2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)Ⅱ卷（數(shù)學(xué)）附試卷分析

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)Ⅱ卷（數(shù)學(xué)）一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知z=-1-i,則|z|=A.0 B.1 C.2 D.22.已知命題p:?x∈R,|x+1|>1;命題q:?x>0,x3=x.則A.p和q都是真命題 B.?p和q都是真命題C.p和?q都是真命題 D.?p和?q都是真命題3.已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|=A.12 B.22 C.34.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理得下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)頻數(shù)302410根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間5.已知曲線C:x2+y2=16(y>0),從C上任意一點P向x軸作垂線段PP',P'為垂足,則線段PP'的中點M的軌跡方程為A.x216+B.x216+C.y216+D.y216+6.設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.當(dāng)x∈(-1,1)時,曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個交點.則a=A.-1 B.12 C.1 7.已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523,AB=6,A1B1=2,則A1A與平面ABCA.12 B.1 C.2 8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,則a2+b2的最小值為A.18 B.14 C.1二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.對于函數(shù)f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-π4A.f(x)與g(x)有相同的零點B.f(x)與g(x)有相同的最大值C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸10.拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l,P為C上動點.過P作☉A:x2+(y-4)2=1的一條切線,Q為切點.過P作l的垂線,垂足為B.則A.l與☉A相切B.當(dāng)P,A,B三點共線時,|PQ|=15C.當(dāng)|PB|=2時,PA⊥ABD.滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個11.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1,則A.當(dāng)a>1時,f(x)有三個零點B.當(dāng)a<0時,x=0是f(x)的極大值點C.存在a,b,使得x=b為曲線y=f(x)的對稱軸D.存在a,使得點(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=.

13.已知α為第一象限角,β為第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,則sin(α+β)=.

14.在如圖的4×4的方格表中選4個方格,要求每行和每列均恰有一個方格被選中,則共有種選法,在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140122233421322334315243444四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+3cosA=2.(1)求A;(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周長.16.(15分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3.(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.17.(15分)如圖,平面四邊形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°,∠BAD=30°,點E,F滿足AE=25AD,AF=12AB.將△AEF沿EF(1)證明:EF⊥PD;(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.18.(17分)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成.比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成績?yōu)?分;若至少投中1次,則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投籃投中得5分,未投中得0分,該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.(2)假設(shè)0<p<q.(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?19.(17分)已知雙曲線C:x2-y2=m(m>0),點P1(5,4)在C上,k為常數(shù),0<k<1.按照如下方式依次構(gòu)造點Pn(n=2,3,…):過Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點Qn-1,令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對稱點.記Pn的坐標(biāo)為(xn,yn).(1)若k=12,求x2,y2(2)證明:數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k(3)設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積.證明:對任意正整數(shù)n,Sn=Sn+1.參考答案1.C2.B3.B4.C5.A6.D7.B8.C9.BC10.ABD11.AD12.9513.-2215.(1)解法一(輔助角法)第1步:利用輔助角公式化簡已知等式由sinA+3cosA=2,得12sinA+32cosA所以sin(A+π3第2步:判斷角的范圍,求出角A的大小因為0<A<π,所以π3<A+π所以A+π3=π2,故A解法二(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系法)第1步:利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求sinA的值由sinA+3cosA=2,得3cosA=2-sinA,兩邊同時平方,得3cos2A=4-4sinA+sin2A,則3(1-sin2A)=4-4sinA+sin2A,整理,得1-4sinA+4sin2A=0,所以(1-2sinA)2=0,則sinA=12.第2步:求角A的大小因為0<A<π,所以A=π6或A=5π當(dāng)A=π6時,sinA+3cosA當(dāng)A=5π6時,sinA+3cosA故A=π6.解法三(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系法)第1步:利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求cosA的值由sinA+3cosA=2,得sinA=2-3cosA,兩邊同時平方,得sin2A=4-43cosA+3cos2A,則1-cos2A=4-43cosA+3cos2A,整理,得3-43cosA+4cos2A=0,所以(3-2cosA)2=0,則cosA=32.第2步:求角A的大小因為0<A<π,所以A=π6.(2)第1步:利用正弦定理求B的值由2bsinC=csin2B,得2bsinC=2csinBcosB,由正弦定理,得2bc=2cbcosB,所以cosB=22因為0<B<π,所以B=π4.第2步:利用兩角和的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理求sinC的值C=π-(A+B)=7π12所以sinC=sin7π12=sin(π3+π4)=sinπ3cos第3步:求△ABC的周長解法一(基本量法)由正弦定理asinA=bsinB=cc=asinC所以△ABC的周長為a+b+c=2+6+32.解法二(整體思想法)由正弦定理asinA=b所以a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4×(12+22+所以△ABC的周長為2+6+32.16.(1)第1步:求當(dāng)a=1時函數(shù)的解析式與導(dǎo)函數(shù)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1,第2步:求切線的斜率與切點坐標(biāo)則f'(1)=e-1.f(1)=e-2,所以切點坐標(biāo)為(1,e-2),第3步:求切線方程所以切線方程為y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0.(2)第1步:求導(dǎo)易知函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=ex-a.第2步:討論函數(shù)的單調(diào)性,求出極小值當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,無極值;當(dāng)a>0時,由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得x<lna,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(lna)=a-alna-a3.第3步:根據(jù)極小值小于0求a的取值范圍由題意知a-alna-a3<0(a>0),等價于1-lna-a2<0(a>0).解法一(導(dǎo)數(shù)法)令g(a)=1-lna-a2(a>0),則g'(a)=1-1a-2a=-2a2所以函數(shù)g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又g(1)=0,故當(dāng)0<a<1時,g(a)>0;當(dāng)a>1時,g(a)<0.故實數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).解法二(圖象法)由1-lna-a2<0(a>0),得lna>-a2+1(a>0).如圖為函數(shù)y=lna與y=-a2+1在區(qū)間(0,+∞)上的大致圖象,由圖易知當(dāng)a>1時,lna>-a2+1,即1-lna-a2<0.所以實數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).17.(1)第1步:證明EF⊥AE由題,AE=25AD=23,AF=12AB=4,又∠BAD=30°,所以由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cos30°=4,故又EF2+AE2=AF2,所以EF⊥AE.第2步:證明EF⊥PD由EF⊥AE及翻折的性質(zhì)知EF⊥PE,EF⊥ED,又ED∩PE=E,ED,PE?面PED,所以EF⊥面PED.又PD?面PED,所以EF⊥PD.(2)第1步:證明PE⊥面ABCD如圖,連接CE,由題,DE=33,CD=3,∠CDE=90°,故CE=DE又PE=AE=23,PC=43,所以PE2+CE2=PC2,故PE⊥CE.又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EF?面ABCD,所以PE⊥面ABCD.第2步:建立空間直角坐標(biāo)系,得到相關(guān)向量的坐標(biāo)EF,ED,PE兩兩垂直,故以E為原點,EF,ED,PE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,23),D(0,33,0),F(2,0,0),A(0,-23,0),C(3,33,0),連接PA,則PD=(0,33,-23),DC=(3,0,0),AP=(0,23,23),AF=(2,23,0).第3步:求面PCD和面PBF的法向量設(shè)面PCD的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·PD=33設(shè)面PBF即面PAF的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·AP=23y2第4步:求面PCD與面PBF所成二面角的余弦值的絕對值|cos<n1,n2>|=|n1第5步:利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得結(jié)果故面PCD與面PBF所成二面角的正弦值為1?16518.(1)第1步:計算甲、乙所在隊進(jìn)入第二階段的概率設(shè)A1=“甲、乙所在隊進(jìn)入第二階段”,則P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.第2步:計算乙在第二階段至少得5分的概率設(shè)A2=“乙在第二階段至少得5分”,則P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875.第3步:計算甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率設(shè)A3=“甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分”,則P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686.(2)(i)第1步:計算甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率設(shè)甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為P甲,則P甲=[1-(1-p)3]·q3=pq3·(3-3p+p2).第2步:計算乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率設(shè)乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為P乙,則P乙=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3-3q+q2).第3步:比較P甲與P乙的大小則P甲-P乙=pq(3q2-3pq2+p2q2-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)·(p+q-pq),由0<p<q≤1,得q-p>0,p+q-pq=p+q(1-p)>0,所以P甲-P乙>0,即P甲>P乙.第4步:做決策故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)第1步:計算甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望若甲參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績X的所有可能取值為0,5,10,15.P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]·C31·q·(1-q)P(X=10)=[1-(1-p)3]·C32·q2·(1-P(X=15)=[1-(1-p)3]·C33q所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15q(1-q)2+30q2(1-q)+15q3]=[1-(1-p)3]·15q=15pq(p2-3p+3).第2步:計算乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望若乙參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績Y的所有可能取值為0,5,10,15.同理,可得E(Y)=15pq(q2-3q+3).第3步:比較E(X)與E(Y)的大小E(X)-E(Y)=15pq(p2-3p-q2+3q)=15pq·(q-p)·(3-p-q),由0<p<q≤1,得q-p>0,3-p-q=3-(p+q)>0,所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y).第4步:做決策故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.19.將點P1(5,4)的坐標(biāo)代入C的方程得52-42=m,解得m=9,所以C:x2-y2=9.(1)過點P1(5,4)且斜率k=12的直線方程為y=12(與C的方程聯(lián)立,消去y化簡可得x2-2x-15=0,即(x-5)(x+3)=0,所以點Q1的橫坐標(biāo)為-3,將x=-3代入直線方程,得y=0,因此Q1(-3,0),從而P2(3,0),即x2=3,y2=0.(2)解法一由題意,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Qn(-xn+1,yn+1).設(shè)過點Pn(xn,yn)且斜率為k的直線為ln:y=k(x-xn)+yn,將ln的方程與C的方程聯(lián)立,消去y化簡可得(1-k2)x2+(2k2xn-2kyn)x-(kx由根與系數(shù)的關(guān)系得-xn+1+xn=-2k所以xn+1=2k2xn-2ky又Qn(-xn+1,yn+1)在直線ln上,所以yn+1=k(-xn+1-xn)+yn=-kxn+1-kxn+yn.從而xn+1-yn+1=xn+1+kxn+1+kxn-yn=(1+k)xn+1+kxn-yn=(1+k)·k2xn+xn-2kyn1?k2+kxn易知xn-yn≠0,所以數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k解法二由題意,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Qn(-xn+1,yn+1).由點Pn,Qn所在直線的斜率為k,可知k=yn又點Pn,Qn都在C上,所以xn即(xn易知xn-yn≠0,則1+k即數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k1?(3)解法一由(2)知,數(shù)列{xn-yn}是首項為x1-y1=5-4=1,公比為1+k令t=1+k1?k,由0<k<1可知t>1,則xn-yn=tn又xn2?yn2=9,所以xn可得xn=9+t2n-22t所以Pn(9+t2n-22tn-1,9?t2n-22tn-1),P所以直線PnPn+1的方程為x-xn=xn+1-xnyn+1-yn(y-yn),即(9+t2n-1)x-(9-t2n易知點Pn+2到直線PnPn+1的距離d=|(9+t又|PnPn+1|=(9+t則Sn=12·|PnPn+1|·d=9(t-1)3(t+1)4t2=解法二由(2)知,數(shù)列{xn-yn}是首項為x1-y1=5-4=1,公比為1+k令t=1+k1?k,由0<k<1可知t>1,則xn-yn=tn又xn2?yn2=9,所以xn可得xn=9+t2n-22t所以Pn(9+t2n-22tn-1,9?t2n-22tn-1),Pn+1(9+t2n2所以xnxn即xn+2-xn+1yn+2-yn+1=所以點Pn和點Pn+3到直線Pn+1Pn+2的距離相等,因此△PnPn+1Pn+2和△Pn+1Pn+2Pn+3的面積相等,即Sn=Sn+1.2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)Ⅱ卷（數(shù)學(xué)）試卷分析一、整體難度分析與往年相比，2024年新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試卷整體難度適中，注重對學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，同時也兼顧了對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能