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2025屆四川省成都市航天中學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A. B.C. D.2.如圖,M為OA的中點(diǎn),以為基底,,則實(shí)數(shù)組等于()A. B.C. D.3.某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量,從總體編號(hào)為001,002,003,…,499,500的500盒口罩中,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個(gè)樣本進(jìn)行抽檢,選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開(kāi)始由左向右讀取,則選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為()160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3254.運(yùn)行如圖所示程序后,輸出的結(jié)果為()A.15 B.17C.19 D.215.設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿(mǎn)足,,若,且數(shù)列的前項(xiàng)和為,則()A. B.C.5 D.66.已知函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.7.?dāng)?shù)列,,,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A. B.C. D.8.?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn).已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,則的歐拉線(xiàn)方程是()A. B.C. D.9.正方體的表面積為,則正方體外接球的表面積為(
)A. B.C. D.10.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教,則抽取的3人中,女教師最多為1人的選法種數(shù)為()A.10 B.30C.40 D.4612.過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)的斜率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)是上的奇函數(shù),,對(duì),成立,則的解集為_(kāi)________14.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別是,,且的面積為,點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn),則的取值范圍是______.15.已知=(3,a+b,a﹣b)(a,b∈R)是直線(xiàn)l的方向向量,=(1,2,3)是平面α的法向量,若l⊥α,則5a+b=__16.將邊長(zhǎng)為2的正方形繞其一邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周,所得的圓柱體積為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知直線(xiàn),,分別求實(shí)數(shù)的值,使得:(1);(2);(3)與相交.18.(12分)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求,并求的最小值.19.(12分)如圖1,已知矩形中,,E為上一點(diǎn)且.現(xiàn)將沿著折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,且,得到的圖形如圖2.(1)證明為直角三角形;(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段上,判斷直線(xiàn)與平面位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.20.(12分)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)A,B是橢圓C的上,下頂點(diǎn),點(diǎn)P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E,直線(xiàn)PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F.證明:直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)21.(12分)已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,(1)求的值;(2)求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù)),并指明是第幾項(xiàng)22.(10分)已知,對(duì)于有限集,令表示集合中元素的個(gè)數(shù).例如:當(dāng)時(shí),,(1)當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出集合的子集的個(gè)數(shù);(2)當(dāng)時(shí),,都是集合的子集(,可以相同),并且.求滿(mǎn)足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù);(3)假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì):將1,1,2,2,··,,.這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列,使得在這個(gè)序列中,對(duì)于任意,與之間恰好排列個(gè)整數(shù).證明:是4的倍數(shù)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè),利用得到關(guān)于的方程,解方程即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè),則,由題意,即,化簡(jiǎn)得,解得(負(fù)值舍去).故選:C【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力,是一道容易題.2、B【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】,所以實(shí)數(shù)組故選:B3、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個(gè)讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為:116,614(舍),908(舍),445,116(舍),573(舍),880(舍),590(舍),522(舍),741(舍),148,故選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為148.故選:A.4、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解,直到滿(mǎn)足,輸出.【詳解】,,,,,,,,,,,,所以.故選:D5、D【解析】由利用因式分解可得,即可判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,從而得到數(shù)列,數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出【詳解】等價(jià)于,而,所以,即可知數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,即有,所以,故故選:D6、B【解析】構(gòu)造,通過(guò)求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,最值,畫(huà)出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令,即,令,當(dāng)時(shí),,,令得:或,結(jié)合,所以,令得:,結(jié)合得:,所以在處取得極大值,也是最大值,,當(dāng)時(shí),,且,當(dāng)時(shí),,則恒成立,單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,畫(huà)出的圖象,如下圖:要想有3個(gè)零點(diǎn),則故選:B7、B【解析】根據(jù)給定數(shù)列,結(jié)合選項(xiàng)提供通項(xiàng)公式,將n代入驗(yàn)證法判斷是否為通項(xiàng)公式.【詳解】A:時(shí),排除;B:數(shù)列,,,,…滿(mǎn)足.C:時(shí),排除;D:時(shí),排除;故選:B8、B【解析】根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),先求解出重心的坐標(biāo),然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線(xiàn)的方程,聯(lián)立方程,即可算出外心的坐標(biāo),最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意可得的重心為.因?yàn)?,,所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為.因?yàn)?,,所以直線(xiàn)的斜率,線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為.聯(lián)立,解得,則的外心坐標(biāo)為,故的歐拉線(xiàn)方程是,即故選:B.9、B【解析】由正方體表面積求得棱長(zhǎng),再求得正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng),即為外接球的直徑,從而可得球表面積【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,由得,正方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng),所以其外接球半徑為,球表面積為故選:B10、B【解析】求出不等式的等價(jià)形式,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由得或,由得,因?yàn)榛蛲撇怀?,但能推出或成立,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B11、C【解析】可分為女教師0人,男教師3人和女教師1人,男教師2人兩種情況,用組合數(shù)表示計(jì)算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人,則男教師有3人,有種選擇;若女教師為1人,則男教師2人,有種選擇;故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選:C12、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo),直線(xiàn)的斜率為.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)題意可以設(shè),求其導(dǎo)數(shù)可知在上的單調(diào)性,由是上的奇函數(shù),可知的奇偶性,進(jìn)而可知在上的單調(diào)性,由可知的零點(diǎn),最后分類(lèi)討論即可.【詳解】設(shè),則對(duì),,則在上為單調(diào)遞增函數(shù),∵函數(shù)是上的奇函數(shù),∴,∴,∴偶函數(shù),∴在上為單調(diào)遞減函數(shù),又∵,∴,由已知得,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;若,則;若,則或,解得或或;則的解集為.故答案為:.14、【解析】根據(jù)的面積和短軸長(zhǎng)得出a,b,c的值,從而得出的范圍,得到關(guān)于的函數(shù),從而求出答案【詳解】由已知得,故,∵的面積為,∴,∴,又,∴,,∴,又,∴,∴.即的取值范圍為.故答案為點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),函數(shù)最值的計(jì)算,熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題15、36【解析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出,然后即可得出,然后求出a,b的值,進(jìn)而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α,∴,∴,解得,∴故答案為:3616、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高,再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得;【詳解】解:依題意可得圓柱的底面半徑,高,所以;故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)或(2)或(3)且【解析】(1)根據(jù)直線(xiàn)一般式平行的條件列式計(jì)算;(2)根據(jù)直線(xiàn)一般式垂直的條件列式計(jì)算;(3)根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.【小問(wèn)1詳解】,,解得或又時(shí),直線(xiàn),,兩直線(xiàn)不重合;時(shí),直線(xiàn),,兩直線(xiàn)不重合;故或;【小問(wèn)2詳解】,,解得或;【小問(wèn)3詳解】與相交故由(1)得且.18、(1)(2),【解析】(1)由,計(jì)算出公差,再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.(2)直接用公式寫(xiě)出,配方后求出最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為,由得,從而,即又,【小問(wèn)2詳解】由(1)的結(jié)論,,,當(dāng)時(shí),取得最小值.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)答案不唯一,見(jiàn)解析【解析】(1)利用折疊前后的線(xiàn)段長(zhǎng)度及勾股定理求證即可;(2)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足時(shí)和,但時(shí)兩種情況,利用線(xiàn)線(xiàn)平行或相交得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】在折疊前的圖中,如圖:,E為上一點(diǎn)且,則,折疊后,所以,又,所以,所以為直角三角形.小問(wèn)2詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段上,滿(mǎn)足,同樣在線(xiàn)段上取,使得,則,當(dāng)時(shí),則,又且所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以此時(shí)平面;當(dāng)時(shí),此時(shí),但,所以四邊形為梯形,所以與必然相交,所以與平面必然相交.綜上,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足時(shí),平面;當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足,但時(shí),與平面相交.20、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)題意,列出的方程組,通過(guò)解方程組,即可求出答案.(2)法一:設(shè),,;當(dāng)時(shí),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)PA的方程,與橢圓方程聯(lián)立,可求出點(diǎn)的坐標(biāo);同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后即可求出直線(xiàn)EF的方程,從而證明直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn).法二:首先根據(jù)時(shí)直線(xiàn)EF的方程為,可判斷出直線(xiàn)EF過(guò)的定點(diǎn)M必在y軸上,設(shè)為;然后同方法一,求出點(diǎn),的坐標(biāo),根據(jù),即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由題意,知,解得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】法一:設(shè),,,當(dāng)時(shí),直線(xiàn)PA的方程為,由,得解得,所以.所以同理可得所以直線(xiàn)EF的斜率為,所以直線(xiàn)EF的方程為,整理得,所以直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)在y軸上,EF的方程為,顯然過(guò)點(diǎn)綜上,直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)法二:當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),E,F(xiàn)分別與B,A重合,直線(xiàn)EF的方程為,若直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)M,則M必在y軸上,可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí),設(shè),,,則直線(xiàn)PA的方程為,由,得,解得,所以,所以,同理可得,所以,因?yàn)镋,F(xiàn),M三點(diǎn)共線(xiàn),所以,所以,整理得,因?yàn)?,所以,解得,即所以直線(xiàn)EF過(guò)定點(diǎn)21、(1)(2)【解析】(1)由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案;(2)求出的通項(xiàng),利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問(wèn)1詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和,所以.【小問(wèn)2詳解】,因此時(shí),有理項(xiàng),有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).22、(1)8(2)454(3)證明見(jiàn)詳解【解析】(1)n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得;(2)由已知結(jié)合可得,或,然后可得集合的包含關(guān)系可解;(3)根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問(wèn)1詳解】
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