福建省莆田某中學2025屆高三年級上冊返?？荚嚁?shù)學試卷（含答案解析）

福建省莆田第一中學2025屆高三上學期返校考試數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合U=R,/={x|x=2",〃wN},5=|x|x(x-2)>o|,貝()

A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{0,1,2}

2.函數(shù)/(x)=罷K，xe[-2,2]的大致圖象是()

3.已知/'（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在［0,+8）單調(diào)遞增，若/（膜）＜0,則x的取值范

圍是（）

A.（0,1）B.（1,10）C.。,+8）D.（10,+8）

4.南宋數(shù)學家楊輝《詳解九張算法》和《算法通變本末》中，提出垛積公式，所討論的高階

等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差

數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”?現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其

前7項分別1,7,15,27,45,71,107,則該數(shù)列的第8項為（）

A.161B.155C.141D.139

試卷第1頁，共4頁

2

5.已知a=log062,6=log20.6,c=0.6,則

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

6.下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小

木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球

在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格

子從左到右分別編號為0,1,2,3,4,5用X表示小球落入格子的號碼，則下面計算錯誤的是（

B-P(X=5)/

D.D(X)=：

C.

—1,x>0

7.已知函數(shù)/(x)=13，若加<〃，且/(加)=/(〃)，則〃一加的取值范圍是（）

—x+l,x<0

[2

?「3131>

A.ln2,In—I—B.ln2,ln-+-C.ln2D.

232t'323J

2023

8.已知函數(shù)/(x)=ln+X-1,則。)

i=l2024

2023

A.B.-2023C.-1012D.-2024

2

二、多選題

9.使得“a>b”成立的充分不必要條件可以是（）

A.a>b—1B.—<—C.-\[a>D.O.30-1<0.3i

ab

10.設函數(shù)/(x)=(x-l)2(x-4),則()

A.x=l是/'（x）的極小值點

B.〃2+x)+/(2-x)=-4

試卷第2頁，共4頁

C.不等式-4</（2x-l）<0的解集為｛x|l<x<2｝

D.當0<x<］時，/(sinx)>/(sin2x)

11.已知定義域為此的函數(shù)/(x)滿足：①若》<九則/(x)</(y)；②對一切正實數(shù)

,則「

C.Vx>y>0,恒有/+成立

D.存在正實數(shù)%,使得/(須)<0成立

填空題

2x,x<0

12.設函數(shù)/1）=1,則函數(shù)/（x）=/（無）+x的零點個數(shù)是______.

—,x>0

、X

13.已知一個底面半徑為力的圓錐，其側面展開圖為半圓，則該圓錐的體積為.

14.若實數(shù)滿足4x2+/+xy=l,則2x+y的最大值為.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛%｝,但｝中，4=4,b,=-2,｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)歹是

公比為2的等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列低｝的通項公式；

⑵求數(shù)列低｝的前”項和配

16.設函數(shù)/卜)=辦-1"在x=l處的切線垂直P軸.

⑴求函數(shù)/(》)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x>l,證明：f(x)<ex-,-x+l.

17.某公司采購部需要采購一箱電子元件，供貨商對該電子元件整箱出售，每箱10個.在采

試卷第3頁，共4頁

購時，隨機選擇一箱并從中隨機抽取3個逐個進行檢驗.若其中沒有次品，則直接購買該箱

電子元件；否則，不購買該箱電子元件.

⑴若某箱電子元件中恰有一個次品，求該箱電子元件能被直接購買的概率；

(2)若某箱電子元件中恰有兩個次品，記對隨機抽取的3個電子元件進行檢測的次數(shù)為X,

求X的分布列及期望.

18.如圖，四棱錐尸-/BCD中，力4，平面/8四，底面是邊長為2的菱形，

(1)證明：￡6//平面尸/。；

⑵求平面NFG與平面PBC夾角的余弦值；

(3)設直線尸C與平面4FG的交點為。，求PQ長度.

19.已知函數(shù)=(ox?+x+a(aeR)

a

(1)若。20,函數(shù)/(X)的極大值為丁求。的值；

(2)若對任意的aWO,/(x)V61n(x+l)在xe[0,+8)上恒成立，求實數(shù)6的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CCABCBDACDBD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】根據(jù)題意，分析A集合為大于等于0的偶數(shù)集，求解B集合，計算補集，再求交

集.

【詳解】集合U=R,因為集合4為大于等于0的偶數(shù)集，集合3={x|x<0或x>2},

所以％8={x|0VxV2},ZcQ3={0,2}.

故選：C.

【點睛】本題考查集合的補集和交集運算，屬于基礎題.

2.C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，/(1)>0,/(2)<0依次排除A,B,D,得到

答案.

【詳解】由于“-》)=手學?=-學■)，故函數(shù)為奇函數(shù)，排除D選項，

/(1)=等>0,故排除B選項，

2

/⑵=/cos2<0排除A選項，

故選：C.

3.A

【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)及其單調(diào)性可得1馱<0,解對數(shù)不等式即可求得結果.

【詳解】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知/(x)在R上單調(diào)遞增，且/'(0)=0；

因此不等式/(g)<0可化為/(口)</(0),

即lgx<0,解得0<x<l.

所以x的取值范圍是(0,1).

故選：A

4.B

【分析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)列的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可.

答案第1頁，共13頁

【詳解】令數(shù)列：1,7,15,27,45,71,107,…為數(shù)列｛%｝,于是%=107,

依題意，數(shù)列｛%+「%｝為：6,8/2,18,26,36,…，于是%-。6=36

數(shù)列｛(%+2-%)-(%-%)｝為：2,4,6,8,10,…是等差數(shù)列,(%-&)=12,

貝|/一%=(%—&)+12=36+12=48,因止匕g=%+48=107+48=155,

所以該數(shù)列的第8項為155.

故選：B

5.C

【詳解】C=0,62>0.

Z?=log20.6<0,J.Z7=log20.6>log20.5=-l,gpfee(-1,0),

所以c>6>a.

故選C.

6.B

【分析】分析可知X?利用獨立重復試驗的概率公式可判斷AB選項；利用二項

分布的期望和方差的公式可判斷CD選項.

【詳解】設4="向右下落”，則彳="向左下落"，*/）=尸（/）=5，

因為小球最后落入格子的號碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，

而小球下落的過程中共碰撞小木釘5次，所以X~臺3,；），

對于A：尸（X=0）=11—g]=],故A正確；

對于B：P（X=5）=gJ=：,故B錯誤；

對于C：E（X）=5x：=g,故C正確；

對于D：r>（X）=5x1^l-^=1,故D正確；

故選：B.

7.D

答案第2頁，共13頁

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，由/(加)=/(〃)可得"?=](e"-2),因此

9,4?4

n-m=-je'+??+j,構造函數(shù)g(x)=+尤+$xe(0,ln2]并利用導數(shù)求出其在定義域

內(nèi)的值域即可得〃-加的取值范圍.

【詳解】畫出函數(shù)/(x)的圖象，令〃")=〃")=/可得當"(0』時，滿足題意;

令解得x=ln2,由機〈”可知機e1—1,0,"e(0,ln2]；

因此由〃加)=/(〃)可得[加+l=e〃-1,即加二§(e〃—2)；

所以〃—m=〃_2)=_2e〃+〃+&,

3V733

令g(x)=一|e4

+XH----,Xe(0,ln2],

3

則g'(x)=-§e，+l,令g[x)=0,解得x=lna，

當x40,lng時，g'(x)>0,可知g(x)在(0,ln|上單調(diào)遞增，

當xe[ln，ln2時，g'(x)<0,可知g(x)在卜n|,ln2上單調(diào)遞減;

因此g(x)在X=ln；處取得極大值，也是最大值，因此

g(x)<gfln|'|=-l+ln|+g=ln-|個；

kJND乙D

24244

而g(0)=-§+0+]=]，g(ln2)=--+ln2+-=ln2；

又因為e?<(2拒『=2,,所以￡<2,可得ln/=g<ln2,

所以可得.<g(x)Wln：+J即”-俏的取值范圍是公,出不+金.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：一是會畫圖，會利用函數(shù)解析式畫出其圖象，尋求解題思路;

答案第3頁，共13頁

二是會構造函數(shù)，將兩函數(shù)值相等求自變量的差的取值范圍問題，轉(zhuǎn)化為求新構造函數(shù)的值

域，對新函數(shù)求導，判斷其單調(diào)性從而求得其值域.

8.A

【分析】先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當xe(0,1)時，/(l-x)+/(x)=-l,最后應用分組求和即可.

【詳解】當xe(0,l)時，l-xe(0,l),」-＜0,/(x)=ln—+X-1,

x-11-x

所以/(x)=ln---+l-x-l+ln—^+x-l=Inf-~~--^^＞1-1=-l,

x1-xIx1-x)

則幻焉”心卜盛卜”簫、

2023//1),(2023X2023

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是分析得了(I-x)+/(x)=-1,從而得解.

9.CD

【解析】因為判斷的是充分不必要條件，所以所選的條件可以推出。＞6,且。＞6無法推出

所選的條件，由此逐項判斷即可.

【詳解】A.因為。＞6-1不能推出，但可以推出〃＞6-1,所以。＞6-1是。＞b成立

的必要不充分條件，故不滿足；

B.因為不能推出(例如：。=-1,6=1),且。＞6也不能推出(例如：

abab

ci—1,Z?——1),

所以?。?是a＞b成立的既不充分也不必要條件，故不滿足；

ab

C.因為夜＞新即。＞620能推出a＞b，且a＞方不一定能推出及＞血(例如：a=l,b=-1),

所以。＞揚是a＞方成立的充分不必要條件，故滿足;

D.因為函數(shù)＞=03在尺上單調(diào)遞減，所以0.3力＜0.3"可以推出即。＞6+1,

所以0.3所1＜0.3"可以推出。＞b,且a＞b不一定能推出O.31＜0.3〃(例如：a=1,6=1),

所以0.3"一＜Of是a＞&成立的充分不必要條件，故滿足，

故選：CD.

【點睛】結論點睛：充分、必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

答案第4頁，共13頁

(i)若。是4的必要不充分條件，則g對應集合是。對應集合的真子集；

(2)若。是4的充分不必要條件，則。對應集合是g對應集合的真子集；

(3)若P是1的充分必要條件，則0對應集合與4對應集合相等；

(4)若。是4的既不充分也不必要條件，則。對應集合與4對應集合互不包含.

10.BD

【分析】對于A：求導，利用導數(shù)判斷;'(x)的單調(diào)性和極值；

對于B：根據(jù)解析式代入運算即可；對于C：取特值檢驗即可；

對于D：分析可得0<sin2x<sinx<l,結合/("的單調(diào)性分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為/(x)的定義域為R,

且=2(x-l)(x-4)+(x-l)*=3(x-l)(x-3),

當xe(l,3)時，f\x)<0;當或xe(3,+8)時，&)>。;

可知/'(尤)在(-叫1),(3,+向上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以x=l是函數(shù)/(X)的極大值點，故A錯誤；

對于選項B：因為/'(2+x)+/(2-無)=(x+l)2(尤-2)+(1-X)2(-X-2)=-4,故B正確；

對于選項C：對于不等式-4</(2x-l)<0,

因為?=即》=,為不等式一4<〃2xT)<0的解，但x=：e(l,2),

所以不等式-4</(2x-l)<0的解集不為{x[l<x<2},故C錯誤；

對于選項D：因為0<%<5，貝!]0<sinx<l,

J3.sinx-sin2x=sinx(l-sinx)>0,可得0<sit?x<sinx<],

因為函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以/(sinx)>/?!!%),故D正確；

故選：BD.

11.BCD

【分析】對于AB,由賦值法即可判斷；對于C,由基本不等式結合函數(shù)新定義即可判斷;

對于D,取x“=：(〃eN*,〃22),利用函數(shù)性質(zhì)得到〃匕)=/"⑴-?1)[

答案第5頁，共13頁

結合d=即可判斷

【詳解】對于A,在/‘叫")’)中，令x=>=1,可得/(1)=/(1),無法確定/(1)

的值，A錯;

對于B,令x=!，y=j,代入條件②中，取=17A=!，即Ji

24x+y1+13/-

24、

B對；

2(x+疔

對于C,當x>y>0時，2xy<12J_x+,,且當x<y時，/(x)</(y),則

x+yx+y2

C對;

2

2

對于D,=—(?GN*,W>2),由于_n-12

7x2n

n'?-i+尤”+1n

;72—1

/(%)：/(X"+J=/12x,iX“M]=/(匕)，從而/(x,T)J(x“)J(x用)成等差數(shù)列，即

21Xn-\+Xn+17

/(占),/卜2),…J(X“)…成等差數(shù)列,

即/(X,)=小)+("-D(/七)一/k))=/(121“OI力

而公差d=/1gj-/(l)<。，所以當〃充分大時，可使〃x“)<0,D對.

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：判斷D選項的關鍵在于得到〃七)=/⑴+(〃-1)]/[￡|-/(1)]以及

由此即可順利得解.

12.2

【分析】首先根據(jù)題意，將函數(shù)尸(x)=/(x)+x的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程〃x)=f解的

答案第6頁，共13頁

2x,x<0

個數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(、)=1的圖像和直線v=r交點的個數(shù)問題來解決，這樣

——>0

-x

比較直觀，容易理解.

'2\x<0

【詳解】解：在同一個坐標系中畫出函數(shù)/(%)=1的圖像和直線V=T,

——,x>0

2x,x<0

而函數(shù)尸(x)=/(x)+x的零點個數(shù)即為函數(shù)/(尤)=1的圖像和直線y=-x的交點

——,x>0

的個數(shù)，

故答案為：2

132癡兀

,3

【分析】根據(jù)條件，求圓錐的母線長和高，再利用圓錐的體積公式即可求出結果.

【詳解】設圓錐的母線長為/,則2亞兀=/兀，得/=2四，所以圓錐的高為人/=7=遍,

故圓錐的體積為V=—Sh=-7i(V2)2x&=2"式.

333

故答案為：亞.

3

【分析】利用基本不等式可求得盯通過配湊即可得出結果.

【詳解】由4%2+3?+砂=1可得4%2+y2+xy=1>4xy+xy=5xy,

答案第7頁，共13頁

可得切工不；

■,\27738

而(2x+y)=4x+y+4xy=1+3xy<1+—=—,

所以(2x+y『wg,^-^.<2x+y<^-;

當且僅當了=2x,也即x=10,y=?時，上式右邊等號成立；

105

此時2x+y的最大值為亞.

5

故答案為：巫.

5

15.⑴6“=2"-〃-3

“27n

(2)7；=2,,+1-----2

22

【分析】(1)先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式計算出數(shù)列｛%｝的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)

列的通項公式計算出數(shù)列｛4+b?]的通項公式，即可計算出數(shù)列｛b?｝的通項公式；

(2)根據(jù)數(shù)列也,｝的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公

式即可計算出前〃項和I.

【詳解】(1)由題意，可得。"=4+("l)xl="+3,

故a,,=〃+3,〃eN*,

??,數(shù)歹！J｛4+，｝是公比為2的等比數(shù)列，且為+4=4-2=2,

=2-2"-1=2",

bn=2"-an=2"-n-3,〃eN*.

(2)由題意及(1),可得”=2"-(〃+3),

則/=bl+b2+b3+---+bn

=(2'-4)+(22-5)+(23-6)+---+[2"-(w+3)]

=(2'+22+23+---+2")-[4+5+6+---+(n+3)]

2(1-2")(n+7)n?n27n

=------------=n2+1--------zn.

1-2222

16.(1)單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,1).

答案第8頁，共13頁

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)廣⑴=0得到。，再求導得到其單調(diào)區(qū)間；

(2)轉(zhuǎn)化為證明2》-欣--1<0,再設新函數(shù)為(x)=2x-lnx-4-1,多次求導得到其

單調(diào)性即可證明.

【詳解】(1)因為函數(shù)f(x)=QTnx在x=l處的切線垂直于y軸，所以尸(1)=0.

由/(x)=ax-In尤得,則/''(1)=a—；=0na=1,

貝IJ/(x)=x—hw,==

xx

當xe(0,l)時，r(x)<0,此時/(x)單調(diào)遞減;

當xe(l,+8)時,r(x)>0,此時/(x)單調(diào)遞增;

則/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(01).

(2)/(x)<eA-1-x+1,BP%-Inx<ex-1-x+1>

即2x-]nx-e^-1-1<0,設"(x)=2x-]nx-e''-1,

則〃(x)=2—1—e'T=2xre\一,g(x)=2x-xex'-1,

XX

則g'(x)=2-(尸+xei),

再設9(x)=xei,則"(x)=e，T(x+l),因為尤>1,貝(Id(x)>0恒成立，

則°(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增，則易知g'(x)=2-(e1+xei)在(1,+動上單調(diào)遞減，

則g'(x)<g'⑴=0，貝!|g(x)=2x-xe'T-1在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

則g(x)<g⑴=0，貝！I〃(力<0在(1,+8)恒成立，

貝lj<%(1)=0,gpf(x)<ex-1-x+1

7

17.(1)—；

v710

(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：若109

答案第9頁，共13頁

【分析】（1）依題意，利用古典概型的公式計算求解；

（2）利用概率的乘法計算每一個隨機變量取值的概率，再求數(shù)學期望.

【詳解】（1）設某箱電子元件有一個次品能被直接購買為事件4

r37

則尸⑷大方

（2）X可能取值為1,2,3,

則尸（門）=＞：；尸（2）木14，尸（皿）哈（/

故X的分布列是

_+3x^—

5454545

18.（1）證明見解析

⑵J

⑶g

【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出MEG//平面尸NO,再利用面面平行的性質(zhì)定

理即可得證

（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面/FG與平面尸8C法向量，利用向量夾角公式可

求解；

（3）設西=2?岳=（2&,0,22）,得至!!而=（2世2-2方,0,2/1）,根據(jù)向量而與方,與共

面，結合向量共面定理求出X,得到。坐標，再用兩點間距離公式結算即可.

【詳解】（1）證明：取線段48的中點M,連接ME、MG,

因為點E為線段CD的中點，所以MEUAD,

又平面尸4D,/Du平面尸4D,所以MEV/平面P/D,

因為AP/3中，點G為線段P8的中點，點M為線段的中點，

所以MG//P/,又平面尸4D,4Pu平面尸/。，

所以"G〃平面尸4D,又"￡口/6=屈，且MGu平面MEG,MEu平面MEG,

答案第10頁，共13頁

所以平面MEG//平面尸4D,又￡Gu平面MEG,

所以EG//平面.

(2)設平面/FG與平面P8c夾角為6,連接AD和/C交于點。，

過點O作直線。石垂直于平面/BCD,如圖，以O為坐標原點，以向量礪，而為X、八

z軸的正方向建立空間直角坐標系，

求得關鍵點坐標，A(y/3,0,0),C(-V3,0,0),5(0,1,0),D(01,0),P(/3,0,2),吟J」)

設平面AFG的法向量為4=(xl,yl,zt),AF=(-^-，―,1),NG=C^g,1；,

x

nx-AF=—\~2^+?i=0

,取々=（2,0,百）,

nxLAG

ncAG=-

設平面PBC的法向量為點=(%,%/2),數(shù)=(-/-1,0),而=(8-1,2),

―??_,?I

出J_BP%?BP=V3X-y+2Z=0一廠廠

則二一,即」一:99一9,?。?(1,-6,-6)，

n2±BC[%?BC=-y]3x2-y2=0

則cos。=1cos忌晨〉1=1,即平面AFG與平面PBC夾角的余弦值為3.

(3)設函=4?屈=(2例,0,22),

貝U0(2聞-73,0,22),故而=(2?-273,0,22),

依題意可得向量而與萬?，前共面，

所以存在實數(shù)機，“，使得(2信-26,0,2/1)=加(二^,[，1)+"(當(，1：,

m+n=4-4A

即，加=",解得2=1，則2（母嗎.且尸（后0,2）.

m+n=2A

答案第11頁，共13頁

19.(1)。=1；(2)b>\.

【分析】(1)先對函數(shù)求導，得到/''(切=-二(》-1乂依+1-0),分別討論a=0,a>0兩

種情況，根據(jù)導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，得出極值，根據(jù)題中條件，即可得出結果；

(2)令g(a)=e-"(無2+1)。+證/根據(jù)題中條件，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為

g(a)Wbln(%+1)對Va￡(-oo,0]恒成立,等價于疵一、(61n(x+1),對％w[0,+8)恒成立,先

討論6?0時，求得>61n(x+l),不滿足題意；再討論6>