專項訓練(1) 解一元二次方程2024-2025學年九年級上冊數(shù)學配套教學設計（北師大版）

專項訓練(1)解一元二次方程2024-2025學年九年級上冊數(shù)學配套教學設計（北師大版）課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：解一元二次方程

2.教學年級和班級：2024-2025學年九年級上冊，數(shù)學班

3.授課時間：待定

4.教學時數(shù)：1課時二、核心素養(yǎng)目標1.通過解一元二次方程的過程，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和問題解決能力。

2.培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

3.增強學生對數(shù)學概念的理解，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。三、教學難點與重點1.教學重點：

-理解一元二次方程的定義和標準形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

-掌握解一元二次方程的常用方法，包括配方法、公式法和因式分解法。

-學會應用一元二次方程解決實際問題。

舉例：

-通過例題展示如何將實際問題轉(zhuǎn)化為標準形式的一元二次方程，如：某商品的成本是x元，售價是成本加20%，求售價。

-通過例題演示如何使用配方法將方程化為(x+m)^2=n的形式，以及如何使用公式法求解一元二次方程的根。

2.教學難點：

-掌握配方法中的“配方”技巧，即如何將方程兩邊同時加上或減去某個數(shù)使其成為完全平方。

-理解和記憶一元二次方程的求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

-解決含有參數(shù)的一元二次方程問題，如確定參數(shù)的取值范圍使得方程有實數(shù)解。

舉例：

-在配方法的講解中，通過具體例題展示如何找到合適的數(shù)來完成配方，例如將x^2-6x+9配成(x-3)^2。

-在求根公式的應用中，強調(diào)判別式b^2-4ac的作用，以及如何根據(jù)判別式的值判斷方程的根的性質(zhì)。

-對于含有參數(shù)的問題，通過例題演示如何確定參數(shù)的取值范圍，例如求解方程x^2-2x+1=0中x的取值范圍。四、教學方法與策略1.采用講授與討論相結合的方法，首先講解一元二次方程的基本概念和求解方法，隨后引導學生通過小組討論解決具體問題。

2.設計案例研究活動，讓學生通過解決實際生活中的問題來應用一元二次方程，如計算投資回報率、物理運動問題等。

3.利用多媒體工具展示一元二次方程的圖像，幫助學生直觀理解方程的根與圖像的關系。

4.使用互動式教學軟件，讓學生在電腦上實際操作，解一元二次方程，增強實踐操作能力。五、教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務：通過在線平臺發(fā)布預習資料，包括一元二次方程的定義、公式和例題視頻，要求學生預習并理解基本概念。

-設計預習問題：設計如“如何將一個實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程？”等問題，引導學生思考。

-監(jiān)控預習進度：通過在線平臺的預習反饋功能，監(jiān)控學生的預習完成情況。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生觀看視頻，閱讀文檔，理解一元二次方程的基本知識。

-思考預習問題：學生思考如何將生活中的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并記錄疑問。

-提交預習成果：學生通過在線平臺提交預習筆記和問題。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：鼓勵學生自主探索，培養(yǎng)獨立思考能力。

-信息技術手段：利用在線平臺，實現(xiàn)資源的有效傳遞和反饋。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過一個涉及一元二次方程的實際問題故事，引發(fā)學生興趣。

-講解知識點：詳細講解一元二次方程的解法，通過例題展示如何應用公式。

-組織課堂活動：設計小組討論，讓學生探討不同的解法，如配方法和公式法。

-解答疑問：對學生提出的問題進行解答，幫助理解一元二次方程的難點。

學生活動：

-聽講并思考：學生認真聽講，思考如何將理論知識應用于實際問題。

-參與課堂活動：學生參與小組討論，嘗試不同的解法，并分享自己的理解。

-提問與討論：學生提出自己在學習過程中遇到的問題，并參與討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學生理解一元二次方程的解法。

-實踐活動法：通過實際操作，讓學生在實踐中掌握解題技巧。

-合作學習法：通過小組討論，培養(yǎng)學生的團隊合作能力。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置一些涉及一元二次方程應用的題目，如計算物體的拋物線運動軌跡。

-提供拓展資源：提供相關網(wǎng)站和視頻，幫助學生進一步理解一元二次方程在實際生活中的應用。

-反饋作業(yè)情況：批改作業(yè)，對學生的解題過程和結果給予反饋。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生完成作業(yè)，鞏固一元二次方程的解法。

-拓展學習：利用提供的資源，進行自主學習，拓寬知識面。

-反思總結：學生反思學習過程，總結自己在解一元二次方程時的優(yōu)點和不足。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：鼓勵學生自主探索，提高解決問題的能力。

-反思總結法：引導學生進行自我評價，促進學習效果的提升。六、教學資源拓展1.拓展資源：

-一元二次方程的歷史背景：介紹一元二次方程在數(shù)學發(fā)展史上的地位和作用，以及古代數(shù)學家如何解決一元二次方程。

-一元二次方程的圖像研究：通過繪制一元二次方程的圖像，讓學生直觀地理解方程的根與圖像的關系，包括頂點、對稱軸和開口方向等。

-一元二次方程的數(shù)學應用：收集一些實際生活中的應用案例，如物理學中的拋物線運動、經(jīng)濟學中的成本收益分析等。

-一元二次方程的解法探究：探討不同的解法，如配方法、公式法和因式分解法，以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

-一元二次方程的數(shù)學競賽題目：挑選一些數(shù)學競賽中涉及一元二次方程的題目，供學有余力的學生挑戰(zhàn)。

2.拓展建議：

-閱讀歷史資料：鼓勵學生閱讀關于一元二次方程歷史發(fā)展的資料，了解數(shù)學知識的演變過程，增強對數(shù)學文化的認識。

-實際操作與觀察：讓學生實際操作繪制一元二次方程的圖像，觀察圖像變化，加深對一元二次方程的理解。

-解決實際問題：設計一些實際問題，讓學生嘗試用一元二次方程解決，如計算物體的最大射程、分析投資收益等。

-開展小組研究：鼓勵學生分組研究不同的解法，通過小組討論，總結各種解法的優(yōu)缺點和適用條件。

-參與數(shù)學競賽：對于學有余力的學生，建議參加數(shù)學競賽，挑戰(zhàn)更高難度的題目，提升數(shù)學解題能力。

-一元二次方程的歷史背景：可以閱讀《數(shù)學簡史》等書籍，了解一元二次方程在古代數(shù)學中的地位，以及如畢達哥拉斯、歐幾里得等數(shù)學家的貢獻。

-一元二次方程的圖像研究：使用圖形計算器或數(shù)學軟件（如GeoGebra），讓學生自己繪制一元二次方程的圖像，并觀察當系數(shù)變化時圖像的變化規(guī)律。

-一元二次方程的數(shù)學應用：收集物理學、經(jīng)濟學等領域中的應用案例，如計算拋物線運動的最大高度，分析投資項目的盈虧平衡點等。

-一元二次方程的解法探究：通過實際例題，讓學生嘗試不同的解法，并討論每種解法的適用情況，例如哪些情況下配方法更有效，哪些情況下公式法更直接。

-一元二次方程的數(shù)學競賽題目：從數(shù)學競賽書籍或網(wǎng)站中選取一些涉及一元二次方程的題目，如《奧數(shù)題庫》等，供學生練習和挑戰(zhàn)。七、課堂小結，當堂檢測課堂小結：

本節(jié)課我們學習了如何解一元二次方程，包括理解一元二次方程的定義、掌握配方法、公式法和因式分解法等解法。通過實例分析，我們了解到一元二次方程在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，如物理、經(jīng)濟等領域。同時，我們也探討了如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，以及如何通過圖像來直觀理解方程的性質(zhì)。

當堂檢測：

1.填空題：

-一元二次方程的標準形式是______。

-一元二次方程的求根公式是______。

-當一元二次方程的判別式b^2-4ac>0時，方程有兩個______。

2.選擇題：

-下列哪個選項是一元二次方程的解法？（A.配方法B.因式分解法C.公式法D.以上皆是）

-如果一元二次方程的判別式b^2-4ac=0，則方程的根是______。（A.兩個實數(shù)根B.一個實數(shù)根C.兩個復數(shù)根D.無實數(shù)根）

3.解答題：

-解一元二次方程：x^2-5x+6=0。

-一個小球從地上拋出，其運動軌跡滿足一元二次方程y=-4.9x^2+9.8x+1.5，求小球的最大高度。

4.應用題：

-某商品的成本是x元，售價是成本加30%，如果售價定為y元，求成本x與售價y的關系式。

-一家農(nóng)場計劃用長度為L米的圍欄圍成一個矩形區(qū)域，如果矩形的長是寬的兩倍，求矩形的長和寬。

學生需要在課堂結束時完成上述檢測題，教師將根據(jù)學生的答題情況給予反饋，幫助學生在理解一元二次方程的基礎上，進一步鞏固所學知識，并能夠?qū)⑵鋺糜趯嶋H問題中。八、板書設計1.一元二次方程的定義與標準形式

①一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。

②一元二次方程的標準形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.一元二次方程的解法

①配方法：通過添加和減去同一個數(shù)，使方程左邊成為完全平方形式。

②公式法：使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)來求解方程。

③因式分解法：將方程左邊通過因式分解轉(zhuǎn)化為兩個一次因式的乘積等于0的形式。

3.一元二次方程的圖像性質(zhì)

①頂點：拋物線的最高或最低點，坐標為(-b/2a,c-b^2/4a)。

②對稱軸：拋物線的對稱軸是x=-b/2a。

③開口方向：當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。典型例題講解例1：解一元二次方程：x^2-6x+9=0

解：這是一個完全平方形式的一元二次方程，可以直接應用配方法。將方程左邊的x^2-6x+9分解為(x-3)^2=0，然后解得x-3=0，得到x=3。所以方程的解為x=3。

例2：解一元二次方程：2x^2-8x+6=0

解：這是一個一般形式的一元二次方程，可以使用公式法求解。根據(jù)公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=2,b=-8,c=6，得到x=(8±√(64-48))/4。計算得到x=(8±√16)/4，進一步化簡得到x=(8±4)/4。所以方程的解為x=2和x=1。

例3：解一元二次方程：x^2-4x+4=0

解：這是一個完全平方形式的一元二次方程，可以直接應用配方法。將方程左邊的x^2-4x+4分解為(x-2)^2=0，然后解得x-2=0，得到x=2。所以方程的解為x=2。

例4：解一元二次方程：3x^2+6x-9=0

解：這是一個一般形式的一元二次方程，可以使用公式法求解。根據(jù)公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=3,b=6