2025屆福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球3個，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.752．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.454．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.65．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在，上均為增函數(shù)，則的取值范圍是A. B.C. D.6．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.7．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.8．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.29．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，則（）A. B.C. D.11．已知空間四個點(diǎn)，，，，則直線AD與平面ABC所成的角為（）A. B.C. D.12．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將某校全體高一年級學(xué)生期末數(shù)學(xué)成績分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)需要隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，采用按成績分層隨機(jī)抽樣，則應(yīng)抽取成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為_______________.14．若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為______15．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.16．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取___________件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會展示項(xiàng)目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個信號源相距米，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與直線的夾角為，機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動，機(jī)器鼠的運(yùn)動軌跡始終滿足：接收到點(diǎn)的信號比接收到點(diǎn)的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時刻時，測得機(jī)器鼠距離點(diǎn)為米.（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時刻時機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運(yùn)動時，有“被抓”的風(fēng)險.如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險？18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前10項(xiàng)和；（2）等比數(shù)列滿足，，求和：19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.20．（12分）新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽(yù)為“棉中極品”，產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機(jī)抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機(jī)抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計(jì)概率，求至少有一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率.21．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，.（1）求橢圓的方程和點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點(diǎn)到直線：的最大距離為，求的值.22．（10分）已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C2、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D3、D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項(xiàng)，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當(dāng)或10時，最大，，故選：D4、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B5、A【解析】由，函數(shù)在上均為增函數(shù)，恒成立，,設(shè)，則，又設(shè)，則滿足線性約束條件，畫出可行域如圖所示，由圖象可知在點(diǎn)取最大值為，在點(diǎn)取最小值.則的取值范圍是，故答案選A考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃6、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D7、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，，故選A.8、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，則.故選：A.9、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B10、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的求和公式可得，解得.故選：D.11、A【解析】根據(jù)向量法求出線面角即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，直線AD與平面ABC所成的角為令，則則故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.12、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、48【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出成績不少于分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)頻率總數(shù)，即可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于（分）的頻率為，由于需要隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，利用樣本估計(jì)總體的思想，則應(yīng)抽取成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為人故答案為：14、100【解析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：10015、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因?yàn)椤皒2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取個數(shù)為件.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點(diǎn)坐標(biāo).（2）轉(zhuǎn)化機(jī)器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時，平行線間的距離，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時刻時，，即，可得機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為；（2）由題意，直線，設(shè)直線的平行線的方程為，聯(lián)立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)即為雙曲線右支上距離最近的點(diǎn)，此時與的距離為，即機(jī)器鼠距離最小的距離為，則機(jī)器鼠保持目前運(yùn)動軌跡不變，沒有“被抓”的風(fēng)險.18、（1），175（2）【解析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出公差，然后結(jié)合通項(xiàng)公式及求和公式即可求解；（2）結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)先求出，然后結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式可求【小問1詳解】解：等差數(shù)列滿足，，所以，，；【小問2詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，所以或（舍去），由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)作差即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可得到，再令，利用錯位相減法求出，即可得證；【小問1詳解】解：因?yàn)?，且，?dāng)時，則，所以，當(dāng)時，，則，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，，因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以，所以，即，所以，即；20、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率21、（1）橢圓的方程為，點(diǎn)的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結(jié)合，求出，從而可得橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，坐標(biāo)代入化簡可得點(diǎn)的軌跡的方程，（2）由題意結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，由，可得，因?yàn)?，代入化簡?jì)算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，所以，所以，所以點(diǎn)軌跡的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，因?yàn)榍€上的動點(diǎn)到直線：的最大距離為，所以，得，設(shè)，由，得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以，得，得（舍去），?2、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假設(shè)存在，并設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到根的關(guān)系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到參數(shù)b的方程求解即可試題解析：設(shè)直線l的方程為y＝x＋b①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②聯(lián)立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，即x1x2＋y1y