析】連接。4、OB、OE,ffiRtAADO^RtABCO,推出。。=OC,設(shè)AO=a,則。。=血，由勾

股定理求出。4=。8=?！?亨4,求出EF=fC=4cs,在△OFE中由勾股定理求出a,即可求出答案.

連接。4、OB、OE,

:四邊形A8CQ是正方形，

：.AD=BC,ZADO=ZBCO=90°,

,/在RtAADO和RtABCO中

.,(0A=OB

?bw=BC'

：.RtAADO^RtABCO(HL),

???OD=OC,

:四邊形ABC。是正方形，

C.AD^DC,

設(shè)AD=acm,貝!]OD=OC=^DC=^AD=^acm,

在△AO。中，由勾股定理得：OA=OB=OE=^-acm,

??,小正方形EFCG的面積為16cm2,

：?EF=FC=4cm,

在△OFE中，由勾股定理得：(字口尸=42+&a+4)2,

解得：。=-4(舍去)，。=8,

V5

——。=4/5(cm),

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能

力，用的數(shù)學(xué)思想是方程思想.

8.如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，8C=1,點(diǎn)M為線段AC

的中點(diǎn)，連接OM,則的最大值為()

A.V2+1B.V2+^C.2V2+1D.2V2-J

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形中位線定理.

【專(zhuān)題】三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的上，通過(guò)畫(huà)圖可知，C在8。與圓8的交點(diǎn)

時(shí)，最小，在。3的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，

:點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

，C在08上，且半徑為1,

取。。=。4=2,連接CD

'：AM^CM,OD^OA,

：.OM是△AC。的中位線，

1

：.OM=^CD,

當(dāng)。"最大時(shí)，即CD最大，而D,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在。8的延長(zhǎng)線上時(shí)，0M最大，

'：OB=OD=2,ZBOD=90°,

：.BD=2-/2,

：.CD=242+l,

OM=*CQ=V2+i,即OM的最大值為夜+會(huì)

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定0M為最大值時(shí)點(diǎn)C的位

置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).

9.如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，已知/80。=100°,則/BCD的度數(shù)為（）

A

C

A.50°B.80°C.100°D.130°

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【答案】D

【分析】首先根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，求出的度數(shù)；然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，

用180°減去/民4。的度數(shù)，求出乙8。的度數(shù)是多少即可.

【解答】解：：/2。。=100°,

.\ZBAD=100°+2=50°,

.?.ZBCZ）=180°-ZBAD

=180°-50°

=130°

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這

條弧所對(duì)的圓心角的一半，要熟練掌握.

（2）此題還考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓內(nèi)接四邊形的

對(duì)角互補(bǔ).②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.

10.如圖，OO的直徑42與弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若DE=OB,NAOC=84°,則NE等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

【考點(diǎn)】圓的認(rèn)識(shí)；等腰三角形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【答案】B

【分析】利用OB=DE,。8=。。得至!則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得/1=/OOE+

NE,所以N1=2NE,同理得到NAOC=NC+NE=3NE,然后利用NE=9NAOC進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：連接如圖，

VOB=DE,OB=OD,

:.DO=DE,

：.ZE=ZDOE,

?；NT=/DOE+NE,

：.Zl=2ZEf

而0C:=OD,

.\ZC=Z1,

???NC=2NE,

ZAOC=ZC+ZE=3ZE,

1i

AZE=^ZAOC=x84°=28°.

故選：B,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等

圓、等弧等）.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

二.填空題（共5小題）

11.如圖，AB,CD是半徑為5的。0的兩條弦，AB=8,CZ）=6,MN是直徑，于點(diǎn)區(qū)CDL

MN于點(diǎn)、F,尸為EP上的任意一點(diǎn)，則B4+PC的最小值為7魚(yú).

【考點(diǎn)】垂徑定理；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】A、8兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，HffiJPA+PC=PB+PC,即當(dāng)8、C、P在一條直線上時(shí)，出+PC的

最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

【解答】解：連接02,0C,作垂直AB于"

根據(jù)垂徑定理，得到8E=%8=4,CF=*CD=3,

：.0E=VOB2-BE2=V52-42=3,

OF=VOC2-CF2=452-32=4,

CH=OE+OF=3+4=7,

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=7V2,

則PA+PC的最小值為7a.

故答案為：7或

A

【點(diǎn)評(píng)】正確理解BC的長(zhǎng)是B4+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.

12.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，若BC=6,42=10,ODLBC于點(diǎn)。，則的長(zhǎng)

【專(zhuān)題】壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)垂徑定理求得BD然后根據(jù)勾股定理求得即可.

【解答】M：'：ODLBC,

1

：.BD=CD=泓=3,

1

'：OB=^AB=5,

：.OD=yj0B2-BD2=4.

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理，本題非常重要，學(xué)生要熟練掌握.

13.如圖，在口ABC。中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E,

連接CE,則陰影部分的面積是3-不T（結(jié)果保留n）.

DC

AER

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；平行四邊形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】過(guò)D點(diǎn)作DF±AB于點(diǎn)F.可求nABCD和△BCE的高，觀察圖形可知陰影部分的面積=口48。￡）

的面積-扇形AOE的面積-△BCE的面積，計(jì)算即可求解.

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作。于點(diǎn)尸.

\"AD=2,AB=4,乙4=30°,

.?.DF=AD.sin30°=1,EB=AB-AE=2,

陰影部分的面積:

30X7TX22

4X1--2X14-2

-360-

=4--1

=3—^Tt.

故答案為：3—^Tt.

【點(diǎn)評(píng)】考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積=口428的

面積-扇形AOE的面積-△BCE的面積.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，。尸的圓心是（2,a）Q>2）,半徑為2,函數(shù)y=x的圖象被。尸截得的弦A8

的長(zhǎng)為2百，則a的值是2+遮.

【考點(diǎn)】垂徑定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】過(guò)P點(diǎn)作PELAB于E,過(guò)P點(diǎn)作PC±x軸于C,交AB于D,連接PA.分別求出PD、DC,

相加即可.

【解答】解：過(guò)尸點(diǎn)作尸于E,過(guò)P點(diǎn)作尸軸于C,交A3于D,連接熱.

,:AB=25

：.AE=V3,PA=2,

：.PE=i.

:點(diǎn)。在直線y=龍上，

AZAOC=45°,

vzr>co=90°,

：.ZODC=45°,

：.ZPDE=ZODC=45°,

：.ZDPE=ZPDE=45°,

:.DE=PE=L

：.PD=V2.

：O尸的圓心是（2,a）,

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,

；.OC=2,

：.DC=OC=2,

.,.a—PD+DC—2+42.

故答案為：2+魚(yú).

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識(shí)

求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.注意函數(shù)y=x與x軸的夾角是45。.

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,A￡>=3,以頂點(diǎn)。為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、

B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則廠的取值范圍是3<r<5.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行判斷.當(dāng)d>r

時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

【解答】解：在直角△A3。中，CO=AB=4,AO=3,

則BD=V32+42=5.

由圖可知3<r<5.

故答案為：3<r<5.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

三.解答題(共5小題)

16.如圖，AC是。。的直徑，8c是。。的弦，點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，連接尸8、AB,ZPBA=ZC.

(1)求證：尸3是O。的切線；

(2)連接OP,若OP〃BC,且OP=8,OO的半徑為2&，求8c的長(zhǎng).

C

【考點(diǎn)】切線的判定.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)連接。2,由圓周角定理得出NABC=90°,得出/C+/BAC=90°,再由04=02,得

出/氏4。=/。應(yīng)1,證出NPBA+NOBA=90°,即可得出結(jié)論；

(2)證明△ABCS/XPB。，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接08,如圖所示：

是O。的直徑，

ZABC=90°,

：.ZC+ZBAC=90°,

?：OA=OB,

：.ZBAC=ZOBAf

???NP5A=NC,

：.ZPBA+ZOBA=90°,

即PB_LOB,

???尸6是。。的切線；

(2)解：???。0的半徑為2遮,

：.0B=26AC=4也

,?OP//BC,

：.ZCBO=ZBOPf

???OC=OB,

:./C=NCBO,

；?/C=NBOP,

又???NA3C=NP5O=90°,

△ABC"△尸BO,

.BCAC

??一，

OBOP

?BC4V2

即一尸=---，

2V28

：.BC=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A

周角定理、切線的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.如圖，在△ABC中，/C=90°,點(diǎn)。在AC上，以。4為半徑的。。交于點(diǎn)。，3。的垂直平分

線交8c于點(diǎn)E,交8。于點(diǎn)F,連接QE.

(1)判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若AC=6,BC=8,。4=2,求線段。E的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)直線。E與圓。相切，理由如下：連接。。，由。。=。4,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相

等，等量代換得到/。。石為直角，即可得證；

(2)連接OE,設(shè)。E=x,則EB=EO=x,CE=8-x,在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出關(guān)于

x的方程，求出方程的得到尤的值，即可確定出。E的長(zhǎng).

【解答】解：(1)直線。E與O。相切，理由如下：

連接0D,

"：OD=OA,

：.ZA^ZODA,

是8。的垂直平分線，

：.EB=ED,

：.ZB=ZEDB,

VZC=90°,

AZA+ZB=90°,

：.ZODA+ZEDB^90°,

AZ(?￡>￡=180°-90°=90°,BPODLDE,

為圓的半徑，。為半徑外端點(diǎn)，

直線。E與。。相切；

(2)連接?！?

設(shè)。E=x,則E8=￡?=x,CE=8-尤，

:?NC=NODE=90°,

：.OC2+CE2=OE2=OrP-+DE2-,

A42+（8-無(wú)）2=22+/,

解得：尤=4.75,

則￡>￡=4.75.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握直線與圓相切的性質(zhì)是

解本題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知aABC內(nèi)接于O。，且A2=AC,直徑交3c于點(diǎn)E,尸是上的一點(diǎn)，使C尸〃BD.

(1)求證：BE=CE；

(2)試判斷四邊形BFCZ)的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)若BC=8,AO=10,求CD的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；菱形的判定.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)證明△ABOgAAC。，得到N8AO=/CAr>,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)菱形，證明△BBE0ZXCDE,得至I]可知四邊形是平行四邊形，易證8。=。,

可證明結(jié)論；

(3)設(shè)。E=x,則根據(jù)CE2=￡)￡.AE列方程求出。E,再用勾股定理求出CD

【解答】(1)證明：是。。的直徑，

AZABD^ZACD^9Q°,

在RtAABD和RtAACD中，

(AB=AC

UD=AD'

：.RtAABD^RtAACD(HL),

：.ZBAD=ZCAD,

9

：AB=ACf

：.BE=CE；

(2)四邊形3/8是菱形.

證明：:A。是直徑，AB=AC,

：.AD±BC,BE=CE,

?:CF//BD,

:?/FCE=/DBE,

在△BED和跖中，

'NFCE=NDBE

BE=CE，

、乙BED=Z.CEF=90°

:?△BED"XCEF(ASA),

：.CF=BD,

???四邊形BFCD是平行四邊形，

,：ZBAD=ZCAD,

：.BD=CD,

???四邊形BFCD是菱形;

(3)解：???AO是直徑，AD±BC,BE=CE,

VZAEC=ZCED,/CAE=/ECD,

：.AAEC^ACEZ),

.AEEC

??=,

CEED

:.C怦=DE?AE,

設(shè)DE=x,

VBC=8,AD=IO,

.'.42=X(10-x),

解得：尤=2或x=8(舍去)

在Rt/XCED中，

CD=ylCE2+DE2=V42+22=2恒

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，EC=BC=DC.

(1)若NCBO=39°,求NBA。的度數(shù)；

(2)求證：Nl=/2.

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BC=OC得到/C3D=NCr>2=39°,再根據(jù)圓周角定理得/

BAC=ZCDB=39°,ZCAD=ZCBD=39°,所以NBAC+/C4￡)=78°；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由EC=BC得NCEB=/CBE,再利用三角形外角性質(zhì)得/2+/

BAE,則/2+N8AE=/l+/C8。，加上所以/l=/2.

【解答】(1)解：

:./CBD=NCDB=39°,

■:/BAC=/CDB=39°,/CAD=/CBD=39°,

：.ZBAD=ZBAC+ZCAD=39°+39°=78°；

(2)證明：,:EC=BC,

:./CEB=/CBE,

而NCEB=N2+NBAE,NCBE=/1+/CBD,

：.Z2+ZBAE=Zl+ZCBD,

；/BAE=NBDC=ZCBD,

.?.Z1=Z2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

20.如圖，已知三角形ABC的邊是。。的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過(guò)圓心。并與圓相交于點(diǎn)。、C,過(guò)

C作直線CE±AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：平分NACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。。的半徑.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】證明題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)證明：如圖b連接OB,由AB是。0的切線，得到由于CE_LA3,的OBII

CE,于是得到/1=/3,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/1=/2,通過(guò)等量代換得到結(jié)果.

CDBC

(2)如圖2,連接通過(guò)得到比例式丁=丁，列方程可得結(jié)果.

BCCE

【解答】(1)證明：如圖1,連接05,

〈AB是。0的切線，

：.OB.LAB,

，OB//CE,

.'.Z1=Z3,

?；OB=OC,

.\Z1=Z2

???N2=N3,

???C8平分NACE；

(2)如圖2,連接5,

VCEXAB,

：.ZE=90°,

：.BC=y/BE2+CE2=V32+42=5,

???CO是。0的直徑，

：.ZDBC=90°,

:?/E=/DBC,

：.ADBC^ACBE,

.CDBC

??t

BCCE

：.Bd=CD?CE,

5225

???8=彳=17，

1?5

AOC=^CD=箸，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和

性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到X軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)

軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?/p>

號(hào).

2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類(lèi)問(wèn)

題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問(wèn)題.

2.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

一次函數(shù)y=fcc+6,(ZWO,且％,6為常數(shù))的圖象是一條直線.它與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是I/0)；與y

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,6).

直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式

3.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距

離相等.

4.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

5.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(2)此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常

用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù).

(3)注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能應(yīng)用；

②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30。的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+/=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+62=02的變形有：a=Vc—b,b=7c2—a?及c=7心+爐.

(4)由于『+b2=c2>a2,所以。>小同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

7.等腰直角三角形

(1)兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的

所有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜

邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑(因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°,高又垂

直于斜邊，所以?xún)蓚€(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等)；

(3)若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑R=/+l,所以r：R=l：V2+1.

8.三角形中位線定理

(1)三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

(2)幾何語(yǔ)言：

如圖，：點(diǎn)。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

1

J.DE//BC,DE=^BC.

9.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等.

②角：平行四邊形的對(duì)角相等.

③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

10.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形);

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語(yǔ)言：四邊形ABCD是菱形；

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形(或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”).

幾何語(yǔ)言：：四邊形ABC。是平行四邊形平行四邊形ABC。是菱形

11.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線;

對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

12.圓的認(rèn)識(shí)

(1)圓的定義

定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段。4繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.固

定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓，記作“O。”，讀作“圓

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

(2)與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，圓的任意

一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧