九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-人教新課標(biāo)版

人教版數(shù)學(xué)九級(jí)下冊(cè)第二十六章二次函數(shù)126．1二次函數(shù)和其圖像126．2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程626．3實(shí)際問題與二次函數(shù)6第二十七章相似627．1圖形的相似627．2相似三角形727．3位似7第二十八章銳角三角函數(shù)828．1銳角三角函數(shù)828．2解直角三角形10第二十九章投影與視圖1229．1投影1229．2三視圖12第二十六章二次函數(shù)二次函數(shù)和其圖像二次函數(shù)（quadraticfunction）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式y(tǒng)=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a)；頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，k）對(duì)稱軸為x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向及函數(shù)ｙ＝ax∧２的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式；交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)[僅限于及x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]；重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。a的絕對(duì)值還可以決定開口大小,a的絕對(duì)值越大開口就越小,a的絕對(duì)值越小開口就越大。牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數(shù)解析式）y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導(dǎo)出交點(diǎn)式的系數(shù)a=y1/(x1*x2)(y1為截距)求根公式二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。求根公式x是自變量，y是x的二次函數(shù)x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式）（如右圖）求根的方法還有因式分解法和配方法在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準(zhǔn)確無(wú)誤，則二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。2畫出對(duì)稱軸，并注明X=什么3及X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，及Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)軸對(duì)稱1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸及拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）頂點(diǎn)2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2;-4ac=0時(shí)，P在x軸上。開口3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對(duì)稱軸位置的因素4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a及b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)當(dāng)a及b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a及b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a及b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線及y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。決定拋物線及y軸交點(diǎn)的因素5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線及y軸交點(diǎn)。拋物線及y軸交于（0，c）拋物線及x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)6.拋物線及x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線及x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線及x軸有1個(gè)交點(diǎn)。_______Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線及x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)特殊值的形式7.特殊值的形式①當(dāng)x=１時(shí)y=a+b+c②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c二次函數(shù)的性質(zhì)8.定義域：R值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮）奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)。周期性：無(wú)解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，圖象及x軸交于兩點(diǎn)：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，圖象及x軸交于一點(diǎn)：（-b/2a，0）；Δ＜0，圖象及x軸無(wú)交點(diǎn)；②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式]此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0）對(duì)稱軸X=(X1+X2)/2當(dāng)a>0且X≧(X1+X2)/2時(shí)，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≦（X1+X2）/2時(shí)Y隨X的增大而減小此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)及X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般及一元二次方程連用）。交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1X2值。用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程1.如果拋物線及x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。2.二次函數(shù)的圖象及x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。實(shí)際問題與二次函數(shù)在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十七章相似圖形的相似概述如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,則這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：∽）判定如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形相似。相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。相似三角形判定1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等3.三邊對(duì)應(yīng)成比例4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形及原三角形相似。例題∵∠A=∠A';∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'性質(zhì)1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方位似如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，則這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。注意1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形及原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以和正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊正割（sec)等于斜邊比鄰邊余割(csc)等于斜邊比對(duì)邊正切及余切互為倒數(shù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.同角三角函數(shù)間的關(guān)系平方關(guān)系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·積的關(guān)系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα·倒數(shù)關(guān)系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,余切等于鄰邊比對(duì)邊三角函數(shù)值（1）特殊角三角函數(shù)值（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況（i）銳角三角函數(shù)值都是正值（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅╥ii）當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,當(dāng)角度在0°<α<90°間變化時(shí)，tanα>0,cotα>0.特殊的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°01/2√2/2√3/21←sinα1√3/2√2/21/20←cosα0√3/31√3None←tanαNone√31√3/30←cotα解直角三角形勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑶直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；ABCABCD在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C＝90°；ABCacb⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DAABCacb銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則sinA=eq\f(a,c),cosA=eq\f(b,c),tanA=eq\f(a,b),cotA=eq\f(b,a)特殊角的三角函數(shù)值：（并會(huì)觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）sincostancot30°eq\f(1,2)eq\f(1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)eq\r(3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)1160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)eq\f(\r(3),3)解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2．⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．⑶邊角之間的關(guān)系：sinA=,cosA=．tanA=,cotA=．⑷解直角三角形中常見類型：①已知一邊一銳角．②已知兩邊．③解直角三角形的應(yīng)用．第二十九章投影及視圖29．1投影一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽(yáng)光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallelprojection).由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（centerprojection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。物體正投影的形狀、大小及它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。29．2三視圖三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來(lái)該圖形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物體的前面向后