第4章 圖形的相似 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)單元提升必刷卷(含答案)

【單元測(cè)試】第四章圖形的相似（提升能力卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．如果線段，，且b是線段a和c的比例中項(xiàng)，那么（

）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，則BD的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列圖形中，不是相似圖形的一組是（

）A．B．C． D．4．如圖，是斜邊上的高，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)有（）A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì)5．如圖，點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，、、、分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，且，若四邊形的面積為12cm2，則四邊形ABCD的面積為（

）A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm26．興趣小組的同學(xué)要測(cè)量樹的高度．在陽光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為米的竹竿的影長(zhǎng)為米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為米，一級(jí)臺(tái)階高為米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為米，則樹高為（）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米7．如圖，AC⊥BC，，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接AE，若，，則BC＝（

）A． B．8 C． D．108．如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)AF+BF取最小值時(shí)，線段EG的長(zhǎng)為（

）A．8 B．7 C．9 D．9．如圖，以C(0，1)為位似中心，在y軸右側(cè)作ABC位似圖形，使所作圖形與原圖形位似比為1：2，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，4)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．10．如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)在同一條直線上，頂點(diǎn)在同一條直線上．O是的中點(diǎn)，的平分線過點(diǎn)D，交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N．則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每題3分，共24分）11．如圖，在線段上找到一個(gè)點(diǎn)，且，滿足，設(shè)，則線段_________.12．如圖是步槍在瞄準(zhǔn)時(shí)的示意圖，步槍上的準(zhǔn)星寬度為，目標(biāo)的正面寬度為，若從眼睛到準(zhǔn)星的距離為，則眼睛到目標(biāo)的距離為______m13．在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)的線段的比值為k，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°），則BD長(zhǎng)___cm．14．如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_________，使△ABC∽△ADE．15．在和中，，則這兩個(gè)三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根據(jù)是__________________________．16．如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝________m．17．如圖，已知點(diǎn)是的重心，過作的平行線，分別交于點(diǎn)、交于點(diǎn)；作，交于點(diǎn)，若的面積為18，則的面積為_______．18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_______．三、解答題（本題共8個(gè)小題，共66分；第19-22每小題6分，第23-24每小題8分，第25小題12分，第26小題14分）19．如圖，用長(zhǎng)為40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形．（1）若這個(gè)矩形的面積等于，求的長(zhǎng)度；（2）這個(gè)矩形的面積可能等于嗎？若能，求出的長(zhǎng)度，若不能，說明理由；（3）若這個(gè)矩形為黃金矩形（與之比等于黃金比），求該矩形的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）20．△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E；（1）如圖1，若D為BC的中點(diǎn)，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請(qǐng)利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E，使得；（3）若F為AD的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)求出m、n之間的等量關(guān)系．21．如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由．22．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）請(qǐng)判斷△PFA與△ABE是否相似，并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA＝x，是否存在實(shí)數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說明理由．23．某天晚上，小明看到人民廣場(chǎng)的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長(zhǎng)的相關(guān)知識(shí)，于是自己也想實(shí)際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長(zhǎng)和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)）時(shí)，小明測(cè)得自己在兩路燈下的影長(zhǎng)FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點(diǎn)時(shí)，兩路燈產(chǎn)生的影長(zhǎng)相等（FP＝FQ），請(qǐng)問時(shí)小明站在什么位置，為什么？24．?dāng)?shù)學(xué)課上，王老師出示問題：如圖1，將邊長(zhǎng)為5的正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（點(diǎn)與、不重合），折痕為，折疊后邊落在的位置，與交于點(diǎn)．(1)觀察操作結(jié)果，在圖1中找到一個(gè)與相似的三角形，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)在邊的什么位置時(shí)，與面積的比是？請(qǐng)寫出求解過程；(3)將正方形換成正三角形，如圖2，將邊長(zhǎng)為5的正三角形紙片折疊，使頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（點(diǎn)與、不重合），折痕為，當(dāng)點(diǎn)在邊的什么位置時(shí)，與面積的比是？請(qǐng)寫出求解過程．25．已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是；(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．26．【背景】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A的直線MN∥BC，點(diǎn)D是直線MN上的一動(dòng)點(diǎn)，將射線DB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交線段AC于點(diǎn)P，使∠BDP＝∠BAC，試說明：DB＝DP．小麗提出了自己的想法：如圖2在線段AB上取一點(diǎn)F，使DA＝DF，通過證明△BDF≌△PDA可以解決問題．【嘗試】①請(qǐng)你幫助小麗完成說理過程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖3，過點(diǎn)A的直線MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，點(diǎn)D是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的一點(diǎn)，連接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．

【單元測(cè)試】第四章圖形的相似（提升能力卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．如果線段，，且b是線段a和c的比例中項(xiàng)，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念可得，再根據(jù)，，可得，即可求出答案．【詳解】解：∵線段b是a、c的比例中項(xiàng)，∴，∴．∵，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是根據(jù)比例中項(xiàng)的概念列出算式．注意線段不能是負(fù)數(shù)．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，則BD的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，即，解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．下列圖形中，不是相似圖形的一組是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.兩個(gè)圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；B.兩個(gè)圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；C.兩個(gè)圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；D.形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的定義，掌握相似圖形的定義并能結(jié)合具體圖形進(jìn)行準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．4．如圖，是斜邊上的高，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)有（）A．0對(duì) B．1對(duì) C．2對(duì) D．3對(duì)【答案】D【分析】直角三角形斜邊上的高線分原三角形所得到的兩個(gè)三角形與原三角形相似，由此即可解答.【詳解】由題意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．故選D．【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵是熟知直角三角形斜邊上的高線分原三角形所得到的了兩個(gè)三角形與原三角形相似這一定理．5．如圖，點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，、、、分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，且，若四邊形的面積為12cm2，則四邊形ABCD的面積為（

）A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2【答案】B【分析】利用位似圖形的定義得出四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的位似比為：2：3，進(jìn)而得出面積比，即可得出四邊形ABCD的面積．【詳解】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，∴四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的位似比為：2：3，∴四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的面積比為：4：9，∵四邊形A′B′C′D′的面積為12cm2，∴四邊形ABCD的面積為：27cm2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，得出兩四邊形的相似比是解題關(guān)鍵．6．興趣小組的同學(xué)要測(cè)量樹的高度．在陽光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為米的竹竿的影長(zhǎng)為米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為米，一級(jí)臺(tái)階高為米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為米，則樹高為（）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米【答案】C【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．本題中：經(jīng)過樹在臺(tái)階上的影子的頂端作樹的垂線和經(jīng)過樹頂?shù)奶柟饩€以及樹所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上臺(tái)階的高就是樹高．【詳解】如圖，根據(jù)題意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，則ED=4.6米，∵同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例，∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，∴AE=11.5米，∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，∴樹的高度是11.8米，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，根據(jù)相似三角形的相似比，列出方程進(jìn)行求解是關(guān)鍵.7．如圖，AC⊥BC，，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接AE，若，，則BC＝（

）A． B．8 C． D．10【答案】B【分析】過作垂足分別為由角平分線的性質(zhì)可得：利用，可以求得進(jìn)而求得，利用面積公式列方程求解即可．【詳解】解：如圖，過作垂足分別為平分，設(shè)，，（負(fù)根舍去）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的平分線的性質(zhì)，等高的兩個(gè)三角形的面積與底邊之間的關(guān)系，一元二次方程的解法，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)AF+BF取最小值時(shí)，線段EG的長(zhǎng)為（

）A．8 B．7 C．9 D．【答案】D【分析】過點(diǎn)F作FP⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作直線CF，首先證明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再證明點(diǎn)F在∠BCP的平分線上，作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AM交直線CF于點(diǎn)F，此時(shí)，AF＋BF最小，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，則PM＝CM?PC＝8?x，由△MPF∽△MCG，得到對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FP⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作直線CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF與△DAE中，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE?CE＝CD?CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴點(diǎn)F在∠BCP的平分線上，如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AC、BM，連接AM交直線CF于點(diǎn)F，此時(shí)，AF＋BF最小，∵點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)M，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵ABCD，∴四邊形ABMC為平行四邊形，∴BG＝CG＝BC＝4，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM?PC＝8?x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PFBC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD?DE＝8?，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的識(shí)圖能力．9．如圖，以C(0，1)為位似中心，在y軸右側(cè)作ABC位似圖形，使所作圖形與原圖形位似比為1：2，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，4)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)位似比等于相似比，可得，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，ABC位似圖形，位似比為1：2，，，，，，設(shè)，C(0，1)，(-3，4)，則，，解得，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)在同一條直線上，頂點(diǎn)在同一條直線上．O是的中點(diǎn)，的平分線過點(diǎn)D，交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)，利用“SAS”易證，得出，從而可求出，即證明．利用“ASA”結(jié)合角平分線的定義可證明，得出．結(jié)合中位線的性質(zhì)，可證明，從而證明，．得出，．設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)是，則，再代入，解得：，（舍去），從而求出．【詳解】解：∵四邊形和四邊形是正方形，．(SAS)，．，．，．平分．，(ASA)．．又是的中點(diǎn)，．，．，．設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)是，則∴，，即，解得，（舍去），則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，較難，熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每題3分，共24分）11．如圖，在線段上找到一個(gè)點(diǎn)，且，滿足，設(shè)，則線段_________.【答案】【分析】設(shè)AC的長(zhǎng)為xm，則BC=（1﹣x）m，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)AC的長(zhǎng)為xm，則BC=（1﹣x）m，∵，∴，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段和解一元二次方程，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意列方程是解題的關(guān)鍵．12．如圖是步槍在瞄準(zhǔn)時(shí)的示意圖，步槍上的準(zhǔn)星寬度為，目標(biāo)的正面寬度為，若從眼睛到準(zhǔn)星的距離為，則眼睛到目標(biāo)的距離為______m【答案】125【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得出，代入數(shù)據(jù)，求出OF的值即可．注意統(tǒng)一單位．【詳解】，．，，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例的應(yīng)用．在解答此題時(shí)要注意單位的換算，這是此題的易錯(cuò)點(diǎn)．13．在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)的線段的比值為k，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°），則BD長(zhǎng)___cm．【答案】2【分析】已知△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．【詳解】解：將△ABC作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），則cm，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，理解題目中的旋轉(zhuǎn)相似是解題的關(guān)鍵．14．如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定問題，由題意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一對(duì)應(yīng)角相等即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一對(duì)應(yīng)角相等即可，∴添加的條件為∠B＝∠D．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．15．在和中，，則這兩個(gè)三角形________相似三角形(填“是”或“不是”)，根據(jù)是__________________________．【答案】

是

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可.【詳解】解：在中，∴=45°∴在和中，，∴~故答案為是；兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似【點(diǎn)睛】此題主要考查了形似三角形的判定定理，熟練掌握判定定理是解答本題的關(guān)鍵.16．如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝________m．【答案】7.5【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長(zhǎng)后加上小穎同學(xué)的身高即可求得樹高AB．【詳解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴由勾股定理求得EF＝0.06m，∴，∴BC＝6米，∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．17．如圖，已知點(diǎn)是的重心，過作的平行線，分別交于點(diǎn)、交于點(diǎn)；作，交于點(diǎn)，若的面積為18，則的面積為_______．【答案】8【分析】根據(jù)點(diǎn)是的重心，得出，根據(jù)得出，，由，，得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于．點(diǎn)是的重心，，，，，，，，，，，，，．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形重心的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_______．【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k計(jì)算，得到答案．【詳解】解∶∵以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到，與△AOB的位似比為，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)的比值為或，∵A（-4，2），∴的坐標(biāo)為或，即(-2，1)或(2，-1)，故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共8個(gè)小題，共66分；第19-22每小題6分，第23-24每小題8分，第25小題12分，第26小題14分）19．如圖，用長(zhǎng)為40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形．（1）若這個(gè)矩形的面積等于，求的長(zhǎng)度；（2）這個(gè)矩形的面積可能等于嗎？若能，求出的長(zhǎng)度，若不能，說明理由；（3）若這個(gè)矩形為黃金矩形（與之比等于黃金比），求該矩形的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）11cm；（2）不能，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)矩形面積公式得到，再解方程得，，由于，則可得到的長(zhǎng)為；（2）與（1）一樣得到方程，整理得，計(jì)算判別式的值，根據(jù)判別式的意義得到方程沒有實(shí)數(shù)解，于是可判斷這個(gè)矩形的面積可能等于；（3）設(shè)，則，根據(jù)黃金分割的定義得，解得，再計(jì)算出，然后計(jì)算矩形的面積．【詳解】解：（1）設(shè)，則，根據(jù)題意得，整理得，解得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而，所以，即的長(zhǎng)為；（2）不能．理由如下：設(shè)，則，根據(jù)題意得，整理得，因?yàn)椤?，所以方程沒有實(shí)數(shù)解，所以這個(gè)矩形的面積不可能等于；（3）設(shè)，則，根據(jù)題意得，解得，則，所以矩形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項(xiàng)（即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)．20．△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E；（1）如圖1，若D為BC的中點(diǎn)，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請(qǐng)利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E，使得；（3）若F為AD的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)求出m、n之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析，（2）作圖見解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可證明；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根據(jù)平行得出比例式，根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，得出m、n之間的等量關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，設(shè)AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m(a－an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F為AD的中點(diǎn)，∴即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線，利用比例式解決問題．21．如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，如圖2，將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由見解析【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，由上面兩個(gè)圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=x，∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（+2）x，∴，故答案為：．（2）由（1）知：A5紙長(zhǎng)邊為A4紙短邊，長(zhǎng)為（+1）x，A5紙短邊長(zhǎng)為（）x，∴對(duì)A5紙，長(zhǎng)邊：短邊，∴A4紙與A5紙相似．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．22．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）請(qǐng)判斷△PFA與△ABE是否相似，并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA＝x，是否存在實(shí)數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）存在，x的值為4或20.【分析】（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根據(jù)題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進(jìn)而列出關(guān)系式．【詳解】(1)證明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB.如圖，連接PE,DE,∴PE∥AB.∴四邊形ABEP為矩形.∴PA=EB=4，即x=4.如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)P，作PF⊥AE于點(diǎn)F,連接PE,若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn).∵AE=，∴EF=AE=.∵，∴PE=20，即x=20.∴滿足條件的x的值為4或20.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解題關(guān)鍵在于作輔助線.23．某天晚上，小明看到人民廣場(chǎng)的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長(zhǎng)的相關(guān)知識(shí)，于是自己也想實(shí)際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長(zhǎng)和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)）時(shí)，小明測(cè)得自己在兩路燈下的影長(zhǎng)FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點(diǎn)時(shí)，兩路燈產(chǎn)生的影長(zhǎng)相等（FP＝FQ），請(qǐng)問時(shí)小明站在什么位置，為什么？【答案】(1)3，2(2)離B地（或離D地），理由見解析【分析】（1）通過證明，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）由（1）得，，，設(shè)，可求出，求出x的值，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，，，，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，，，解得；，，，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，，，解得；故答案為：3；2；（2）小明站在離B點(diǎn)米處的位置，理由如下：由（1）得，，，，設(shè)，，，，，解得，，所以，小明站在離B點(diǎn)米處的位置．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．24．?dāng)?shù)學(xué)課上，王老師出示問題：如圖1，將邊長(zhǎng)為5的正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（點(diǎn)與、不重合），折痕為，折疊后邊落在的位置，與交于點(diǎn)．(1)觀察操作結(jié)果，在圖1中找到一個(gè)與相似的三角形，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)在邊的什么位置時(shí)，與面積的比是？請(qǐng)寫出求解過程；(3)將正方形換成正三角形，如圖2，將邊長(zhǎng)為5的正三角形紙片折疊，使頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（點(diǎn)與、不重合），折痕為，當(dāng)點(diǎn)在邊的什么位置時(shí)，與面積的比是？請(qǐng)寫出求解過程．【答案】(1)，證明見解析(2)當(dāng)時(shí)，與面積的比是，求解過程見解析(3)當(dāng)時(shí)，與面積的比是，求解過程見解析【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得；（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得；（3）先根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，，從而可得，，再根據(jù)建立方程，解方程可得的值，由此即可得．【詳解】（1）解：，證明如下：四邊形是正方形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，在和中，，．（2）解：，，，正方形的邊長(zhǎng)為5，，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)得：，在中，，即，解得，，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意；故當(dāng)時(shí)，與面積的比是．（3）解：是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，與面積的比是，，設(shè)，則，，，，，，，解得，，即當(dāng)時(shí)，與面積的比是．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是；(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．【答案】(1)（2，﹣2）(2)見解析(3)7.5【分析】（1）將△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，如圖所示，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C