2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)作業(yè)七十 隨機(jī)事件的概率與古典概型

七十隨機(jī)事件的概率與古典概型

（時(shí)間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實(shí)練】

1.（5分）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件4“向上的點(diǎn)數(shù)是

1或5”為事件民則（）

A.AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5

B/=B

C.AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3

D.AHB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5

【解析】選A.設(shè)4={1,3},5={1,5},則/門5={1}4口5={1,3,5},

所以力用表示向上的點(diǎn)數(shù)是1/U5表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或3或5.

2.（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體玩具.設(shè)

事件/為“向上一面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件5為“向上一面點(diǎn)數(shù)為6的約數(shù)”，則

PG+B）=（）

【解析】選D.由題意得，拋擲結(jié)果有6種等可能的結(jié)果，事件4即為向上一面的

點(diǎn)數(shù)為2或4或6,事件B即為向上一面的點(diǎn)數(shù)為1或2或3或6,事件A+B即為

向上一面的點(diǎn)數(shù)為1或2或3或4或6,所以P(A+B)^.

3.(5分X2022?新高考/卷)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)廁這2個(gè)

數(shù)互質(zhì)的概率為()

1112

A.—B—C.—D.—

6323

【解析】選D.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的

取法，若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種，故

所求概率

4.(5分X2024?廈門模擬)廈門山海健康步道云海線全長約23千米,起于東渡郵輪

廣場，終于觀音山沙灘，沿線串聯(lián)甕筲湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎

頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”市民甲計(jì)劃從

“八山三水這11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的景點(diǎn)中有“水”的

概率為()

A1-4-5_109

A-3B,9D-165

【解析】選c.11個(gè)景點(diǎn)隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，共有9種情況，選取景點(diǎn)中有

“水”的對立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3

個(gè)相鄰的，共有4種情況，則其概率尸則11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽,

則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率尸=1-11

5.(5分X多選題X2024?佛山模擬)甲、乙兩人參加某商場舉行的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)名

額不限，設(shè)事件力為“甲中獎(jiǎng)”，事件5為“乙中獎(jiǎng)”，事件。為“甲、乙中至少有一人

中獎(jiǎng)”，則（）

A.A與B為互斥事件

B.B與C為對立事件

C.AHB與仁為互斥事件

D.zna與c為對立事件

【解析】選CD.因?yàn)槭录椤凹字歇?jiǎng)”，事件5為“乙中獎(jiǎng)”，事件。為“甲、乙中

至少有一人中獎(jiǎng)”，

對于A中，事件4與B可能同時(shí)發(fā)生，所以A錯(cuò)誤；

對于B中,由事件C的對立事件為甲、乙都不中獎(jiǎng)，所以B錯(cuò)誤；

對于C中,由事件表示甲、乙都中獎(jiǎng)，事件。表示甲、乙都不中獎(jiǎng)，所以不可

能同時(shí)發(fā)生，所以4n3與。為互斥事件，所以C正確；

對于D中,由事件zna表示甲、乙都不中獎(jiǎng)，事件。表示甲、乙至少有一人中獎(jiǎng),

所以zna與c為對立事件，所以D正確.

6.（5分）（多選題X2024?長春模擬）有兩批種子，甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%,乙

批種子10粒，能發(fā)芽的占70%廁下列說法正確的有（）

A.從甲批種子中任取2粒，至少1粒能發(fā)芽的概率是If

B.從乙批種子中任取2粒，至多1粒能發(fā)芽的概率是得7

C.從甲、乙兩批中各任取1粒，至少1粒能發(fā)芽的概率是弓

D.如果將兩批種子混合后，隨機(jī)抽出1粒，能發(fā)芽的概率為fl

【解析】選ACD.甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%,乙批種子10粒，能發(fā)芽的占

70%,

則甲批有15X80%=12粒發(fā)芽，乙批有10'70%=7粒發(fā)芽.

C；34

A:從甲批種子任取2粒，至少1粒能發(fā)芽的概率為。=1-告郎,故A正確；

r乙33

C15

211

B:從乙批種子任取2粒，至多1粒能發(fā)芽的概率為尸=4+?4,故B錯(cuò)誤；

「乙「乙1D

^10^10

C:從甲、乙兩批種子中各取1粒，至少1粒能發(fā)芽的概率為P=1-:故C正

rrDU

^15^10

確；

c1

D:將兩批種子混合后，隨機(jī)抽取1粒能發(fā)芽的概率為，故D正確.

^25

7.（5分X2022?全國甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平

面的概率為.

【解析】根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有4=70種取法，

若這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面,有側(cè)面6個(gè)、對棱面6個(gè),一共有6+6=12種情況，

則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率尸噂屋.

口木.35

8.（5分）某城市2023年的空氣質(zhì)量狀況如表所示:

污染指數(shù)T3060100

111

概率

1063

污染指數(shù)T110130140

721

概率

301530

其中污染指數(shù)r＜50時(shí),空氣質(zhì)量狀況為優(yōu);50＜走100時(shí)，空氣質(zhì)量狀況為

良;100＜在150時(shí)，空氣質(zhì)量狀況為輕微污染.該城市2023年空氣質(zhì)量狀況達(dá)到良

或優(yōu)的概率為.

【解析】從題表中可以看出，空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率為右，空氣質(zhì)量為良的概率為%

所以空氣質(zhì)量狀況達(dá)到良或優(yōu)的概率為

1=1木為

9.（10分）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個(gè)營業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如表：

排隊(duì)人數(shù)012344人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：（1）至多2人排隊(duì)等候的概率;

⑵至少3人排隊(duì)等候的概率.

【解析】記“無人排隊(duì)等候”為事件4、人排隊(duì)等候”為事件民“2人排隊(duì)等候”為

事件。,“3人排隊(duì)等候”為事件Q,“4人排隊(duì)等候”為事件瓦“4人以上排隊(duì)等候”為

事件E則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.

⑴記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G3+5+C,所以尸(G)=P(/+5+O=

。⑷+。(5)+。?=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一:記“至少3人排隊(duì)等候”為事件4則H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)

=。(。)+。(￡)+尸(司=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二:記“至少3人排隊(duì)等候”為事件私則其對立事件為事件G,所以尸(功=1-

P(G尸0.44.

【能力提升練】

10.(5分)如果事件A,B互斥，記4后分別為事件A,B的對立事件，那么()

A.4U5是必然事件

BNUB是必然事件

C.Z與后一定互斥

D.Z與否一定不互斥

【解析】選B.如圖①所示HUB不是必然事件％UB是必然事件方與言不互斥;如

圖②所示MUB是必然事件4U月是必然事件力與耳互斥.

圖①圖②

11.（5分）（多選題X2024?長春模擬）設(shè){-2,-1,0,1,2,3},曲線+盯2=1廁下

列說法正確的為（）

A.曲線。表示雙曲線的概率為:

B.曲線。表示橢圓的概率為:

6

1

c.曲線。表示圓的概率為需

D.曲線C表示兩條直線的概率為:

【解析】選BD.對于A,當(dāng)mn<0時(shí)，曲線。表示雙曲線，

則當(dāng)m>Q,n<0時(shí)有C；C；=6種，當(dāng)m<0,n>0時(shí)有C；，C；=6種，

121

所以曲線C表示雙曲線的概率為萬寸^,故A不正確；

對于B,當(dāng)加>0,“>0,且m^n時(shí)，曲線C表示橢圓，所以有A；=6種，

曲線C表示橢圓的概率為品故B正確；

C6c6

對于C,當(dāng)m=n>0時(shí)，曲線C表示圓，有3種情況，

21

曲線C表示圓的概率為萬丁行,故C不正確；

CC12

對于D,當(dāng)加=0,”>0或加>0,片0時(shí)，曲線C表示兩條直線，

當(dāng)加=0,”>0時(shí)有3種情況，當(dāng)相>0,片0時(shí)有3種情況，共6種情況,

曲線C表示兩條直線的概率為品故D正確.

C6c6

12.（5分）（2024?廈門模擬）17世紀(jì)中葉，人們認(rèn)為同時(shí)擲兩枚骰子時(shí),若不給兩枚骰

子標(biāo)記號,兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和為6或7的可能結(jié)果數(shù)相同,則出現(xiàn)的概率就應(yīng)該

相同.然而有人發(fā)現(xiàn)，多次的試驗(yàn)結(jié)果和人們的預(yù)想不一致,這個(gè)問題最終被伽利

略解決.則（）

A.當(dāng)不給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的結(jié)果有5種

B.當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的結(jié)果有3種

C.當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為上

D.當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的概率比出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率更大

【解析】選C.對A,當(dāng)不給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的結(jié)果有（1,5）,

（2,4）,（3,3）共三種情況故A錯(cuò)誤；

對B,當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的結(jié)果有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,

（5,2）,（6,1）共6種情況故B錯(cuò)誤；

對C,由B,出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的情況共6種，投擲兩枚骰子所有可能的情況有

6x6=36種，故出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為相，故C正確；

對D,當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號時(shí),出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的結(jié)果有（1,5）,（2,4）,⑶3）,（4,2）,

（5,1）共5種情況，故出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為《三,故D錯(cuò)誤

13.（10分）近年來，我國科技成果斐然，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已開通多年，北

斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和

3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成.現(xiàn)從地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地

球同步軌道衛(wèi)星中任選兩顆進(jìn)行信號分析.

(1)求恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆的概率；

(2)求至少選擇了一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的概率.

【解析】(1)記地球靜止軌道衛(wèi)星為1,2,3,記傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為a也c,則所

有的選擇為(1,2),(1,3),(1,*(1,6),(1,c),(2,3),(2,a),(2,6),(2,c),(3,a),(3,6),(3,c),

(a,b),(a,c),(b,c).

記恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆為事件4

93

則A包含(1,*(1,6),(1,c),(2,0,(2功,(2,c),(3,0,(3⑼,(3,c),所以尸⑷=^；

(2)記至少選