數(shù)學(xué)單元測試：第一講坐標系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一講測評（時間：90分鐘滿分:100分）一、選擇題（本大題共10小題,每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．與極坐標eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2，\f（π,6）))不表示同一點的極坐標是()A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(7π,6)））B．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，－\f（7π,6）)）C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2，－\f(11π，6)）)D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－2,\f(13π,6)））2．將曲線F（x，y)＝0上的點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標縮短到原來的eq\f（1,3），得到的曲線方程為()A．Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x,2），3y))＝0B．Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x,\f（y,3）))＝0C．Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（3x，\f（y,2)）)＝0D．Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x,3)，2y）)＝03．將點（2,3)變成點(3,2)的伸縮變換是(）A．eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝\f(2,3)x，y′＝\f（3，2）y))B．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝\f（3，2)x，y′＝\f（2，3）y)）C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝y(tǒng)，y′＝x））D．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝x＋1，y′＝y(tǒng)－1)）4．在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f（π，3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為（）A．2B．eq\r(4＋\f(π2，9））C．eq\r(1＋\f（π2,9))D．eq\r(3)5．在極坐標系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標是（）A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f（π，2）））B．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，－\f(π,2)）)C．（1，0)D．(1,π）6．在極坐標系中有如下三個結(jié)論：①點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程；②tanθ＝1（ρ≥0）與θ＝eq\f（π，4）(ρ≥0）表示同一條曲線；③ρ＝3與ρ＝－3表示同一條曲線．其中正確的是(）A．①③B．①C．②③D．③7．若曲線的極坐標方程為ρ＝4sinθ，則它的直角坐標方程為()A．x2＋(y＋2）2＝4B．x2＋（y－2）2＝4C．（x－2）2＋y2＝4D．（x＋2）2＋y2＝48．在極坐標系中，圓ρ＝2cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()A．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝eq\f(π，2）(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝eq\f(π，2）（ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝19．直角坐標為（3－eq\r（3)，3＋eq\r(3))的點的極坐標可能是()A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（6),－\f(5π,12）))B．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2\r(6)，\f（5π，12））)C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2\r(6)，\f(7π,12））)D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（6），\f（7π，12)）)10．已知點M的球坐標為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3），\f(π,6）)），則它的直角坐標為()A．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3),\f(π，6)）)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,4),\f（\r(3)，4），\f(1，2))）C．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,4）,\f(3，4),\f(1，2)））D．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,4），\f（3，4),\f(\r（3），2)))二、填空題(本大題共5小題,每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上）11．直線2ρcosθ＝1與圓ρ＝2cosθ相交的弦長為__________．12．(2014·陜西高考,文15C）在極坐標系中，點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f（π，6）))到直線ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，6)））＝1的距離是______．13．在極坐標系中，曲線C1：ρ（eq\r（2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a＞0)的一個交點在極軸上,則a＝________。14．已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcosθ＝3，ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ＜\f(π，2)))，則曲線C1與C2交點的極坐標為________．15．在極坐標系中，由三條直線θ＝0,θ＝eq\f(π,3),ρcosθ＋ρsinθ＝1圍成圖形的面積是________．三、解答題(本大題共2小題，共25分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(10分）在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2x，,y′＝2y）)后，曲線C變?yōu)榍€(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1,求曲線C的方程，并判斷其形狀．17．（15分)在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,3))）＝1，M，N分別為曲線C與x軸、y軸的交點．(1）寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程．

參考答案1．答案：B2．解析：設(shè)(x,y）經(jīng)過伸縮變換變?yōu)?x′,y′)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2x,,y′＝\f（1,3）y，））則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（1，2）x′，，y＝3y′，）)代入F（x,y)＝0得Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x′，3y′))＝0。答案：A3．解析:設(shè)此變換為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ＞0)，，y′＝μy(μ＞0），)）則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f（x′，x）＝\f（3，2），,μ＝\f（y′，y）＝\f（2,3）,)）所以所求的伸縮變換為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝\f(3，2)x，，y′＝\f（2,3)y.））答案:B4．解析：圓ρ＝2cosθ在直角坐標系中的方程為（x－1)2＋y2＝1，點eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，\f(π,3)))的直角坐標為（1，eq\r（3））．所以圓心（1,0）與點（1，eq\r(3))之間的距離為d＝eq\r((1－1）2＋（\r（3)－0)2)＝eq\r（3).答案：D5．解析：由題意得，圓的直角坐標方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心的直角坐標為（0，－1）,即圓心的極坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2）））.答案：B6．解析：在直角坐標系內(nèi)，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，但在極坐標系內(nèi),曲線上一點的所有極坐標不一定都適合方程,故①是錯誤的；tanθ＝1不僅表示θ＝eq\f（π,4)這條射線，還表示θ＝eq\f(5π，4)這條射線，故②亦不對；ρ＝3與ρ＝－3差別僅在于方向不同，但都表示一個半徑為3的圓,故③正確．答案：D7．解析：由直角坐標和極坐標的互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ,即ρ2＝x2＋y2,tanθ＝eq\f（y,x）(x≠0）可得x2＋y2＝4y,整理得x2＋(y－2）2＝4。答案：B8．解析:由題意可知,圓ρ＝2cosθ可化為直角坐標方程為(x－1）2＋y2＝1.所以圓的垂直于x軸的兩條切線方程分別為x＝0和x＝2，再將兩條切線方程化為極坐標方程分別為θ＝eq\f(π,2）(ρ∈R）和ρcosθ＝2，故選B。答案：B9．解析：因為ρ＝eq\r(（3－\r(3））2＋（3＋\r（3）)2)＝2eq\r(6）（ρ＞0)，點（3－eq\r(3），3＋eq\r（3)）在第一象限，tanθ＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3)）＝eq\f（1＋\f(\r（3),3)，1－\f(\r(3)，3）)＝taneq\f（5π,12),所以點（3－eq\r(3），3＋eq\r（3)）的極坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2\r(6)，\f（5π，12））).答案：B10．解析：設(shè)點M的直角坐標為（x,y，z)，∵點M的球坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，\f(π，3），\f(π，6））)，∴x＝sineq\f(π,3）coseq\f（π,6）＝eq\f(3,4),y＝sineq\f（π，3)sineq\f(π,6）＝eq\f(\r(3),4），z＝coseq\f（π,3)＝eq\f(1，2）.∴點M的直角坐標為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，4)，\f(\r（3),4），\f(1,2))).答案:B11．解析：直線2ρcosθ＝1即為2x＝1,圓ρ＝2cosθ即為（x－1)2＋y2＝1.將x＝eq\f(1,2)代入（x－1）2＋y2＝1，得y＝±eq\f(\r（3),2)。所以所求的弦長為eq\r（3）。答案:eq\r(3)12．解析：點eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，\f（π，6）））的直角坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f（π，6），2sin\f(π，6）))，即(eq\r（3),1)，又ρsineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,6)))＝1可化為eq\f(\r(3)，2)ρsinθ－eq\f（1，2）ρcosθ＝1,所以該直線的直角坐標方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.由點到直線的距離公式，可得所求距離為d＝eq\f（｜\r(3）－\r（3)×1＋2｜,\r（12＋（－\r（3)）2))＝1.答案：113．解析：把曲線C1：ρ(eq\r（2)cosθ＋sinθ）＝1化成直角坐標方程，得eq\r(2)x＋y＝1；把曲線C2:ρ＝a（a＞0）化成直角坐標方程，得x2＋y2＝a2?！逤1與C2的一個交點在極軸上,∴eq\r(2)x＋y＝1與x軸的交點eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2),2），0）)在C2上，即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（2)，2）））2＋0＝a2.又a＞0，∴a＝eq\f(\r(2）,2）。答案：eq\f(\r（2)，2)14．解析:∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝3,,ρ＝4cosθ，)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(①，②))∴4cos2θ＝3.∴2(1＋cos2θ)＝3?！郼os2θ＝eq\f(1，2）?！?≤2θ＜π,∴θ＝eq\f(π,6).代入①得ρ＝2eq\r(3)?！郈1與C2交點的極坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2\r(3)，\f（π,6))）。答案：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2\r(3），\f(π,6)）)15．解析:因為三條直線θ＝0，θ＝eq\f(π,3），ρcosθ＋ρsinθ＝1在直角坐標系下對應(yīng)的直線方程分別為y＝0，y＝eq\r(3)x，x＋y＝1.三條直線圍成的圖形如圖陰影部分所示．則點A（1,0)，Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）－1，2）,\f（3－\r（3），2)）)，所以S△AOB＝eq\f(1，2）×eq\f（3－\r(3）,2）×1＝eq\f(3－\r（3)，4）。答案:eq\f（3－\r(3）,4）16．解：將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝2x，,y′＝2y）)代入（x′－5）2＋(y′＋6）2＝1,得（2x－5)2＋（2y＋6）2＝1,即eq\b\lc\(\rc