山東省利津縣2024年中考數學最后一模試卷（含解析）

山東省利津縣2024年中考數學最后一模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1f2（?-y）?-y-4

nI—V

1.如果關于X的分式方程一3=一二有負數解，且關于y的不等式組3y+4,無解，則符合條件的所

x+1x+1----<y+1

I2-

有整數?的和為（）

A.-2B.0C.1D.3

2.如圖是反比例函數y=±（k為常數，k/o）的圖象，則一次函數y=依-左的圖象大致是（）

3.向某一容器中注水，注滿為止，表示注水量與水深的函數關系的圖象大致如圖所示，則該容器可能是（）

注水量*

4.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，且AB：AC=3：2,則△ABD與△ACD的面積之比為（）

5.如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”.將半徑為5的“等邊扇形”圍成一個圓錐，則圓錐

的側面積為（）

2525

A.—B.—7tC.50D.507t

22

6.設a,口是一元二次方程x?+2x—1=0的兩個根，則ap的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

7.提出“金山銀山，不如綠水青山”，國家環(huán)保部大力治理環(huán)境污染，空氣質量明顯好轉，將惠及13.75億中國人，這

個數字用科學記數法表示為（）

A.13.75xl06B.13.75X105C.1.375xl08D.1.375xl09

8.下圖是由八個相同的小正方體組合而成的幾何體，其左視圖是（）

A.14B.7C.-2D.2

10.tan30°的值為（）

A.B.C.7D..

J0Vl

11.。。是一個正〃邊形的外接圓，若。。的半徑與這個正"邊形的邊長相等，則〃的值為（）

A.3B.4C.6D.8

12.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

D.

iB今◎

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.為了綠化校園，30名學生共種78棵樹苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，設男生有x人，女生有y人,

根據題意，所列方程組正確的是（）

x+y=78fx+y=78f^+y=30fx+y=30

3x+2y=30\2x+3y=3012x+3y=7813x+2y=78

14.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABC。的邊A3在x軸上，4-3,0）,3（4,0）,

邊AO長為5.現固定邊A3,“推”矩形使點。落在y軸的正半軸上（落點記為。0,相應地，點C的對應點C'的坐

標為1

15.如圖所示，一動點從半徑為2的。。上的4點出發(fā)，沿著射線AoO方向運動到。。上的點4處，再向左沿著與

射線40夾角為60。的方向運動到。。上的點42處；接著又從4點出發(fā)，沿著射線方向運動到。。上的點心處,

再向左沿著與射線A3O夾角為60。的方向運動到。。上的點A4處；4Ao間的距離是;…按此規(guī)律運動到點4019

處，則點人2019與點4）間的距離是.

16.計算（百+J5）-百的結果是

17.分解因式：4a2-1=.

18.某花店有單位為10元、18元、25元三種價格的花卉，如圖是該花店某月三種花卉銷售量情況的扇形統(tǒng)計圖，根

據該統(tǒng)計圖可算得該花店銷售花卉的平均單價為元.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，點A是直線AM與。。的交點，點8在。。上，BD1AM,垂足為O,BD與00交于點、C,0C

平分NAOB,ZB=60°.求證：AM是。。的切線；若。。的半徑為4,求圖中陰影部分的面積（結果保留兀和根號）.

20.（6分）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45。，在樓頂C

測得塔頂A的仰角36。52，.已知山高BE為56m,樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.（參考數據:

sin36052,~0.60,tan36°52,=0.75）

A

BD

21.（6分）為響應“學雷鋒、樹新風、做文明中學生”號召，某校開展了志愿者服務活動，活動項目有“戒毒宣傳”、“文

明交通崗”、“關愛老人”、“義務植樹”、“社區(qū)服務”等五項，活動期間，隨機抽取了部分學生對志愿者服務情況進行調

查，結果發(fā)現，被調查的每名學生都參與了活動，最少的參與了1項，最多的參與了5項，根據調查結果繪制了如圖

所示不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.

被抽樣學生參與志愿者活動情況折線統(tǒng)計圖期樣學生參與志愿者活動情況扇形婉計圖

20小

18

16

14

12

0被隨機抽取的學生共有多少名？在扇形

二0

0

6

4

2

統(tǒng)計圖中，求活動數為3項的學生所對應的扇形圓心角的度數，并補全折線統(tǒng)計圖；該校共有學生2000人，估計其中

參與了4項或5項活動的學生共有多少人？

22.（8分）如圖，在△ABC中，ABAC,AE是N5AC的平分線，N4BC的平分線交AE于點M,點。在A3

上，以點。為圓心，03的長為半徑的圓經過點交BC于點G,交A3于點尸.

（1）求證：AE為。。的切線；

（2）當5c=4,AC=6時，求。。的半徑;

（3）在（2）的條件下，求線段5G的長.

23.（8分）已知：如圖，在梯形中，DC//AB,AD^BC,8。平分NA3C,ZA=60°.

求：（1）求NC05的度數；

（2）當40=2時，求對角線30的長和梯形A3C。的面積.

24.（10分）如圖，在nABCD中，以點4為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B、F為圓心，大于BF

的長為半徑畫弧，兩弧交于點P;連接AP并廷長交BC于點E,連接EF

（1）根據以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=2,AE=2.求/BAD的大小.

25.（10分）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB,現決定從小島架一座與觀光小道

垂直的小橋PD,小張在小道上測得如下數據：AB=80.0米，ZPAB=38.1°,ZPBA=26.1.請幫助小張求出小橋PD的

長并確定小橋在小道上的位置.（以A,B為參照點，結果精確到0.1米）

（參考數據:sin38.1°=0.62,cos38.1°=0.78,tan38.1°=0.80,sin26.1°=0.41,cos26.1°=0.89,tan26.1°=0.10）

DR

26.（12分）在“雙十二”期間，A8兩個超市開展促銷活動，活動方式如下：

A超市：購物金額打9折后，若超過2000元再優(yōu)惠300元；

3超市：購物金額打8折.

某學校計劃購買某品牌的籃球做獎品，該品牌的籃球在兩個超市的標價相同，根據商場的活動方式：

（1）若一次性付款4200元購買這種籃球，則在3商場購買的數量比在A商場購買的數量多5個，請求出這種籃球的

標價；

（2）學校計劃購買100個籃球，請你設計一個購買方案，使所需的費用最少.（直接寫出方案）

27.（12分）小李在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考，請你幫他完成如下問

題：

他認為該定理有逆定理：“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的

一半，那么這個三角形是直角三角形”應該成立.即如圖①，在AABC中，AD是邊上的中線，若的>=3￡>=8,

求證：44c=90°.如圖②，已知矩形ABC。，如果在矩形外存在一點E,使得AELCE,求證：BE工DE.（可

以直接用第（1）問的結論）在第（2）問的條件下，如果AAED恰好是等邊三角形，請求出此時矩形的兩條鄰邊A3

與的數量關系.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

2（"y）,,-y—4

Z7I—X

解關于y的不等式組3y+4,，結合解集無解，確定”的范圍，再由分式方程一--3=一；有負數解，

------<V+1x+lx+1

I2,

且。為整數，即可確定符合條件的所有整數。的值，最后求所有符合條件的值之和即可.

【詳解】

2(?-y)?-y-4

y..2〃+4

由關于y的不等式組3y+4,可整理得《

<J+1。(一2

2

?.?該不等式組解集無解,

；?2a+42-2

即及-3

又??.信—3=官得a-4

x=------

2

1-x

而關于”的分式方程六-3有負數解

%+1

：.a-4<l

：.a<4

于是-3<a<4,且a為整數

.*??=-3、-2、-1>1、1、2、3

則符合條件的所有整數a的和為1.

故選民

【點睛】

本題考查的是解分式方程與解不等式組，求各種特殊解的前提都是先求出整個解集，再在解集中求特殊解，了解求特

殊解的方法是解決本題的關鍵.

2、B

【解析】

根據圖示知，反比例函數y=上的圖象位于第一、三象限，

X

:.k>09

...一次函數尸質-左的圖象與y軸的交點在y軸的負半軸，且該一次函數在定義域內是增函數,

...一次函數尸質的圖象經過第一、三、四象限；

故選:B.

3、D

【解析】

根據函數的圖象和所給出的圖形分別對每一項進行判斷即可.

【詳解】

由函數圖象知：隨高度h的增加,y也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，注水量h的增加量變小，圖象上升趨勢變

緩，其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半徑由底到頂逐漸變小，故D項正確.

故選:D.

【點睛】

本題主要考查函數模型及其應用.

4、A

【解析】

試題解析：過點。作于E,AC于F.

?.NO為NR4C的平分線，

：.DE=DF,又4B:AC=3:2,

S.:SACD=(|ABDE):(|ACDF)=AB:AC=3:2,

故選A.

點睛：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

5、A

【解析】

根據新定義得到扇形的弧長為5,然后根據扇形的面積公式求解.

【詳解】

125

解：圓錐的側面積=—?5?5=k.

22

故選A.

【點睛】

本題考查圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母

線長.

6、D

【解析】

試題分析：???(/、0是一元二次方程二+二-二=：的兩個根，.??呻7=-1,故選D.

考點：根與系數的關系.

7、D

【解析】

用科學記數法表示較大的數時，一般形式為axion,其中l(wèi)w|a卜10,n為整數，據此判斷即可.

【詳解】

13.75億=1.375x109.

故答案選D.

【點睛】

本題考查的知識點是科學記數法，解題的關鍵是熟練的掌握科學記數法.

8、B

【解析】

解：找到從左面看所得到的圖形，從左面可看到從左往右三列小正方形的個數為：2,3,1.

故選B.

9、D

【解析】

解不等式得到x>-m+3,再列出關于m的不等式求解.

2

【詳解】

m-lx<-6,

-lx<-m-6,

1

x>—m+3,

2

rn—9x

?.?關于X的一元一次不等式二一w-1的解集為x>4,

—m+3=4,解得m=l.

2

故選D.

考點：不等式的解集

10、D

【解析】

直接利用特殊角的三角函數值求解即可.

【詳解】

tan30°=故選：D.

【點睛】

本題考查特殊角的三角函數的值的求法，熟記特殊的三角函數值是解題的關鍵.

11、C

【解析】

根據題意可以求出這個正n邊形的中心角是60°,即可求出邊數.

【詳解】

00是一個正n邊形的外接圓，若。。的半徑與這個正n邊形的邊長相等，

則這個正"邊形的中心角是60。，

360+60°=6

n的值為6,

故選：C

【點睛】

考查正多邊形和圓，求出這個正多邊形的中心角度數是解題的關鍵.

12、C

【解析】

根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各個選項進行判斷，即可得到答案.

【詳解】

解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A錯誤；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B錯誤；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C正確；

D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故D錯誤；

故選：C.

【點睛】

本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，解題的關鍵是熟練掌握概念進行分析判斷.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、A

【解析】

x+y=30

該班男生有x人，女生有y人.根據題意得：

3x+2y=78

故選D.

考點：由實際問題抽象出二元一次方程組.

14、(7,4)

【解析】

分析：根據勾股定理，可得(?￡>',根據平行四邊形的性質，可得答案.

詳解：由勾股定理得：OD'=yjD'^-AO2=4，即。做0,4).

矩形ABCD的邊AB在x軸上，二四邊形ABC'。'是平行四邊形，

AD0=BC,CZ)0=AB=4-(-3)=7,C'與。，的縱坐標相等，C'(7,4),故答案為(7,4).

點睛：本題考查了多邊形，利用平行四邊形的性質得出AD仁BC,CoC=AB=4-(-3)=7是解題的關鍵.

15、2A/31.

【解析】

據題意求得AoAi=4,AoAi=2y/3>AoAi=l>AoA4=2-\/3>AoA5=l,AoA(,=O>AoA7=4,…于是得到A1019與A3重

合，即可得到結論.

【詳解】

解：如圖，

由題意得，AoAi=4,AoAi=2^/3>AOA3=1,AOA4=2\^3>AoA5=l,AoA6=O,AoA7=4,...

；1019+6=336…3,

/.按此規(guī)律A1019與A3重合，

?e?AoA1019=A0A3—1,

故答案為26,1.

【點睛】

本題考查了圖形的變化類，等邊三角形的性質，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關鍵.

16、0

【解析】

【分析】根據二次根式的運算法則進行計算即可求出答案.

【詳解】(百+行)-百

=y/3+A/2--\/3

=0，

故答案為

【點睛】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的運算法則.

17、(2a+l)(2a-1)

【解析】

有兩項，都能寫成完全平方數的形式，并且符號相反，可用平方差公式展開.

【詳解】

4a2-1=(2a+l)(2a-1).

故答案為：(2a+l)(2a-l).

【點睛】

此題考查多項式因式分解，根據多項式的特點選擇適合的分解方法是解題的關鍵.

18、17

【解析】

根據餅狀圖求出25元所占比重為20%,再根據加權平均數求法即可解題.

【詳解】

解：1-30%-50%=20%,

/.25x20%+10x30%+18x50%=17.

【點睛】

本題考查了加權平均數的計算方法，屬于簡單題，計算25元所占權比是解題關鍵.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

O

19、(1)見解析；(2)6^/3——7T

【解析】

(1)根據題意，可得△30C的等邊三角形，進而可得根據角平分線的性質，可證得根

據N5ZM/=90。，進而得到NQ4M=90。，即可得證；

(2)連接AC,利用AAOC是等邊三角形，求得NO4c=60。，可得NCAZ)=30。，在直角三角形中，求出C。、40的

長，則S陰影=S梯形OA&C-S扇形OAC即可得解.

【詳解】

(1)證明：VZB=60°,OB=OC,

???△50C是等邊三角形，

.\Zl=Z3=60o,

V0C平分NA05,

.*.Z1=Z2,

AZ2=Z3,

:.OA//BD9

■:ZBDM=9Q09

O

：.ZOAM=9Q9

又04為。。的半徑，

JAM是。。的切線

(2)解：連接AC,

VZ3=60°,OA=OC,

???AAOC是等邊三角形，

：.ZOAC=60°f

：.ZCAD=30°f

VOC=AC=49

：.CD=29

??AD=2，

■j60428

S陰影=S梯形OAOC-S扇形。＜c=-x(4+2)x2y/3~---------=6^/3--兀.

23603

本題主要考查切線的性質與判定、扇形的面積等，解題關鍵在于用整體減去部分的方法計算.

20、52

【解析】

根據樓高和山高可求出EF,繼而得出AF,在RtAAFC中表示出CF,在RtAABD中表示出BD,根據CF=BD可建

立方程，解出即可.

【詳解】

、'、、36°52‘

45p、JMj

n

如圖，過點C作CFLA3于點F.

設塔高AE=x,

由題意得,E尸=5E-C￡)=56-27=29ni,A尸=4E+E尸=(x+29)?i,

在Rt&AFC中,/4。尸=36°52'4尸=。+29)雨,

AFX+294116

則CF=---------?--------=—x+——，

tan36°52'0.7533

在RthABD中,NAOB=45°,AB^x+56,

貝！JBD=AB=x+56,

<CF=BD,

."4116

..x+56=—-----,

33

解得：x=52,

答：該鐵塔的高AE為52米.

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，注意利用方程思想求解，難度一般.

21、(1)被隨機抽取的學生共有50人；(2)活動數為3項的學生所對應的扇形圓心角為72。，(3)參與了4項或5項

活動的學生共有720人.

【解析】

分析：(1)利用活動數為2項的學生的數量以及百分比，即可得到被隨機抽取的學生數;

(2)利用活動數為3項的學生數，即可得到對應的扇形圓心角的度數，利用活動數為5項的學生數，即可補全折線統(tǒng)

計圖;

(3)利用參與了4項或5項活動的學生所占的百分比，即可得到全校參與了4項或5項活動的學生總數.

詳解：(1)被隨機抽取的學生共有14+28%=50(人)；

(2)活動數為3項的學生所對應的扇形圓心角=左'360。=72。,

活動數為5項的學生為：50-8-14-10-12=6,

如圖所示：

1

(3)參與了4項或5項活動的學生共有-----x2000=720(人).

50

點睛：本題主要考查折線統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖及概率公式，根據折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖得出解題所需的數據是解題

的關鍵.

3

22、(1)證明見解析；(2)-；(3)1.

2

【解析】

(1)連接OM,如圖1,先證明OM〃BC,再根據等腰三角形的性質判斷AELBC,則OMLAE,然后根據切線的

判定定理得到AE為。O的切線；

(2)設。O的半徑為r,利用等腰三角形的性質得到BE=CE=^BC=2,再證明△AOMs/\ABE,則利用相似比得到

2

二=手,然后解關于r的方程即可；

26

一31

(3)作OHLBE于H,如圖，易得四邊形OHEM為矩形，貝!|HE=OM=—,所以BH=BE-HE=—,再根據垂徑定理

22

得至|JBH=HG=L,所以BG=1.

2

【詳解】

解：(1)證明：連接OM,如圖I,

；BM是NABC的平分線，

/.ZOBM=ZCBM,

VOB=OM,

/.ZOBM=ZOMB,

.,.ZCBM=ZOMB,

，OM〃BC,

VAB=AC,AE是NBAC的平分線,

AAE1BC,

AOMIAE,

；.AE為。O的切線；

(2)解：設。O的半徑為r,

VAB=AC=6,AE是NBAC的平分線,

1

/.BE=CE=-BC=2,

2

；OM〃BE,

/.△AOM^AABE,

OMAOr6-r3

-----=——，即an_=-----解得片大，

BEAB262

3

即設。O的半徑為不；

2

(3)解：作OHLBE于H,如圖,

VOM±EM,ME1BE,

二四邊形OHEM為矩形，

3

.\HE=OM=-,

2

31

:.BH=BE-HE=2--=

22

VOH1BG,

1

；.BH=HG=-,

2

/.BG=2BH=1.

23、：(1)30。；(2)S梯形鉆

【解析】

分析：

(1)由已知條件易得NABC=NA=60。，結合BD平分NABC和CD〃AB即可求得NCDB=30。；

(2)過點D作DH_LAB于點H,則NAHD=30。，由(1)可知NBDA=NDBC=30。，結合NA=60?？傻肗ADB=90。，

ZADH=30°,DC=BC=AD=2,由此可得AB=2AD=4,AH=B，這樣即可由梯形的面積公式求出梯形ABCD的面積

了.

詳解：

(1)；在梯形ABCD中，DC/7AB,AD=BC,NA=60。，

.,.ZCBA=ZA=60",

VBD平分/ABC,

1

:.ZCDB=ZABD=-ZCBA=30",

2

(2)在AACD中，VZADB=180°-ZA-ZABD=90°.

BD=AD-tanA=2tan60°=26.

過點D作DHLAB,垂足為H,

AH=AD-sinA=2sin60°=73.

1

■:ZCDB=ZCBD=-ZCBD=30",

2

.\DC=BC=AD=2

VAB=2AD=4

11

??S梯形ABCD=萬(AB+CD)?DH=萬(4+2)指=3指.

E----------f

/

RL_1-------------—

H0

點睛：本題是一道應用等腰梯形的性質求解的題，熟悉等腰梯形的性質和直角三角形中30。的角所對直角邊是斜邊的

一半及等腰三角形的判定，是正確解答本題的關鍵.

24、⑴見解析;⑵60°.

【解析】

(1)先證明△AEB且△AEF,推出NEAB=NEAF,由AD〃BC,推出NEAF=NAEB=NEAB,得至!JBE=AB=AF,

由此即可證明；

(2)連結BF,交AE于G.根據菱形的性質得出AB=2,AG=.AE=ZBAF=2ZBAE,AE±BF.然后解直角△ABG,

￡丫口

求出NBAG=30。，那么NBAF=2NBAE=60。.

【詳解】

解：(1)在△AEB和AAEF中，

'AB=AF

<BE=FE，

AE=AE

.".△AEB^AAEF,

/.ZEAB=ZEAF,

；AD〃BC,

/.ZEAF=ZAEB=ZEAB,

；.BE=AB=AF.

VAF/7BE,

四邊形ABEF是平行四邊形，

VAB=BE,

二四邊形ABEF是菱形；

(2)連結BF,交AE于G.

；AB=AF=2,

GA=yAE=yX2V3=V3>

在RtAAGB中，cosZBAE=—=^1-

AB2

:.ZBAG=30°,

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質與菱形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行四邊形的性質與菱形的判定與性質.

25、49.2米

【解析】

設PD=x米，在RtZkPAD中表示出AD,在RtAPDB中表示出BD,再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出

PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置.

【詳解】

解：設PD=x米,

VPD1AB,/.ZADP=ZBDP=90°.

xx

在RtAPAD中，tanZPAD=——,工AD二二=限

ADtan38.5°0.804

xxx

在RtAPBD中，tanZPBD=——,:.DB=---------------------2x

DBtan26.5°0.50

又,.,AB=80.0米，A-x+2x=80.0,解得：x~24.6,即PM24.6米.

4

；.DB=2x=49.2米.

答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米.

26、(1)這種籃球的標價為每個50元；(2)見解析

【解析】

42004200+300

(1)設這種籃球的標價為每個x元，根據題意可知在B超市可買籃球——個，在A超市可買籃球個,

0.8%0.9%

根據在B商場比在A商場多買5個列方程進行求解即可;

(2)分情況，單獨在A超市買100個、單獨在B超市買100個、兩家超市共買100個進行討論即可得.

【詳解】

(1)設這種籃球的標價為每個x元,

42004200+300<

依題意，得--------------------