陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三年級上冊第一次模擬考試 數(shù)學試卷（含解析）

2025屆高三第一次模擬考試

數(shù)學

考生注意：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合心”N*W4},5={T0,123},則（）

A{1,2}{0,1,2}{-2,-1,0,1,2,3}口{-1,0,1,2}

A.D.V/.U.

2.已知復數(shù)z滿足（4-3I）Z=1+2I,則目=（）

V12275

A.5B.5C.5D.5

3.已知雙曲線°的漸近線方程為2》±3歹=0,則C的標準方程為（）

2222

上一匕=1上上=1

A.188B.94

2222

上一匕=1上_乙=1

C.818D.49

4.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮

記》《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書五經(jīng)”知識講座，每部

名著安排1次講座，若要求《大學》《論語》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）

A.A：A：BA：A；A1CAXDAX

5m^rana=3,tan（a+/7）=_5,則tan（2a+,）=（）

1

A.8B,-8C.8D.8

6.某市教育局對全市所有中小學生進行了言語表達測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語表達測試成績服

從N（70,64）,據(jù)此估計測試成績不小于94的學生所占的百分比為（）

參考數(shù)據(jù):

P"-。<X<〃+（T）Q0.6827,尸（〃一2cr<X<〃+2b）Q0.9545,尸（〃-3。<X<〃+3。）20.9973

A.0.135%B,0.27%C.2,275%D3.173%

7.已知定義在R上的函數(shù)/G）滿足/（x+3）=-/（x）,且/（-1）=2,則“2024）=（）

A.-4B.-2C.4D.2

兀

8.如圖，在直三棱柱“BC—451G中，ABACAAl2/B4C萬，點尸,￡分別為棱4GM4上

的動點（不包括端點），若“￡=40，則三棱錐與一40￡的體積的最大值為（）

J_J_J_!

A.24B.12C.6D,3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知事件48滿足°⑷=°6°⑻=°-3,則下列說法正確的是（）

A.若5?，貝產(chǎn)（人8）=09

B,若Z與8互斥，則P（/D8）=0.9

C.若尸（"3）=°』8,則，與3相互獨立

D.若/與8相互獨立，則P（/u8）=0.9

10.已知函數(shù)""）=1'2卜若函數(shù)g3=尸3+勾"（》）+26有6個不同的零點，且最小的零點為

-1,則下列說法正確的是（）

人芳（》）的所有零點之和是6B〃+6=T

C."°D@=T

11.已知曲線11的方程為'='r2是以點"（Q"）為圓心、1為半徑的圓位于歹軸右側的部分，則下列說法

正確的是（）

rL

A.曲線11的焦點坐標為14）

B.曲線匕過點a”）

5土百

C.若直線歹=%+2被:Ti所截得的線段的中點在：T?上，則a的值為2

5

a>—

D.若曲線「2在「1的上方，則4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.-組數(shù)據(jù)24,78,47,39,60,18,2815,53,23,42,36的第75百分位數(shù)是.

11

_______??______??______?_____I

13.在“BC中，已知℃=38￡>,尸為線段/。的中點，若BP=4BA+〃BC,則X〃

y=2sin（0x+0）|（y〉0,0W羔彳[4）--

14.己知函數(shù)1的圖象經(jīng)過點）且在夕軸右側的第一個零點為4,

當xe[0,2何時，曲線尸s山與“2sin（西+叫勺交點有個，

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知A/BC的內(nèi)角4民c的對邊分別為aec,asin（8+C）=加in（/+C）+csin（Z+B）-bsmC

（1）求角幺；

V3

（2）若/?=14/80的面積為2,求a的長.

16.（本小題滿分15分）

已知函數(shù)"的圖象在點0/（1））處的切線與直線x+4y+2024=°垂直.

（1）求。的值；

（2）求/G）的單調區(qū)間和極值.

17.（本小題滿分15分）

如圖，已知平行六面體'BCD—的所有棱長均相等，平面“BB/I，。為RG的中點，且

PD=PC

⑴求證:CC11BD.

（2）求平面0尸8與平面。尸8的夾角的正弦值.

18.（本小題滿分17分）

.爐J2_

已知橢圓C"+/"">'>°）的左、右焦點分別為耳勺右頂點為Z,且M+以尸21=4,離心

率為2.

（1）求橢圓°的標準方程；

（2）已知"，"是C上兩點（點”,N不同于點幺），直線分別交直線x=_l于尸，。兩點，

用?而=-2

若4,證明：直線"N過定點.

19.（本小題滿分17分）

隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關注，國際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有

AES、DES、RSA等,不同算法密鑰長度也不同，其中R"的密鑰長度較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學領

域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應用就是在R”加密算法中的應用.設夕應是兩個正整數(shù)，若

夕應的最大公約數(shù)是1,則稱〃q互素.對于任意正整數(shù)〃，歐拉函數(shù)是不超過〃且與〃互素的正整數(shù)的個

數(shù),記為。（〃）.

（1）試求。0）+。（9）必7）+。（21）的值；

（2）設夕應是兩個不同的素數(shù)，試用，無表示。（"）（％€"）,并探究。（21）與。（））和。S）的關系;

{a}%,=加吳（掰eN*）1

（3）設數(shù)列出”的通項公式為2'八《求該數(shù)列的前機項的和

2025屆高三第一次模擬考試-數(shù)學

參考答案、提示及評分細則

IB，=”N，W4}={0,1,2},5={T0,1,2,3},所以-5={0,1,2上故選R

_l+2i_(l+2i)(4+3i)__U.

2.A因為復數(shù)2滿足?一3%=1+2、所以"。二(4一3(4+町二—所以

V5

5.故選A.

3.A根據(jù)題意設雙曲線C的方程為4/-9/=',,所以

蘭上=]

4x(-6斤9x(2加2=幾，即4=72,所以雙曲線C的方程為獷-曠=72,即188.故選A.

4.C先將《大學》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座全排列，共有A：種排法，再將《大學》

A3A6A3

《論語》《周易》看作3個元素，插入產(chǎn)生的7個空隔中，共有人7種排法，故總共有A6A7種排法.故選

C.

5.D因為tana=3,tan(e+分)=-5,所以

tana+tan(a+/?)3-52]_

tan(2a+萬)=tan[a+(a+4)]=

1-tanc^tan(a+/)l-3x(-5)168.故選D.

6.A依題意〃=70,6=8,94=〃+3a,所以測試成績不小于94的學生所占的百分比為

1-09973

——-——x100%=0.135%

2.故選A.

7.B因為"x+3)=—/(x),則/(2)=-/(-1)=-2,由/。+3)=-/3得

“x+6)=-/(x+3)=/(x),所以函數(shù)/(x)的一個周期為

6J(2024)="6x337+2)=/(2)=-2故選及

8.D在直三棱柱"8C-481G中，"4,平面48c,故4E為三棱錐E-4gp的高，設

兀

==te(0,2),則4E=2一/,由/2,得48_L4C,故則

2

SAfiP=—A,PxA,B}=tVBApE=/ABp=_SJBpX(2—t)=TQ-t)=—(Z—I)H■-

2，故333J,故

j_

，=i時，三棱錐4―40￡的體積有最大值§.故選D.

9.BC因為85,所以,（人臺/網(wǎng)/》叫故A錯誤；若工與臺互斥，則

P（/D8）=P（/）+P（3）=0.9,故B正確；因為P（/8）=P（/）P（3）,所以/與8相互獨立，故c

正確；因為，與8相互獨立，所以Pl48）一⑷P（8）=°18,所以

產(chǎn)（入5）=尸⑷+尸⑷-尸（的=0.72,故口錯誤.故選BC.

10.AB由函數(shù)丁二“且?”的圖象，經(jīng)過》軸翻折變換，可得函數(shù)卜二”8？國的圖象，再向右平移1個單

位，可得片1°82『1]=1幅|1-乂的圖象，最終經(jīng)過》軸翻折變換，可得/3=降2|1-耳|的圖象如

圖所示，則函數(shù)V=/。）的圖象關于直線％=1對稱，令'=/（"）,因為函數(shù)

g（x）=/2（x）+/（x）+2Z）最小的零點為一],且/JA[故當/卜）=1時，方程gG）=°有4個零

點，所以要使函數(shù)8（“）=[26）+“（》）+26有6個不同的零點，且最小的零點為x=-l,則

/0°或"“）=1,由"x）=°,得*=°或％=2,設〃x）=l的四個根從小到大依次為

%3，％，》5,4,由函數(shù)N=/（x）的圖象關于直線X=1對稱，得退+/=%+%5=2,所以g（x）的所有零

點之和是6,故A正確；關于/的方程/+8+26=°的兩個實數(shù)根為0,1,由韋達定理，得°=一1,

11.BCD對于選項A，ri：—=y,拋物線的焦點坐標為I故A錯誤；對于選項B,圓一的標

準方程為：/+（p一。）2=1（》〉°）,點O'。）代入圓「2的方程得'+（"0）2=1,所以圓「2過點0,a）,

故B正確；對于選項C,設N=x+2被：T］所截得的線段為QE,中點為G,聯(lián)立y=x+2和

積+/=1_xD+xE55)

.2_2cxx=—2—5J=X+2=-,G

「r「XY-yv有X-x-2=n0,故〔租/-2，22,故GG2122J代入

2

r2：X+(y_Q)2

1（5）5±V3

_n、—+~~a=]a=------「「

=vl（x>⑺得412）,解得2,故c正確；對于選項D,如圖所示，%在11的上方

時，拋物線和圓無交點，聯(lián)立V、和必+⑷-萬=1有/+（l_2a）y+a2_i=o,且

5

A=（l-紡-41-1）<。，解得“〉月故口正確,故選BCD.

12.50先按照從小到大排序：15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78,共設個數(shù)據(jù)，12x75%=9,

"當=50

第9,10個數(shù)據(jù)分別為47,53,則第75百分位數(shù)為2

—.—.BD=-BC

13.10由℃=3AD,得4,又尸為線段ND的中點，所以

JP=-2(1BA+BD1\=2-1\JA+4-JCJ\=-2JA+8-JC=XBA+〃UBC，艮J2=2-'〃?=8-,所以

-+—=2+8=10

2〃

14.6因為函數(shù)2sm3+。）的圖象經(jīng)過點（0,虛），所以2sin9=g,即仙'2,又

0W。(女cp=三y—2sin|a)x+—>0)—,

2,所以4,因為<4>在丁軸右側的第一個零點為4所以

-a>+-=ny=2sin(3x+：1.y=2sin(3x+：］「］

44,解得。=3,所以I4人畫出y=snw與(4J在區(qū)間［0,2町上

的圖象如圖所示，由圖可知曲線N=sn?與I4J的交點有6個.

15.解：(1)因為4+8+0=兀，所以QsinZ=6sin5+csinC—bsinC,

根據(jù)正弦定理得62一=bc,

,b2+c2-a2J

COS/4____________

根據(jù)余弦定理得2bc2

,兀

A——

由于0<4<兀，所以3

ABC=^bcsinA=1

S-—csm—二——

(2)因為2232,所以c=2.

a2=Z>2+c2-2Z)ccos^=l2+22-2xlx2x-=3

由余弦定理可知2

所以口=g

2xe"1-(%22x-x2-a

/，(1)=^1Z￡=1-^

/'G)=e~je“-1

16.解：(1)由題意知,所以

又函數(shù)/(x)的圖象在點=0垂直,

(l-a)x-1

所以

解得a=—3.

/(x)=?A/'(x)=2x—x2+3(x+l)(x-3)

（2）由（1）知c

令/'（x）=0,解得x=_i或x=3,所以當x<—1或x>3時，/'3<°,當-l<x<3時,

所以/GO的單調遞減區(qū)間為S，T），（3，+"）,單調遞增區(qū)間為（T3）.

6

6

所以/（X）的極小值為-2e?,極大值為e2.

17.（1）證明：設。是C。的中點，連接尸。，因為尸是的中點，則0G〃尸0.

因為尸￡>=尸。，所以尸。，C。，所以CCJC。.

ABBAAA

因為ZQI平面\\，iu平面ABBXAX,所以4D_L44],

因為CG//N4,所以CCJNQ

又CDcAD=D,CD,ADu平面ABCD,

所以CG,平面Z8C￡>.

又ADu平面48CD,所以CG，*）.

（2）解：因為40,平面ZBB/i.NBu平面所以40,45,四邊形

48co是正方形，結合（1）的結論可知04℃,°〃兩兩垂直，以Z）為原點建立如圖所示空間直角坐

標系，不妨設40=2,則，（°，°，°），'（°」，2）,'（2,2,0）,0（0,2,0）,

DP=（0,1,2）,DB=（2,2,0）,CB=（2,0,0）,C?=（0,-1,2）

設平面DPB的法向量為身=（X，八z）,

mDP=y+2z=0

<9

則向Z>B=2x+2y=0,令歹=一2,可得慶=（2,—2,1）.

nCB=2Q=0,

<

設平面CP8的法向量為五=S，仇0,則〔心3=—b+2c=0,令c=i,可得k=（0,2,1）

cos”也3

設平面CP8與平面。尸8的夾角為。，則H,同5

sin6）=Vl-cos2^=

所以5

2-

即平面CP8與平面。尸8的夾角的正弦值為5

2a=4,

1a=2,

c_1

[5，<b=瓜

a2=〃+。2c=l,

18.(1)?：設橢圓C的半焦距為c,由題意得I用牛付I

故橢圓C的標準方程為43

(2)證明：由(1)知片(T'°),由題意可知直線〃乂的斜率不為0,否則尸，°將位于x軸同側,

KPFIQ>O,不合題意;

設MN的方程為》=$尸（/2）,代入4+3一，

彳曰G-+4）v2+6sty+3〃—12=0

由A=36-2.4a2+4）（3〃—12）〉0,得3s2+4-2>°,

6st_3〃—12

設Af（再,%）。（%2/2）,則""3sW""3s2+4

所以中“傘+%)+2/=上

4/_12s2

x/2=即+0（^2+0=s2yM+st（J1+%）+〃=3s2+4