初中數(shù)學(xué)重要的九大幾何模型

.初中數(shù)學(xué)九大幾何模型模型一：手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型全等（1）等邊三角形DOOCDEBECAAB圖1圖2△和△OCD均為等邊三角形；①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③平分∠AED（2）等腰直角三角形DDOOCEECABAB圖1圖2△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（3）頂角相等的兩任意等腰三角形..△和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠DOOC①△OAC≌△OBD；DEE②∠AEB=∠AOB；C③平分∠AEDABAB圖1圖2模型二：手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型相似（1）一般情況OOCD∥，DCDE將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置CABAB①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情況DOOCBECD∥，∠AOB=90°CD將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置ABA①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；12⑤連接、BC，必有AD2BC22CD2；⑥S..模型三：對(duì)角互補(bǔ)模型ADC（1）全等型-90°①∠AOB=∠DCE=90°；②平分∠OEB圖112①CD=CE；②OD+OE=2OC；③SSS2證明提示：AMC①作垂直，如圖2，證明△≌△CEND②過點(diǎn)C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△※當(dāng)∠DCE的一邊交的延長線于D時(shí)（如圖4ONEB圖2以上三個(gè)結(jié)論：①CD=CE；②2；A12③SS2CMACDBONEOEFB（2）全等型-120°圖3D圖4①∠AOB=2∠DCE=120°；②平分∠3①CD=CE；②OD+OE=OC；③S證明提示：①可參考全等型-90°”證法一；SS24②如右下圖：在OB上取一點(diǎn)，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。AACCFFOEBOEFB..（3）全等型-任意角ɑ①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；①平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③DCEOCDOCEOC2ααACDOBE模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1①正方形ABCD②∠EAF=45°；①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也可以這樣：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；DDF①∠EAF=45°；AAFBECGBEC（2）角含半角模型90°---2①正方形ABCD；②∠EAF=45°；①EF=DF-BE；..AAADDDCFCFCFEBEBEB（3）角含半角模型90°---3①△ABC；②∠DAE=45°；BD222（如圖1）若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時(shí)，結(jié)論BD222仍然成立（如圖2）AAFBDEACBDECFABCBCDEDE（4）角含半角模型90°變形ADFADFHHGGBCBCEE..①正方形ABCD；②∠EAF=45°；△為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型（1）倍長中線類模型ADADFFBCEHBEH①矩形ABCD②BD=BE；③DF=EF；⊥CF模型提取：①有平行線∥BE；②平行線間線段有中點(diǎn)DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等△ADF≌△。（2）倍長中線類模型---2FAAMMDDEEBCBC..①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；∠EMD=3∠MEAAB∥CDAM=DMEM△AME≌△DMF，連接CM構(gòu)造等腰△EMC，等腰△MCF8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型CCGFFDDABABE（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長中線法①△ADE、△均為等腰直角三角形；②EF=CF；①DF=BF；②DF⊥到點(diǎn)FG=DFCGBGBD△為等腰直角三角形；突破點(diǎn)：△ABD≌△CBG；難點(diǎn)：證明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法..CCGFDFADBABEEH①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；①DF=BF；②DF⊥BF△AEG△AHC；輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與。（3）任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法HOGODDAABBEECC①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；①AE=DE；②∠AED=2∠到AG=ABCD到點(diǎn)H使DH=CD△OGB、..△OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化與到CG與BH，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化∠AED。（4）任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長法OODADABECBECM①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；①AE=DE；②∠AED=2∠輔助線：延長至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明△AMD∽△ABO，此為難點(diǎn)，將△AMD∽△繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明△∽△AOD，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點(diǎn)在證明∠ABM=∠模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（將軍飲馬類）A總結(jié)：右四圖為常見的軸對(duì)稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：兩點(diǎn)之間，線段最短：解決；特點(diǎn)：①動(dòng)點(diǎn)在直線上；②起點(diǎn)，終點(diǎn)固定BPA+PBlPB'..1PAAABP12BQl2QPQB（2）最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）①平分∠AOB②M為③P為上一動(dòng)點(diǎn)；④Q為上一動(dòng)點(diǎn)；MP+PQ最小時(shí)，、Q的位置？輔助線：將作Q關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化PQ’=PQ，過點(diǎn)M作MH⊥，A則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）AHQQ'POBPM（3）最短路程模型二（點(diǎn)到直線類2）A(0,4),B(-2,0),P(0,n）5n為何值時(shí)，最??？55①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=②過B作BD⊥ACy軸于51點(diǎn)E，即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）2..yyAAPOPDEBBxOCx（4）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）BA最小值位置O最大值位置①線段OA=4，OB=2；②OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；AB的最大值，最小值分別為多少？OOB三角形兩。最大值：OA+OB；最小值：OA-OBBCAOP①線段OA=4，OB=2；②以點(diǎn)O為圓心，OB，為半徑作圓；③點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；的最大值為10OC=6的最小值為1OC=3；若的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2..CPCPBOAAOB①△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④點(diǎn)P為⑤△繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1最大值為OA+OB=123；的最小值為312如下圖，圓的最小半徑為O到垂線段長。模型八：二倍角模型△ABC中，∠B=2∠C；輔助線：以BC的垂直平分線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、注意這個(gè)結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。AAA'BCBC模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型..AA平行類：DE∥BC；EDADEDEBCBCBCA字型8字型A字型結(jié)論：(注意對(duì)應(yīng)邊要對(duì)應(yīng)）AAE（2）相似三角形模型---斜交型∠AED=∠ACB=90°；BAE×AB=AC×ADEDCDBC斜交型斜交型AAE∠ACE=∠ABC；AC=AE×ABEB斜交型CBC雙垂型第四個(gè)圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE；（3）相似三角形模型---一線三等角型E1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；A（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=