2022-2023學年北京首都師大附中高二（上）期中數(shù)學試題及答案

2022北京首都師大附中高二（上）期中數(shù)學一、選擇題（每題5分）x?3y+1=01.的傾斜角為A.B.C.D.6336(?)，半徑為3的圓的方程是（2）2.(+)2y2+(?)2==(?)2y2+(+)22==A.x193B.x139(+)C.x12+(?)y22(?)+(+)2D.x1y22x?y+c=0的一個法向量d可以是（）3.已知直線方程()(??)22,1A.4.點，0)到直線x+3y－距離等于（A.4B.5.三棱錐OABC中，B.C.D.D.）12C.13?MN分別是AB、OC、的中點，且=a，=b，OC=c，用a、b、c表示NM，則NM等于（）11)a+b?c)A.C.?a+b+cB.D.221212a?b+c)?a?b+ca=）)ax+2y+2=0與3x?y?2=06.已知直線平行，則系數(shù)（32336C.?A.B.D.27.l:3x+y?6=0與圓C:x+y?2y?4=0的位置關(guān)系為（22）A.相切B.相交但直線不過圓心D.相離C.相交且直線過圓心→a→b→c→→8.已知向量，是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量在直線l上，則“，且ca=0→→”是l⊥的（cb=0）A充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件x2+y2=2上，點N在直線l:y=x?3上，則的最小值是（）9.點M在圓2322A.2B.C.D.1210.如圖，在棱長為2的正方體ABCDABCD中，E為的中點，點P在線段DEP到直線11111CC1的距離的最小值為（）25A.C.5B.D.5553510二、填空題（每題5分）+y10圓x22?4x+2y+2=0的圓心坐標為______，半徑為_______()且方向向量為=(?)的直線方程是1v，212.__________．(+)++?=，l:3mx4ym50l2:2x5my80+(+)?=，若⊥，則的值為l1l2m13.已知兩條直線1___________.a=(，b=(2,0)14.已知向量，則a在b方向上的投影為________．ABCD?ABCDAA=51=CA的距離為1115.如圖，已知長方體__________．中，，AB12，則點到平面11111ABCD,AB=AD=2，沿BD將△ABD16.已知矩形折起成ABD，若點A在平面BCD上的射影落在△BCDA?BCD的體積的最大值為__________，最小值為__________.三、解答題（每題14分）(?)，()．B1C017.已知△ABC三個頂點是A（33（1AB邊中線CD所在直線方程；（2AB邊的垂直平分線的方程；（3的面積ABC⊥==2AA1=4，點D是中點.18.如圖，在直三棱柱中，，，AB1D所成角的余弦值；（1）求異面直線與1所成角的余弦值.1（2）求平面與平面119.1）求過點（，）且圓心為（1，）的圓的方程：（2）過點，5)作（）中圓的切線，求出切線方程.20.在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCDABDC，⊥ADDC=AD=，AB=2，∠45°E是中點，F(xiàn)在線段上，且滿足CF=0.（1）求證DE∥平面PBC.（2）求二面角F-PC-B余弦值.6（3）在線段上是否存在點Q與平面所成角的余弦值是不存在，請說明理由.?若存在，求出的長若3x?3y?6=0M2,0()滿足21.如圖，的邊AB邊所在直線的方程為1=．，2=(?)在AC邊所在直線上且滿足T0（1AC邊所在直線的方程；（2的外接圓的方程；（3）若點N坐標為(?n,0)，其中n為正整數(shù)．試討論在的外接圓上是否存在點P，使得∣∣成立說明理由．參考答案一、選擇題1.【答案】A.【詳解】由直線x?3y+1=0，33則y=x+，33設(shè)直線的傾斜角為，3所以tan=，3所以=.6故選：A【點睛】本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】D.【詳解】因為圓心為2)，半徑為，3(?)所以圓的方程為:x12+(+)y2=9.2故選：D.3.【答案】A.2x?y+c=0的斜率為2，【詳解】因為直線所以直線的一個方向向量為m2)，=對于A，因為md=12+2(=0，所以d=(2,為直線的一個法向量，所以A正確，對于B，因為md=12+21=40，所以d不是直線的法向量，所以B錯誤，=對于C，因為md1(2(2)=?+?=?50，所以d=(??2)不是直線的法向量，所以C錯誤，=+?=?30，所以d=2)不是直線的法向量，所以C錯誤，對于D，因為md112(2)故選：A4.【答案】D3+0?4+(3)12d==【詳解】由題意所求距離為．122故選：D．5.【答案】B.()NM=NC+CB+BM=+AB?AC+BA【詳解】221111=+??AB=+AB?AC21222()()=+OB?OA??=+OB?OA?+212222()=+?=a+b?c=a+b?c.2222222故選：B6.【答案】Ba22=由直線的平行關(guān)系可得，解之可得．312ax+2y+2=0與直線3x?y?2=0【詳解】直線平行，a22=，解得．a(chǎn)=?6312故選：B．7.【答案】B【解析】【分析】先求出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離與半徑比較可得結(jié)果.x2+y2?2y?4=0，得x2+(y?=5，2詳解】由所以圓心C，半徑為5，因為圓心C到直線l:3x+y?6=0的距離為0+1?62+25102d===5，10所以直線與圓相交，因為C不在直線l:3x+y?6=0所以直線與圓相交但直線不過圓心，故選：B上，8.【答案】B.→→→c→a→→→c→b【詳解】由題意，=⊥，=⊥.ca0cb0→a→b→a→b→a→b若與方向相反，且，在平面α內(nèi)，則向量，所在的直線要么重合，要么平行，因此根據(jù)線面→→→→垂直的判定定理，由=，且=無法得到l⊥.ca0cb0→→→→若l⊥，根據(jù)線面垂直的定義，可以得到=，且=.ca0cb0→→→→所以“=，且=”是l⊥的必要不充分條件.ca0cb0故選：B.9.【答案】B()，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點到直線的M0,0距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心()，M0,0332所以圓心()到l:y=x?3的距離為M0,0=，所以的最小值為22323222?r=?2=.22故選：B.10.AP的距離的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線DE與的111距離，利用空間向量可求得結(jié)果.,DC,DD【詳解】以D為原點，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，1C(0,0)C(0,2),則E(1,2,0)D1(0,0,2)，,1=(2)，CC=2)，CE=(1,0,0),11設(shè)u=(x，，z)，u⊥CC,u⊥ED，11則u1(x，，z)·(0,0,2)＝0z＝0，12uED＝(x，，z)·(－1，－2,2)＝x2y2z0，∴＝-x，??+=11212令x1y＝-，∴＝(1,-,0)，125==|u∴異面直線DE與的距離為d＝5，111|u|1++04255∵P在DE上運動，∴P到直線的距離的最小值為＝.11故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將點P到直線CC的距離的最小值轉(zhuǎn)化為為異面直線DE與CC的距離求解是解111題關(guān)鍵.二、填空題11.【答案】.(2,?②.3【詳解】圓標準方程是(x?2)2+(y+=3，2(2,(2,圓心坐標為故答案為：，半徑為3．；3．12.【答案】2x+y?3=0.v12=(?)直線的斜率為k=?2【詳解】直線方程方向向量為直線過點()，?=?(?)2x+y?3=0，即1直線方程為y12x12x+y?3=0故答案為：1313.【答案】?3m的值．【詳解】當5+m=0時，不滿足l⊥l1，舍去；23+m2當5+m0時，直線的斜率lk=?1，lk=?的斜率2125+m4l⊥l∵∴，213+m?25+mkk=?=?1，124133m=?解得133?故答案為：．32214.【答案】?a在b方向上的投影.ab?2?4+??6322==?【詳解】依題意a在b方向上的投影為.b(2)22222題.6015.【答案】13A的法向量，根據(jù)空間向量中點到平面距離公式，11即可求出結(jié)果.【詳解】以D為坐標原點,DC,DD的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角xyz1坐標系，則()()().C0,D0,5,C0,12,511設(shè)=x，則()()，AB=(0,12,51)AD=(?x,0,0)，11Ax,0,5,Bx,12,01An=(a,,c),則nAD,n1B,11設(shè)平面的法向量為11n?ax0=5a=b=c，，即，所以?b+c=012n1n=).(可取0=(?)又1D，11D60131點1到平面A的距離為，即點1到平面A的距離為11.11n136013故答案為：.25152316.【答案】①.##5②.156A到平面BCD的距離的最大值和最小值來求得正確答案.【詳解】過A作O⊥，垂足為O，121212=5AO,AO=.25當A在平面BCD上的投影在BD上時，A到平面BCD的距離最大，如下圖所示，此時平面平面⊥BCD，且交線為，O平面BD，所以O(shè)平面BCD，⊥BD1132225所以四面體A?BCD體積的最大值為12=.515當A在平面BCD上的投影M在上時，A到平面BCD的距離最小，⊥BCD，由于OBBCD，所以，M⊥OB則AM平面平面⊥=平面由于OBAO,AOAMA,AO,AMAOM，所以⊥平面AOM，由于OM平面AOM，所以，⊥211121，=OBtanCBD==5225，OB=12?=5522213=?=AM，5252113233所以四面體A?BCD的體積的最小值為12=.2625153故答案為：；61V=Sh【點睛】求解三棱錐體積的最值問題，要找準突破口，也即是按三棱錐的體積公式，如果底面積3.三、解答題17.）x+y?2=0y=?3x+2（2）（3）8）求出AB中點D坐標后，由截距式寫出直線方程并整理；（2）求出AB的斜率，由垂直關(guān)系得垂直平分線的斜率，從而可得直線方程；（3）求出C到直線AB的距離，再求得AB的長后可得三角形面積．【小問1詳解】B?1因為A（，3，()，所以ABD的坐標為，xyCD方程為+=1，即x+y?2=0；22【小問2詳解】3?13?(1k==?y=?3x+2，AB中垂線的斜率為3，垂直平分線方程為；3【小問3詳解】直線AB方程為y?3x?31?33?3=x?3y+6=0，，即2?0+64105d==點C到直線AB的距離為，32+(2AB=(3+2+?=210，214105所以S=210=8．232318.）2）.【解析】【分析】以A為原點，ABACAA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，標記處各個點的坐標.=(?)=(??)ABCD所成角的余弦值；（1）表示出1B4,CD4，用向量法求異面直線與111所成角的余弦值.1（2）用向量法求平面與平面1【詳解】如圖示：以A為原點，ABACAA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系()()()()()(1)A0,0,0,B2,0,0,C2,0,D0,A0,0,4,C0,2,4.1=(?)=(??)（1）1B4,CD4，1AB1D所以異面直線與所成角的余弦值12+0+16416111631010cos=AB,CD==.11+++ABCD11m=(0).（2）顯然面的一個法向量1=(x,y,z)AD=0),1=(4)，n設(shè)面的一個法向量為1=ny0y則，不妨取，則=(?)n2,1nA2y+4z=01所成角為銳角，所以1由圖示，平面與平面10?2+023cos=,n==mn4+4+10+1+02所成角的余弦值為1所以平面與平面.1319.【答案】(1)(x?2+y2=1；(2)x=2或12x?5y+1=0．）求出半徑后可得圓標準方程；（2）分類討論．驗證斜率不存在的直線是切線，斜率存在時設(shè)出直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求得參數(shù)值得切線方程．）由已知圓半徑為r1，所以圓方程為(x?2=+y=1；2（2）易知直線x=2與相切，當切線斜率存在時，設(shè)切線方程是y=k(x?+5，即?y?2k+5=0，k?2k+512515=1，解得k，切線方程是xy?+=，即12x?5y+1=0．0=由2k+1512x5y+1=0?所以切線方程是x=2或．20.）證明見解析3（2）32（3）存在，|AQ|=）取M，連接EM和CM，證明四邊形CDEM為平行四邊形即可得證；（2D為原點，DADCDP所在直線分別為，yz軸建立空間直角坐標系D-xyz，分別求出平面PBC和的法向量，結(jié)合向量夾角的余弦公式即可求解；（3）設(shè)存在點Q，結(jié)合線面角的正弦值等于線與法向量夾角的余弦值的絕對值,直接計算即可.【小問1詳解】取的中點M，連接和CM，12∵，M分別為，的中點，∴EM且EM=AB，12又∥且CD=AB，∴EM且EM=CDCDEM為平行四邊形，∴DECM，又CM?PBCDE?BPC，∴DE∥平面PBC；【小問2詳解】由題意可得DADCDP兩兩互相垂直，如圖，以D為原點，DADCDP所在直線分別為x，，z軸1212建立空間直角坐標系D-xyz，則A(10，，B，，0)C(01，，P，，1)EBC=(-1，-1，，=(0，-1，，，0，，y=，mm設(shè)平面的法向量為m=(x，y，z，則令y=，則1，z=1，+z=，∴m=(-1，，1).設(shè)點F的坐標為，，，則CF=(1，1，0)，=(1，，0)CF=0，121212得，∴F1，，0=1，-，0，?b+c=，n，設(shè)平面的法向量為n=(a，bc)，由2，2)，得12令a=，c=2n=(1b=2，?b=，CF，a33cosn,m==則，又由圖可知，二面角F-PC-B為銳角，故該二面角的余弦值為；nm3333【小問3詳解】存在，由(2)知，可設(shè)=AP=(-λ，0，λ，λ∈，1]，12=+=-λ，-，λ，?12?2=cosFQ,n=∴1432+132+263∵與平面所成角的余弦值是，∴其正弦值為，33|23112=，整理得λ2+8λ-1=，解得λ=，λ=-(舍)，32+13112∴存在滿足條件的點Q，=-，0，，且|AQ|=.1021.）3x+y+2=0；(?)（2）x22+y2=8；（3n=1或2時，存在點Pn3時，不存在點1T在AC上且ATAB=0，得ACABT點坐標及直線AB求出AC2AB,ACBC兩點關(guān)于MABC的外接圓是以MAM為半徑的圓；（3ABC的外接圓上存在點得|PN||PT|成立，則P為線段NT的垂直平分線l與圓M的公共點．所以當l與圓M相離時，不存在點；當lM相交或相切時則存在點PN點坐標，點N到直線距離d=22比較，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】因為=0，所以AT⊥AB，又T在AC上，所以AC⊥AB，為，Rt△x?3y?6=0又AB邊所在直線的方程為所以直線AC的斜率為3．，T?1又因為點()在直線AC上，y?1=3x+1()．所以AC邊所在直線的方程為即3x+y+2=0．【小問2詳解】AC與AB的交點為A，x?3y?6=所以由解