浙江省教育綠色評價(jià)聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

浙江省教育綠色評價(jià)聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.2．已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)4．在棱長為1的正方體中，是線段上一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為5．若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.6．如圖所示的程序框圖，閱讀下面的程序框圖，則輸出的S=（）A.14 B.20C.30 D.557．今天是星期四，經(jīng)過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六8．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形10．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件11．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.12．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為__________.14．已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為______15．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).16．已知對任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點(diǎn)P，，為其焦點(diǎn)，在中，，，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值18．（12分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線l，a和平面，，，，求證：.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程21．（12分）已知數(shù)列中，，且滿足（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項(xiàng)中只有是的必要不充分條件.選項(xiàng)AC是的充分不必要條件，選項(xiàng)B是充要條件.故選：D2、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A3、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號不成立），所以④正確.故選：C.4、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過計(jì)算可判斷C；過作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對于D，過作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)?，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.5、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.II卷6、C【解析】經(jīng)分析為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行執(zhí)行，當(dāng)滿足跳出的條件時(shí)即可輸出值【詳解】解：第一次循環(huán)S=1，i=2；第二次循環(huán)S=1+22=5，i=3；第三次循環(huán)S=5+32=14，i=4；第四次循環(huán)S=14+42=30，i=5；此時(shí)5>4，跳出循環(huán)，故輸出的值為30故選：C.7、C【解析】求出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，得到除以7余數(shù)是1，然后利用周期性進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：一個(gè)星期的周期是7，則，即除以7余數(shù)是1，即今天是星期四，經(jīng)過天后是星期五，故選：8、A【解析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關(guān)系，判斷“x>1”與“x>0”的關(guān)系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.9、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C10、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.11、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故選：C.12、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線過定點(diǎn)，圓心，當(dāng)時(shí)，取得最小值，再由勾股定理即可求解.【詳解】由，得，由，得直線過定點(diǎn)，且在圓的內(nèi)部，由圓可得圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，取得最小值，圓心與定點(diǎn)的距離為，則的最小值為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)椋傻?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，對于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.15、12【解析】根據(jù)被開方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項(xiàng)被開方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，其通項(xiàng)公式為：，設(shè)數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：16、【解析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意，列出方程，代入數(shù)據(jù)，化簡即可得答案.詳解】由題意得：，所以，所以，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見詳解.【解析】（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l的方程為：，即從而焦點(diǎn)到直線l的距離為，平方化簡得：，故直線斜率為：.（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消元得：設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，故因?yàn)椋瑢點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.18、（1）的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）說明直線方向向量與平行的法向量垂直后可得【詳解】（1）解：定義域?yàn)镽，，，解得，.當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：在直線a上取非零向量，因?yàn)?，所以是直線l的方向向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所?又，所以.19、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出方程即可；（2）采用分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】時(shí)，，，則，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以20、（1）（2）或【解析】（1）點(diǎn)和的中垂線經(jīng)過圓心，兩直線聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解半徑.（2）已知弦長，求解直線方程，分類討論斜率是否存在.小問1詳解】點(diǎn)和的中點(diǎn)為，,所以中垂線的，利用點(diǎn)斜式得方程為，聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)為，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)弦長，符合題意.當(dāng)過點(diǎn)的直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為，化簡得，弦心距，所以，解得，所以直線方程為.綜上所述直線方程為或.21、（1）證明見解析；；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明為常數(shù)即可；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求和.【小問1詳解】由得，，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴