27.2.3 第1課時(shí) 切線的判定與性質(zhì)定理課件2023-2024學(xué)年華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第27章圓27.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系27.2.3切線第1課時(shí)切線的判定與性質(zhì)定理

1.通過(guò)探究，得出切線的判定定理，能夠運(yùn)用切線的判定定理解決問(wèn)題.2.知道切線的性質(zhì)定理，并能運(yùn)用切線的性質(zhì)定理解決問(wèn)題.◎重點(diǎn):運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明與計(jì)算.◎難點(diǎn):靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)切線問(wèn)題.

(1)用一根細(xì)線系一個(gè)小球，當(dāng)你快速轉(zhuǎn)動(dòng)細(xì)線時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)形成一個(gè)圓，突然這個(gè)小球脫落，沿著圓的邊緣飛出去，你知道小球順著什么方向飛出去嗎？(2)下雨天，快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘，雨傘上的水珠是順著什么方向飛出去的？

切線的判定定理

閱讀課本本課時(shí)前5段的內(nèi)容，完成下面問(wèn)題.如圖，OA是☉O的半徑，記為r，過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥OA.1.由圖可知，對(duì)直線l上除點(diǎn)A外的任何一點(diǎn)P，必有OP

＞

OA，即點(diǎn)P在圓外，從而直線與圓只有

一

個(gè)公共點(diǎn)，所以直線l是圓的

切線

.

2.設(shè)點(diǎn)O到l的距離為d，則d與r的等量關(guān)系是

d＝r

，由此我們可知直線l是☉O的

切線

.

歸納總結(jié)

切線的判定定理:經(jīng)過(guò)圓的半徑的

外端

且

垂直

于這條半徑的直線是圓的切線.

＞一切線d＝r切線外端垂直·導(dǎo)學(xué)建議·在探究切線的判定方法時(shí)，注意引導(dǎo)“經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端”“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，可以采用提出“經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端的直線是圓的切線”，“與半徑垂直的直線是圓的切線”這種假命題的方法來(lái)讓學(xué)生討論、判斷和理解.答:1.根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷:與圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.2.根據(jù)圓心到直線的距離d與這個(gè)圓的半徑r之間的關(guān)系判斷:若d＝r，則這條直線是圓的切線.3.根據(jù)切線的判定定理判斷:經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【討論】你有哪幾種方法判斷一條直線是圓的切線？·導(dǎo)學(xué)建議·可讓學(xué)生分組討論，總結(jié)出切線的幾種判定方法，便于以后靈活應(yīng)用.

切線的性質(zhì)定理

·導(dǎo)學(xué)建議·問(wèn)題引入:將切線的判定定理反過(guò)來(lái)，如果直線l是☉O的切線，切點(diǎn)為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？

閱讀課本本課時(shí)第6段至”練習(xí)”之前的內(nèi)容，完成下面問(wèn)題.如圖，直線l是☉O的切線，則圓心O到直線l的距離

等于

半徑，若A為切點(diǎn)，則半徑OA就是圓心O到直線l的

垂線段

，即l

⊥

OA.

等于垂線段⊥歸納總結(jié)

切線的性質(zhì)定理:圓的切線

垂直于

經(jīng)過(guò)

切點(diǎn)

的半徑.

垂直于切點(diǎn)·導(dǎo)學(xué)建議·證明切線的判定定理與性質(zhì)定理前，可先讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，體會(huì)定理的正確性，然后分組討論，說(shuō)明理由.

1.下列直線中一定是圓的切線的是(

B

)A.與圓有公共點(diǎn)的直線B.到圓心的距離等于半徑的直線C.垂直于圓的半徑的直線D.過(guò)圓的直徑端點(diǎn)的直線B2.如圖，AT切☉O于點(diǎn)A，AB是☉O的直徑.若∠ABT＝40°，則∠ATB＝

50°

.

50°

切線的判定1.如圖，已知AB是☉O的直徑，點(diǎn)P為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA＝PC，∠C＝30°.求證:CP是☉O的切線.證明:連接OP.圖略，∵PA＝PC，∠C＝30°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠APC＝120°.∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝30°，∴∠OPC＝120°－30°＝90°，即OP⊥CP，∴CP是☉O的切線.證明:連接OP.圖略，∵PA＝PC，∠C＝30°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠APC＝120°.∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝30°，∴∠OPC＝120°－30°＝90°，即OP⊥CP，∴CP是☉O的切線.方法歸納交流

證明一條直線是圓的切線，當(dāng)已知條件中直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，然后證明這條半徑與直線

垂直

.

垂直

切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用2.如圖，△ABC的邊AC與☉O相交于C，D兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓心O，邊AB與☉O相切，切點(diǎn)為B.如果∠A＝34°，那么∠C等于(

A

)A.28°B.33°C.34°D.56°A

解:如圖，連接OC.∵AC與☉O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AC.

設(shè)☉O的半徑為r，設(shè)☉O的半徑為r，則OC＝OB＝r，∵AB＝1，∴OA＝1＋r.在Rt△OAC中，∵OA2＝

OC2＋AC2，

∴☉O的半徑是1.在Rt△OAC中，∵OA2＝OC2＋AC2，

∴☉O的半徑是1.

方法歸納交流

利用切線的性質(zhì)定理解題時(shí)，通常連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造

直角

三角形.

直角

切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用4.(易錯(cuò)題)如圖，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一點(diǎn)，☉D與OA相切于點(diǎn)E.求證:OB與☉D相切.

證明:連接DE，圖略，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F.∵OA是切線，∴DE⊥OA.∵OC平分∠AOB，∴DE＝DF，∴☉D與OB相切于F.證明:連接DE，圖略，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F.·導(dǎo)學(xué)建議·提醒學(xué)生注意:證明圓的切線時(shí)，若沒(méi)有告訴直線與圓的公共點(diǎn)，應(yīng)該“作垂線”.證明:連接DE，DF，圖略.∵OA，OB是☉D的切線，∴DE⊥OA，DF⊥OB.在Rt△EOD與Rt△FOD中，∵DE＝DF，OD＝OD，∴Rt△EOD≌Rt△FOD，∴∠EOD＝∠FOD，

變式演練

在上題中，如果已知OA、OB是☉D的切線，切點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，試說(shuō)明OD是∠AOB的平分線.∴OD是∠AOB的平分線.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC邊交于點(diǎn)D.以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò)A，D兩點(diǎn)作☉O(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)，再判斷直線BC與☉O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.解:如圖，BC是☉O的切線.理由如下:連接OD，∵AD