中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似三角形的常見模型

2022年中考數(shù)學(xué)相似三角形的常見模型

上@學(xué)習(xí)目標(biāo)）

1.了解相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理；

2.能利用相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單問題.

件重難點(diǎn)分析

1.相似三角形的判定；

2.能構(gòu)成相似三角形的常見模型.

《模型分析》

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn),

其變化很多，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到相似三角形的問題就信心更足了.本專題重點(diǎn)講解相似三角形的六大基本模型.

在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比

例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系.

o要點(diǎn)集結(jié)）

相似基本模型專題探究之一線三等角

【知識點(diǎn)睛】

一.常見基本類型:

同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）

二.模型性質(zhì)應(yīng)用:

常用結(jié)論：

1易得△左S△右；

2.如圖②，當(dāng)DE=D尸時，ABDE2ACFD；

3.中點(diǎn)型“一線三等角”中，可得三個三角形兩兩相似

如右圖，若N1=N2=N3,且=則一般地：當(dāng)動點(diǎn)E運(yùn)動到底邊的

中點(diǎn)時，CF有最大值

模型構(gòu)造:

1.圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.

2.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.

3.圖中某直線上只存在1個角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.

如果直線上只有1個角，要補(bǔ)成“一線三等角”時，該角通常是特殊角（30。、45。、

60°>

特征：構(gòu)造特殊角的等角時，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形。

“一線三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對應(yīng)成比例求解長度.

相似常見模型之平行相似

【知識點(diǎn)睛】

A字圖及其變型“斜A型”

當(dāng)DE〃BC時

△ADE^AABC當(dāng)/ADE=/ACB時

性質(zhì)：△ADE^AACB

GADAEDE

①-----二------性質(zhì)：

ABACBCADAE_DE

②金AE

DB~EC

☆:斜A型在圓中的應(yīng)用:

如圖可得：△PABSAPCD

☆:“A字圖”最值應(yīng)用

A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當(dāng)MN為△ABC中位線,

矩形面積達(dá)到最大值！

8字圖及其變型“蝴蝶型”

B\當(dāng)AB〃CD時些i4時

rAAOB^ADOC'"變型B△AJB^ACJD

［性質(zhì)：性質(zhì)：

ABOAOBABJAJB

CDOD0CDTD~7C~1D

☆:“蝴蝶型”常見應(yīng)用

1.常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關(guān)此時注意“同弧所對圓周角相等”的應(yīng)用

2.出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”

☆:A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，有“〃”，多想此兩種模型

常見“〃”的引入方式：

1.直接給出平行的已知條件

2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行

3.由很多中點(diǎn)構(gòu)造的“中位線”的平行

4.根據(jù)線段成比例的條件或結(jié)論自己構(gòu)造平行輔助線

閡胰郎青

一、相似的有關(guān)概念

1.相似形

具有相同形狀的圖形叫做相似形.相似形僅是形狀相同，大小不一定相同.相似圖

形之間的互相變換稱為相似變換.

2.相似圖形的特性

兩個相似圖形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.

3.相似比

兩個相似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

二、相似三角形的概念

1.相似三角形的定義

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.

如圖,AABC與AA'B'C'相似，記作AABC^AA'B'C,符號s讀作“相似于”.

2.相似比

相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相

似形”，“相似形”不一定是“全等形”.

三、相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的對應(yīng)角相等

如圖，AABC與△A'5'C'相似，則有NA=NA',=NC=NC'.

2.相似三角形的對應(yīng)邊成比例

則有‘^=上邑=’^=左（人為相似比）.

如圖，AABC與八4'5'（7相似,

A'B'B'CA!C

3.相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比.

如圖1,AABC與△A'3'C'相似，40是A4BC中3c邊上的中線，AM'是△A'3'C'

中3'C邊上的中線，則有'=生=生=左=當(dāng)_（左為相似比）.

A'B'B'C'A'CAM'

如圖2,AABC與△A'B'C'相似，AH是A4BC中3c邊上的高線，A'H'是△AB'C'中

B'C'邊上的高線，則有絲=生=至=左=也（人為相似比）.

AB'B'CA'CAH'

如圖3,AABC與△A'B'C'相似，AD是A4BC中NS4c的角平分線，A。'是△A'B'C

中NB'A'C'的角平分線，則有絲=更1=/￡=左=灼］（左為相似比）.

A'B'B'CA'CAD'

圖3

4.相似三角形周長的比等于相似比.

ARAC

如圖4,AABC與△A'3'C'相似，則有——=-^-=—^-=k（左為相似比）.應(yīng)用比

ABrB'C'AC

例的等比性質(zhì)有其=軍ACAB+BC+AC

A!BrB'C'AVAB+EC+AC'-

A

圖4

5.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

如圖5,AABC與△AEC相似，AH是"5。中6c邊上的高線，A"'是△A?C中

B'C邊上的高線，則有絲=空=<￡=左=也-（左為相似比）.進(jìn)而可得

ABrBrCACAHf

>△48。___2__________A"_k2

SAXBC1.BC.AHB'C'AH

2

四、相似三角形的判定

1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與

原三角形相似.

2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相

似.可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.

3.如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這

兩個三角形相似.

4.如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相

似.可簡單地說成：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

5.如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊

對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

6.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）

7.如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個

等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應(yīng)成比例，那么這兩個等腰三角形也相似.

五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式

證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”.

1.橫向定型法

欲證些=見，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是AB和3C,三個字母

BEBF

A,B,C恰為△ABC的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是班T和跳"三個字母8,E,P恰為

ABEF的三個頂點(diǎn).因此只需證AABCS/XEBF.

2.縱向定型法

欲證理="，縱向觀察，比例式左邊的比AB和3C中的三個字母A,2,C恰為

BCEF

AABC的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是DE1和EF中的三個字母￡>,E,尸恰為△DEF的

三個頂點(diǎn).因此只需證.

3.中間比法

由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時常會碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時可考慮運(yùn)用

等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形.這種方法就是

等量代換法.在證明比例式時，常用到中間比.

比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影

定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解.

倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1,另一邊化為幾個比值和的

形式，然后對比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之.

復(fù)合式的證明比較復(fù)雜.通常需要進(jìn)行等線代換（對線段進(jìn)行等量代換），等比代換，

等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明.

六、相似證明中常見輔助線的作法

在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時

再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論.常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代

換等.

如圖：平分N班C交于。，求證:—=—.

DCAC

證法一：過C作CE〃AD,交54的延長線于E.

：.Z1=ZE,Z2=Z3.

VZ1=Z2,AZ3=ZE./.AC=AE.

.BDBABA

AD//CE,.

.DCBE~AC

點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型.

E

證法二；過3作AC的平行線，交的延長線于E.

AZ1=Z2=ZE,AAB=BE.

.BDBEAB

BE//AC,.

'~DC~ACAC

點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型.

七、相似證明中的面積法

面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來解決問題.

常用的面積法基本模型如下：

<-BCAH”

我口圖：c=2-----=_

CD

SAACDCDAH

2

G—?BC,AH4q4c

如圖：S^ABC_2___A。

S/\BCD八「

△BCD_1?BC?DGDGOD

2

S/\ABD_S/\ABDS_ABAD_AB?AD

如圖：AAED

S4ACES/\AEDSAACE~~\E^C~AEAC

八、相似證明中的基本模型

g郴喇）

“A”字型

ADAEDE

1.圖①A字型DE//BC,結(jié)論:

AC~BC

AEADDE

2.圖②反A字型NADE二NB,結(jié)論:

AC-AB-BC

DFBG

3.圖③雙A字型DE〃BC,結(jié)論:

EF-GC

4.圖④內(nèi)含正方形A字形,結(jié)論七=黃（“為正方形邊長）

圖①圖②圖③圖④

例1.如圖，在中，D,￡分別是和/C上的點(diǎn)，旦DE〃BC,膽=旦，DE

BD2

=6,則6c的長為（）

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得些=坦，再根據(jù)旭=心_,龐=6,即可得出二

BCABBD2BC

③，進(jìn)而得到及7長.

5

【解答】黑：?：DE//BC,

:.^ADEsAABC,

.DE=AD

"BC而'

AD=3；龐=6,

BD2

?.?6_3,

BC5

：.BC=10,

故選：c.

根據(jù)平行線和公共角對應(yīng)角相等，導(dǎo)出三角形相似.

例2.如圖，D、E是AABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且A。AC=AE.AB,

求證：ZADE=ZB.

【答案】VADAC=AEAB

.ADAB

**AE-AC

'：ZDAE=ZBAC

ADAE^ABAC

：.ZADE=ZB

【解析】由邊乘積導(dǎo)出對應(yīng)邊成比例.

機(jī)4埠）

反A字型需要注意對應(yīng)邊和對應(yīng)角的識別.

rI--V---]1例3.如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E,Q分別在AB,AC,BC上，且DE/7BC,AQ交DE

【答案】證明：在4ABQ和4ADP中，

：DP〃BQ,

.'.△ADP^AABQ,

.DPAP

"''BQ~布

l.一,PEAP

同理在AACQ和AAPE中，一=—，

DPPE

'BQQC

【解析】可證明△ADPS/XABQ,AACQ^AADP,從而得出二=工

以上兩個題目為雙A字模型，注意相同比例的等量代換.

I--------1例4.如圖，在△被7中，28=47=10,8C=12,矩形龍F(tuán)G的頂點(diǎn)位于的邊上,

設(shè)EF=x,S四邊形座

(1)填空：自變量x的取值范圍是0<x<12

(2)求出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)請描述y隨x的變化而變化的情況.

【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；

(2)利用勾股定理和等腰三角形的三線合一求得飄AN,再利用得出比

例線段，利用x表示出可進(jìn)一步利用矩形的面積求的函數(shù)解析式；列表取值，描點(diǎn)畫

出圖象；

(3)根據(jù)以上三種表示方式回答問題即可.

【解答】解：(1)0<^<12；

故答案為：0<x<12；

(2)如圖，過點(diǎn)/作加U以于點(diǎn)兒交加于點(diǎn)瓶

*8—10,BC=\2,ANLBC,

,?BN=CN=6,AN=JAB2-BN2=&，

"：DG//BC,

:.NADG=/ABC,NAGQ/ACB,

:AADCSXABC,

AM_EF即8-MN二x

AN^BC，8=12,

:.MN=8-2x.

3

：.y=EF^MN=x(8-&)=-l^+8x=-2(x-6)2+24；

333

(3)當(dāng)0<x<6時，y隨x的增大而增大；

當(dāng)x=6時，y的值達(dá)到最大值24,

當(dāng)6Vx<12時，y隨x的增大而減小.

練習(xí)1.如圖，在一塊三角形區(qū)域48C中，ZC=60°,49是的高，灰：=10米，49=8

米.現(xiàn)要在這個三角形區(qū)域內(nèi)建造■個矩形水池EFHG,如圖的方案是點(diǎn)G,〃在BC邊上,

點(diǎn)￡在/8邊上，點(diǎn)尸在/C邊上.

(1)設(shè)EG=x,當(dāng)x取何值時，水池分粉的面積為15米z?

(2)該水池的面積能不能為25米,？

(3)實(shí)際施工時，發(fā)現(xiàn)在寬上距C點(diǎn)3米處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大

矩形水池的邊上？在或不在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)矩形的對邊平行可得"”6G然后求出△/瓦'和△/歐相似，再利用相

似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列式表示出EF,再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得

解；

(2)根據(jù)面積等于25列出方程，利用根的判別式判斷即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出面積最大時的x的值，再利用/C的正切值求出CH

的長度，然后與3米比較即可判斷.

【解答】解：(1);四邊形藥肱是矩形，

：.EF//BC,

:.叢AEFs叢ABC,

.AK=EF

"ADBC，

即殳￡=空，

810

解得斯=)式w

4

2

...水池跖％的面積=x?3比二x,J=-52+402,

44

2

當(dāng)面積為15米2時，&..+4。匕=15,

4

整理得，￥-8矛+12=0,

解得羽=2,至=6,

答：x=2米或6米時，水池用陽的面積為15米*

(2)假設(shè)水池的面積能為25米2,

2

則-5x+4Ox=25,

4

整理得，/-8x+20=0,

-4ac=(-8)2-4X1X20=64-80=-16<0,

二方程沒有實(shí)數(shù)解，

故水池的面積不能為25米M

2

(3):水池切正?的面積=-5三+40x_=-」(XL8X)=-至(x-4)?+20,

444

當(dāng)x=4時，水池的面積最大，

.O=x+tan60。=4

3

...大樹能位于最大矩形水池的邊GH上.

本題難度稍微大一點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，涉及到二次函數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生需要計算功底比較扎實(shí).

“8”字型

AOBOAB

1.圖①“8”字型AB〃CD,結(jié)論:

OD~CO~~CD

圖②“反8”字型NA=NC,結(jié)論：*=鬻=若、四點(diǎn)共圓

2.

AEDF

3.圖③“雙8”字型AB〃CD,結(jié)論:

BE~CF

4.圖④“A、8”字型AB〃CD〃EF,結(jié)論:---1---=--

ABCDEF

5.圖⑤，結(jié)論：EF=EG、^^AED?S^BEC=&ABE?S^CDE

圖①圖④

--------1例L如圖，口/為口中，￡是。的延長線上一點(diǎn),BE與AD交手點(diǎn)F.證明：AABF

S△儂.

【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等可得對邊平行可得45〃。，根據(jù)兩直線平

行，內(nèi)錯角相等得到//即=/￡,然后利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明.

【解答】證明：???四邊形/皿是平行四邊形，

：.ZA=ZC,AB//CD,

'：AB//CD,

:./ABF=/E,

在△/跖和△儂中，/A=/C,ZABF=ZE,

叢ABFs叢CEB.

練習(xí)1.如圖，AA8C中,AD,應(yīng)'是兩條中線，則心女：S4ABe=()

c

A.1：2B.2：3C.1：3D.1：4

【分析】在△/8C中，AD>應(yīng)是兩條中線，可得龐是△/比T的中位線，即可證得△功C

^/\ABC,然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案.

【解答】解：中，AD,龍是兩條中線，

，施是△/回的中位線，

：.DE//AB,DE^—AB,

2

:.AEDCs叢ABC,

?(~<(~>_/DE、2_1

??VEDC：J^ABC—I---)----?

AB4

故選：D.

■v」?fàn)?

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

0例2.如圖，在口力及蘇中，/4比'的平分線"分別與力。、交于點(diǎn)&F.

(1)求證：AB=AF；

【分析】(1)由在加灰力中，AD//BC,利用平行線的性質(zhì)，可求得/2=/3,又由哥'是

回的平分線，易證得N1=N3,利用等角對等邊的知識，即可證得26=46；

(2)易證得△/如△儂，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得膽的值.

【解答】解：（1）如圖，在F6切中，AD//BC.

.?.Z2=Z3,

:跖是//%的平分線，

.?.Z1=Z2,

/.Z1=Z3,

：.AB=AF-,

(2)'：ZAEF=Z.CEB,Z2=Z3,

:.叢AEFs叢CEB,

?：AF=AB=3,

.AE=AF=3_

,,ECBCT

AAE=3

練習(xí)1.如圖，在正方形切中，CE1DF于。點(diǎn),假設(shè)正方形的邊長1,CF=x.

（1）試求四邊形〃的面積；

（2）當(dāng)戶是優(yōu)的中點(diǎn)時，求四邊形/戊應(yīng)的面積的值.

【分析】（1）先得△頌必則SACBE=SADC產(chǎn)工,再由△儂求得以的，

2

貝US四邊形血）（如=1-S&CBE_SaDCE-Slxcop-

（2）當(dāng)戶是正的中點(diǎn)時，x=工，代入（1）中所求的表達(dá)式求得四邊形/必近的面積的

2

值.

【解答】解：（1）易知△儂必△，陰

得BE=CF=X,Ed=^,SACBE=SADCF4X.

又ACOFsXCBE,

所以SACBE：S/\COF=：FE=(1+x)：X,

23

得SACOF年S"E=袤M

x?_2-2X+2X2-X，

所以SADOE=1-22ACBE+AC0F~-x+

2(l+x2)~2(l+x2)

(2)當(dāng)尸是回的中點(diǎn)時，x9

x2

2-2Xy+2X受WL

此時SADOE=12

2(1+(y))

以上兩個題目是A字型和8字型的綜合題目，需要將兩種模型的特點(diǎn)結(jié)合使用，題目分析思

路相對比較復(fù)雜.

由例3.如圖，點(diǎn)￡在矩形/及/的邊/。上，魚4EBC=NECB.

(1)求證：AE—ED-,

(2)連接初交)于點(diǎn)尸，求△比F和△〃跖的面積之比.

【分析】(1)根據(jù)也證明Rt△/龐必RtZkDB即可.

(2)利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】(1)證明：?..四邊形/宛9是矩形，

：.AB=CD,NA=NCDE=90°,

'：2EBC=/ECB,

:.EB=EC,

(應(yīng)),

:.AE=ED.

(2)解：YBC=AD,AE=ED,

：.BC=2DE,

'：DE//BC,

:.叢DEFs^BCF,

S

ADEF_(DE)2=1_

^ABCFBC4

練習(xí)1.如圖，在四邊形/灰/中，Z5=90°,對角線47平分/掰〃Ad=AB-AD.

(1)求證：ACVCD-,

(2)若點(diǎn)￡是4?的中點(diǎn)，連接第//￡C=134°,求/題的度數(shù).

【分析】（1）只要證明△掰Cs4,。?？吹角?90°解決問題；

（2）首先證明NAN以力=67°,再利用相似三角形的性質(zhì)推出/片67°即可

解決問題；

【解答】（1）證明：

.AC=AD

,,ABAC，

：AC平分/物2,

：.ABAC=ZCAD,

:.XBACsMCAD,

：.ZB=Z.ACD=^°,

C.ACLCD.

(2)：N/C9=90°,AE=ED,

:.EC=EA=ED,

：.AD=ZECD,

.：/AEC=少/ECA\34°,

：.AECD=AD=^V,

■:XABCs^ACD,

：.ZACB=ZD=67°,

：.4BCD=67°+90°=157°.

練習(xí)2.如圖，直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB±BC,對角線ACLBD,垂足為E,AD=BD,過

點(diǎn)E作EF〃AB交AD于F,求證：(1)AF=BE；(2)AF2=AE?EC.

【答案】證明：(1)：EF〃AB,

,,.△DFE^ADAB.

.DFDE

"DA~DB

又：DA=DB,.\DF=DE.

.?.DA-DF=DB-DE,即AF=BE.

(2)VABXBC,

.'.△ABC為直角三角形.

又：AC_LBD,

/.△BCE^AABE.

?EB

——，即EB2=AE?EC.

,ECEB

又：AF=EB,AAF2=AE?EC.

【解析】（1）根據(jù)平行構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答；（2）因?yàn)锳BLBC,

所以4ABC為直角三角形，又因?yàn)锳CLBD,所以可知△BCEs^ABE,利用相似三角形的性質(zhì)

即可解答.

以上題目為在梯形當(dāng)中三角形相似問題的典型考查.

I一線三等角型

結(jié)論：出現(xiàn)兩個相似三角形

圖④

I----1例1.如圖，在RtA4回中，/BAC=9Q°,AB=AC=2,點(diǎn)，在8。所在的直線上運(yùn)動,

作/加/=45°（4D,￡按逆時針方向）.若點(diǎn)〃在線段比'上運(yùn)動，DE交AC于E.

①求證：△/劭s△旌'；

②當(dāng)龍是等腰三角形時，求46的長.

【分析】①由/兒如/曲。=135°,/ADB+/CDE=135°,得出NBAD=NCDE,推出△

ABD^^DCE-,

②分三種情況討論，（1）當(dāng)時，/ADE=4AED=45°時，得到/物￡=90°,點(diǎn)久

￡分別與6、。重合；（2）當(dāng)龐時，由①知△ASM/X,儂（3）當(dāng)/少=應(yīng)'時，有/

EAA/ADE=45°=/C,得到/力比三/2旗二?。。，于是得到應(yīng)'=/￡=[2。=1.

2

【解答】①證明：：/為C=90°,AB=AC,

；./6=/。=45°,

:./BA>NADB=135°,

：//龐=45°,

:"ADm/EDC=\33°,

:"BAD=/EDC,

:.△ABM△DCE；

②分三種情況：

(1)當(dāng)/，=/￡時，/ADE=/AED=45°時，

.../%￡=90°,點(diǎn)以￡分別與反。重合，

：.AE=AC=2；

(2)當(dāng)應(yīng)時，由①知△/劭6/\"為，

"：AD=DE,XAB噲&DCE,

:.AB=Cg2,

:.BACE=2V2-2,

C.AE^AC-CE=4-2V2；

(3)當(dāng)/￡=龐時，有/演6//龐=45°=/G

:.NADC=NAED=9Q°,

:.AE=DE=LAC=\.

2

練習(xí)1.一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同種

類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研

究和求解的方法叫做“分類討論”法，請你依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列

問題：

在RtZk/及:中，/物。=90°,26=47=2,點(diǎn)，在6c所在的直線上運(yùn)動，作//龐=45°

(/、D、￡按逆時針方向)，

(1)如圖1,若點(diǎn)，在線段回上運(yùn)動，DE交AC于E

①求證：△ABD^MDCE；

②當(dāng)△/龐是等腰三角形時，求/￡的長；

(2)如圖2,若點(diǎn)〃在歐的延長線上運(yùn)動，龍的反向延長線與/C延長線相交于點(diǎn)E',

是否存在點(diǎn)〃使得△力龍'是等腰三角形？若存在，求出切與/少的長；若不存在，

請簡要說明理由.

出△/劭s△比F.

②(i)當(dāng)時，/ADE=/AED=43°時，得到/物6=90°,點(diǎn)、D、￡分別與6、C

重合；

(ii)當(dāng)49=龐時，由①知△/劭s/\〃您

(iii)當(dāng)/￡=〃￡時，有/協(xié)2=//龐=45°=/G

故N4?C=N/旗=90°.三種情況討論.

(2)存在，可證D,得到切=/C=2,進(jìn)而得出/￡'的長.

【解答】解：(1)①由/9C=90°,AB=AC,推出/6=/C=45°.

由/物6//如=135°,/ADB+/EDC=\35°得到/物片N碩C.

推出△/應(yīng)s

②分三種情況：

(i)當(dāng)/〃=/￡時，2ADE=/AED=蜴。時，得到/物￡=90°,點(diǎn)小￡分別與反C

重合，所以/￡=4-2.

(ii)當(dāng)49=龐時，由①知△/Ms△腔

又,：AADE,知△/及匕

所以力6=。?=2,故初=〃=2?-2,

所以AE^AC-CE=4-2?.

(iii)當(dāng)/￡=〃￡時，有/功9=/4;應(yīng)=45°=ZC,

故/血心=//旗=90°.

所以/￡=龐=247=1.

2

故/￡的長為1；

(2)存在(只有一種情況).

由N/W=45°推出/。分/49C=45°.

由N4龐=45°推出/加3/應(yīng)'力=45°.

從而推出/4?C=/龐'A.證得D.

所以螞=_綽_,

CDDE'

又,：AgDE，,

：.CD=AC=2.

D,

.AD_AC

-AE，AD'

：.Ad=AOAE',

過點(diǎn)A做A/LLBC于點(diǎn)、H,

則/〃=?,DH=2+&,

貝ij4=〃+應(yīng)，

(V2)2+(2+V2)2=2AE',

：.AE'=4+272.

I____I例2.如圖，在△ABC和ACDE中，NB=/D=90°,C為線段BD上一點(diǎn)，且AC_LCE.AB=3,

DE=2,BC=6.求CD的長.

E

3b---------------------

【答案】解：???在AABC中，ZB=90°,

ZA+ZACB=90°.

VACXCE,AZACB+ZECD=90°.

ZA=ZECD.

V4AABCflACDEZA=ZECD,ZB=ZD=90°,

ABBC

：.AABC^ACDE,—=—.

CDDE

VAB=3,DE=2,BC=6,ACD=1.

【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得NA+NACB,ZACB+ZECD,再根據(jù)余角的性質(zhì)，可得

4DBC

NA=NECD根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得丁=下，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可得出答

CDDE

案.

練習(xí)1.如圖，在Rt△/回中，NC=90°,46=50,47=30,D,E,尸分別是47,AB,BC

的中點(diǎn).點(diǎn)?從點(diǎn)，出發(fā)沿折線龍-斯-凡-繆以每秒7個單位長的速度勻速運(yùn)動；點(diǎn)

。從點(diǎn)8出發(fā)沿歷1方向以每秒4個單位長的速度勻速運(yùn)動，過點(diǎn)0作射線反交折

線BC-CA于點(diǎn)、G.點(diǎn)戶，0同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)戶繞行一周回到點(diǎn)2時停止運(yùn)動，點(diǎn)0也隨之

停止.設(shè)點(diǎn)R0運(yùn)動的時間是t秒(t>0).

<1)D,/兩點(diǎn)間的距離是25；

(2)射線/能否把四邊形的分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值；若不能，

說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到折線以-叱上，且點(diǎn)尸又恰好落在射線加上時，求t的值；

(4)連接加，當(dāng)陽〃46時，請直接寫出力的值.

【分析】(1)由中位線定理即可求出所的長；

(2)連接陽過點(diǎn)尸作施46于點(diǎn)〃由四邊形即為矩形，4把矩形CB即分為面

積相等的兩部分，根據(jù)△闞^△刎，對應(yīng)邊的比相等，就可以求得力的值；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2@W^W5時根據(jù)△戶*根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比

7

相等，可以求出右的值；

②當(dāng)點(diǎn)尸在叱上（5WtW7@）時，陽=所必'就可以得到；

7

（4）當(dāng)加〃46時四邊形/W是矩形，由此可以直接寫出t.

【解答】解：（1）RtZU8C中，ZC=90°,羽=50,

■:D,6是47,6c的中點(diǎn)，

所為△/及7的中位線，

:.DF=LB=25

2

故答案為:25.

（2）能.

如圖1,連接抄過點(diǎn)尸作也四于點(diǎn)〃

■:D,戶是/G8c的中點(diǎn)，

：.DE//BC,EF//AC,四邊形Gft如為矩形，

直過所的中點(diǎn)。時，即過矩形兩'的中點(diǎn)，直把矩形CW分為面積相等的兩部分

此時"=12.5.由跳'=20,叢HBFs叢CBA,得郎=16.

故-QH+HB_12.5+161

4―4一一百.

（3）①當(dāng)點(diǎn)戶在砂上（2反/力W5）時，

7

如圖2,QB=4t,DE+EP^lt,

由△PQEs^BCA,得）YU=25毋..

5030

/.t=4—；

41

②當(dāng)點(diǎn)尸在叱上（5WtW73O時，

7

如圖3,己知啰=4%，從而如=―嗎_=萼=5得

cosZBA

5

由件=7-35,班'=20,得5t=7-35+20.

解得t=7—；

2

(4)如圖4,t=12；如圖5,t=7理.

343

(注：判斷小〃可分為以下幾種情形：當(dāng)0＜tW22時，點(diǎn)戶下行，點(diǎn)G上行，可知

7

其中存在所〃居的時刻，

如圖4；此后，點(diǎn)G繼續(xù)上行到點(diǎn)尸時，力=4,而點(diǎn)戶卻在下行到點(diǎn)￡再沿0上行，發(fā)

現(xiàn)點(diǎn)戶在鰭上運(yùn)動時不存在陽〃26；5WtW7@當(dāng)時，點(diǎn)戶，G均在尸。上，也不存在陽

7

//AB-,由于點(diǎn)戶比點(diǎn)G先到達(dá)點(diǎn)。并繼續(xù)沿。下行，所以在70＜大＜8中存在PG//AB

7

的時刻，如圖5當(dāng)8WCW10時，點(diǎn)只G均在切上，不存在尸G〃相)

圖S

圖，

以上兩個題目為同一個題目的變形考察，學(xué)生注意熟練掌握.本模型是一線三等角的特殊模

型一一垂直型.

e母子型

圖①內(nèi)角分線型，結(jié)論：嚕=黑；圖②外角分線型，結(jié)論:ABBD

1.

ACDCAC~CD

2.圖③斜射影定理型，結(jié)論：AB2=BDBC,

3.圖④射影定理型，結(jié)論：（1）AC2=ADAB,

(2)CD2=ADBD,

(3)BC°=BD-BA

圖①圖②

ABAC

------1例1.閱讀理解:如圖，在AABC中,AD平分NBAC,求證：一二一

BDCD

小明在證明此題時，想通過證明三角形相似來解決，但發(fā)現(xiàn)圖中無相似三角形，于是過點(diǎn)B

48AC

作BE〃AC交AD的延長線于點(diǎn)E,構(gòu)造△ACDs^EBD,則一=一

BDCD

48AC

于是小明得出結(jié)論：在AABC中，AD平分NBAC,則一=一.

BDCD

請完成小明的證明過程.

D

BC

【答案】解：過點(diǎn)B作BE//AC交AD延長線于點(diǎn)E,

：BE〃AC,

/.ZDBE=ZC,ZE=ZCAD,

BD_BE

.'.△BDE^ACDA,

DC-AC)

又：AD是角平分線，ZE=ZDAC=ZBAD,

AB_AC

.\BE=AB,

BD—CD

【解析】先過點(diǎn)B作BE〃AC交AD延長線于點(diǎn)E,由于BE〃AC,利用平行線分線段成比例定

理的推論、平行線的性質(zhì)，可得△BDEs^CDA,ZE=ZDAC,再利用相似三角形的性質(zhì)可有

器=黃，而利用AD時角平分線又知/E=/DAC=NBAD,于是BE=AB,等量代換即可證.

練習(xí)1.如圖，〃是△/回的邊8c上一點(diǎn)，已知4?=4,AD=2,/DAC=/B,若的面

【分析】首先證明△4?！饕?,由相似三角形的性質(zhì)可得：△力3的面積：△48C的面

積為1：4,因?yàn)椤?比1的面積為勿，進(jìn)而求出△/切的面積.

【解答】解：物C=N6,

:.△ACMXBCA,

*6=4,AD^2,

切的面積：的面積為1：4,

:△/6C的面積為〃，

...△〃/的面積為工處

4

故答案為：-m.

4

題小結(jié))

注意畫輔助線構(gòu)造相似三角形，一般在利用角平分線構(gòu)造相似時，常會優(yōu)先考慮利用平行來

構(gòu)造.

例2.如圖，點(diǎn)C,2在線段上，Zk/O是等邊三角形，且//必=120。，求證：

(1)/\ACP^^PDB,

(2)CD=AC'BD.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/也?=/如。=/。少=60°,于是推出//次

=/PDB=\2G,等量代換得到/例根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)由相似三角形的性質(zhì)得到國?二值,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到戶。=如=①，等量

PDBD

代換得到￡0,即可得到結(jié)論.

CDBD

【解答】證明：(1)是等邊三角形，

APCD=ZPDC=ZCPD=60°,

:./ACP=NPDB=\2Q°,

VZAPB=120°,

：.ZAPC+ZBPD^60°,

'：ZCAP^ZAPC=60°

：.ZBPD^ACAP,

:.△ACP^APDB；

(2)由(1)得LACPSAPDB,

?.A?-C二-P-C-,

PDBD

是等邊三角形，

:.PC=PD=CD,

.ACCD

??--=-----，

CDBD

：.a}=AOBD.

練習(xí)1.如圖，在四邊形/氏/中，/6=90°,對角線/C平分/為〃Ad=AB'AD.

(1)求證：ACX.CD-,

(2)若點(diǎn)￡是4?的中點(diǎn)，連接區(qū)N/P134。，求/頗的度數(shù).

【分析】(1)只要證明△掰Cs4。。看到/8=/力切=90°解決問題；

(2)首先證明NQ/反力=67°,再利用相似三角形的性質(zhì)推出N//=/A67°即可

解決問題；

【解答】U)證明：［6=力也必

.AC=AD