2024-2025學(xué)年滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 二次根式 單元測(cè)試卷（解析版）

二次根式

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：90分鐘；總分：100分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）

1.（23-24八年級(jí)上?上海楊浦?期中）的一個(gè)有理化因式是（）.

A.y/a-4bB.Ja+46C.&+D.y[a-2y/b.

【答案】A

【分析】根據(jù)有理化因式的定義即可解答；掌握兩個(gè)根式相乘的積為有理數(shù)成為解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:Ya-4bx4b=Q—4b,

7a-4b的一個(gè)有理化因式是Ja-4b.

故選A.

2.（23-24八年級(jí)上?上海松江?期中）若等式〃尹=（后『成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（z>0B.a>0C.a<QD.a<0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?等式77=（夜『成立，

tz>0,

故選：B.

3.（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知點(diǎn)仙，行）和點(diǎn)可-后6）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+6的值是

（）

A.V2+V3B.V2-V3C.-V2-V3D.一夜+百

【答案】C

【分析】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐

標(biāo)互為相反數(shù)，可得。、6的值，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解一?點(diǎn)4,0）和點(diǎn)網(wǎng)-百,6）關(guān)于x軸對(duì)稱,

a=—A/3，a=—y/2，

a+b=—y[2—y/3，

故選：C.

4.（23-24八年級(jí)上?上海徐匯?階段練習(xí)）若77m=*，則x的取值范圍是（）

A.x<0B.x>-4C.-4<x<0D.x<-4

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，利用了二次根式的性質(zhì).根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù),

二次根式的值是非負(fù)數(shù)，可得答案.

【詳解】解：：A/X3+4x2=-XyJx+4；

???x<0,x+4>0；

解得：-4<x<0；

故選：C.

5.（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?期中）在引入無(wú)理數(shù)的時(shí)候，我們把兩個(gè)邊長(zhǎng)都為1的正方形，剪拼成了

一個(gè)邊長(zhǎng)為力的正方形，類似的，若正方形/BCD的邊長(zhǎng)為2,/C長(zhǎng)為。，則下列說(shuō)法中正確的有（）

①“可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；

②3<a<4；

③a=2^2;

-a；

⑤。是有理數(shù).

【答案】B

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、二次根式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)的估算，根據(jù)題意得出/C=a=2后,

即可判斷③；由2行為無(wú)理數(shù)，可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示即可判斷①⑤；估算出2<3即可判斷

②，由二次根式的性質(zhì)即可判斷④，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；把兩個(gè)邊長(zhǎng)都為1的正方形，剪拼成了一個(gè)邊長(zhǎng)為血的正方形,

???邊長(zhǎng)為1的正方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為亞，

???類似的，若正方形/BCD的邊長(zhǎng)為2,/C長(zhǎng)為。，

:.AC=a=26,故③正確；

2行為無(wú)理數(shù)，可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，故①正確，⑤錯(cuò)誤；

???272=V8,V4<V8<V9,

.■.2<V8<3,即2<。<3,故②錯(cuò)誤;

■：a=272>Q,?2用=2后，

-a>故④正確；

綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè)，

故選：B.

6.（2023九年級(jí)?北京?專題練習(xí)）如果加+加一行=o,那么代數(shù)式（竺4+1）+”的值是（）

mm

A.V2B.2V2C.V2+1D.V2+2

【答案】A

【分析】先進(jìn)行分式化簡(jiǎn)，再把加2+根=正代入即可.

【詳解】解：(口宇+1)m+1

mm3

2加+1+加2m+1

~m2-m3~

(m+1)2m3

=----------?-------

m2m+1

,-m2+m-y/2=0,

二原式=/，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，共24分）

7.（23-24八年級(jí)上?上海奉賢?期中）斤斤=

【答案】3

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

由"=同即可作出求解.

【詳解】解：必7=/3|=3,

故答案為：3.

8.（22-23九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）若使代數(shù)式R有意義，貝口的取值范圍是.

【答案】x<2

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件以及一元一次不等式，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于零列出不等式即

可求解.

【詳解】解：由題意得：2-xZO

解得：x<2

故答案為：x<2.

9.（23-24八年級(jí)上?上海徐匯?期中）2遙+30的有理化因式是.

【答案】2庭-3亞/-3夜+2"

【分析】本題考查了有理數(shù)因式的定義，根據(jù)“如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含

有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式”，即可解答.

【詳解】解：???（26+3后）（2n-3夜）

=24—18

=6,

2逐+3收的有理化因式是2遙-38，

故答案為：2而-30.

10.（23-24八年級(jí)上?上海寶山?期中）若最簡(jiǎn)二次根式反兩與后意是同類二次根式，貝匹=.

【答案】1

【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.利用同類二

次根式的定義列出關(guān)于。的方程，解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?最簡(jiǎn)二次根式屈。與7^金是同類二次根式，

**?2Q+5=8—q,

??ci—\f

故答案為：1

11.(23-24九年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))如果〃+一6。+9=3成立,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍_______.

【答案】a43

a,a>0

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)而?。,。：。，即可求解.

-a,a<0

【詳解】解：〃—6〃+9=3變形得，［(a-3)2=3—q,

-3<0,

???tz<3,

故答案為：a<3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，理解并掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(23-24七年級(jí)下?上海?階段練習(xí))計(jì)算：2V3+1V3-(V3)3=.

【答案】一叵/二6

22

【分析】此題主要考查了二次根式的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再

計(jì)算二次根式的加減得出答案.

【詳解】解：2V3+1A/3-(V3)3

=2A/3+-V3-3V3

2

，技

2

故答案為：

13.(23-24八年級(jí)下?上海浦東新?階段練習(xí))如果代數(shù)式r與反的值相等，那么代數(shù)式—的值為_(kāi)____.

2-x

【答案】1

【分析】本題二次根式的有意義的條件、求代數(shù)式的值，先根據(jù)代數(shù)式-X與歷的值相等得出X=O,代入

計(jì)算即可得出答案，求出x=0是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?收有意義，

.?.3x20,43X>0,即XNO,

?.?代數(shù)式-x與岳的值相等，

-X>0,—X=-\/3x

解得：尤=0,

2+x2+0

---=-------=1,

2-x2-0

故答案為：1.

14.（23-24七年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）已知x+'=jm,那么苫-工=.

XX

【答案】+3

【分析】

直接利用完全平方公式得出—+與=11,進(jìn)而得出x-工的值.

XX

此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值以及完全平方公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?x+L=W,

1

M7++2=13,

x

：.x2+-^=ll,

X

故答案為：±3.

15.（23-24八年級(jí)下?江西南昌?階段練習(xí)）把（加-1），占中根號(hào)前的（加-1）移到根號(hào)內(nèi)得到的結(jié)果

是.

【答案】

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)及二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解,

熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

1

【詳解】解：由題意得:>0,

l-m

得：1-w>0,

故答案為：m-

16.（2024?上海徐匯?三模）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x2/-3xy+l=.

【答案】

【分析】本題考查因式分解，二次根式的乘法，熟練掌握公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)題

意，利用十字相乘因式分解.

【詳解】解：x2y2-3xy+l

17.（23-24七年級(jí)下?上海徐匯?期中）如圖，如果正方形8E尸G的面積為6,正方形/BCD的面積為正方形8EFG

的面積的2倍，則AGCE的面積是.

【答案】3拒-3/-3+3收

【分析】根據(jù)題意易得正方形/BCD的面積為12,則有BE=BG=a,BC=4ii=2C，然后可得

CE=2痘-瓜,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】解：由題意得：正方形/BCD的面積為12,

.■.BE=BG=46,BC=Jn=2y/3,

:.CE=2△-瓜

SAGCE=；CE.BG=；x（2道-旬x6=3亞-3；

故答案為3拒-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的應(yīng)用及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握正方形的面積公式及實(shí)數(shù)的運(yùn)算是

解題的關(guān)鍵.

18.（22-23八年級(jí)上?上海虹口?階段練習(xí)）已知。=J2。??'。?]則

x6一2V2021X5-x4+x3-2J2022/+2x-J2022的值為.

【答案]V2021

【分析】先對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，再依次代入所求的式子進(jìn)行運(yùn)算即可.

1

【詳解】解：…E由'

________J2022+J2021________

=72022+72021,

(J2022-J2021)(J2022+J2021)

???x6-2J202L?-x4+x3-2J2022/+2x-J2022

=(J2022-J2021卜$-x4+x3-2y/2022/+2x-72022

=(J2022-V2021VV2022+J2021卜*-x4+x3-2V2022%2+2x-J2022

=x4-x4+x3-25/2022/+2x-J2022

=x，-2J2022—+2x-V2022

=x2(x-2J2022)+2x-72022

=X2(J2021-J2022)+2x-J2022

=x(j2021+j2022)(j2021-j2022)+2x-J2022

——x+2x-J2022

=x-12O22

=V2021

故答案為：V202T

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是逐步把》=技正-屈i代入所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求

值.

三、解答題（本大題共7小題，共64分）

19.（23-24七年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）計(jì)算：+

【答案】3

【分析】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、二次根式的乘法、立方根的性質(zhì).先

根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)以及零指數(shù)累的性質(zhì)、二次根式的乘法、立方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再合并，即可求解.

【詳解】解：A/—64+V5xV20—f—j+（V2+1）

=-4+75x20-4+1

=-4+10-4+1

=3.

20.（23-24八年級(jí)上?上海青浦?期中）已知苫=3,/，

了=3+2行求"+xy+y2的值

【答案】35

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和整式的混合運(yùn)算，首先利用分母有理化求出x和y的值，然后求

出x+y=6,中=1,然后將/+孫+/利用完全平方公式變形為+然后代入求解即可.熟練掌

握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

?.13+20,,cr-13-20、。A

【詳解】?7-3_271一（3一2碼（3+2碼一'了一3+2五一（3+2后）（3一2碼一'

x+y=3+2V2+3—2V2=6,xy=（3+2A/^）（3-2-72j=1,

..x2+xy+y?

=x2+2xy+y2-xy

=（尤+＞）2-孫

=62-1

=35.

21.(23-24七年級(jí)下?上海?期中)已知實(shí)數(shù)。滿足|2006-a|+GW=a,求.-20062的值.

【答案】2007

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解法巧妙，先求出。的取值范圍然后去掉絕對(duì)值號(hào)是解題的

關(guān)鍵，也是本題的突破口.根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0可以求出。22007,然后去掉絕對(duì)值號(hào)整理，再兩邊平

方整理即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，a-2007>0,

解得a22007,

原式可化為：a-2006+Ja-2007=a,

即Ja-2007=2006,

兩邊平方得a-2007=20062，

???a-20062=2007.

故答案為2007.

22.(23-24七年級(jí)下?山東臨沂?期中)有兩個(gè)十分喜歡探究的同學(xué)小明和小芳，他們善于將所做的題目進(jìn)行

歸類，下面是他們的探究過(guò)程.

(1)解題與歸納：

①小明摘選了以下各題，請(qǐng)你幫他完成填空.萬(wàn)=—；疔=—；后=—；—；

J(-3)2=-------;J(-6)2=-------；

②歸納：對(duì)于任意數(shù)。，有"=;

③小芳摘選了以下各題，請(qǐng)你幫她完成填空.(")2=—；(V9)2=—；(后)2=—；(V36)2=—；

(V49)2=;(VO)2=;

④歸納：對(duì)于任意非負(fù)數(shù)。，有(Gy=

(2)應(yīng)用：根據(jù)他們歸納得出的結(jié)論，解答問(wèn)題.

數(shù)6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：行-正-向分-(E)-

-1a0b1

【答案】(1)①2,5,6,0,3,6；②⑷；③4,9,25,36,49,0；@a

⑵a-3b

【分析】本題考查了數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)的正確和靈活運(yùn)用；

(1)①根據(jù)要求直接計(jì)算即可；

②根據(jù)①的計(jì)算歸納即可；

③根據(jù)要求直接計(jì)算即可；

④根據(jù)③的計(jì)算歸納即可；

(2)先由數(shù)軸得，~0,b＞O,6＞。進(jìn)而可得6-。＞0,。-分＜0,根據(jù)(1)的公式直接代入計(jì)算即可;

【詳解】(1)①V?'=2；V?==6；A/O^=0；J(—3)2=|-3|=3；J(-6)2=I—6|=6,

故答案為：2,5,6,0,3,6；

②對(duì)于任意的數(shù)。，有77=同，

故答案為：

@(V4)2=4；(V9)2=9；(V25)2=25；(V36)2=36；(V49)2=49；(V0)2=0,

故答案為：4,9,25,36,49,0；

④對(duì)于任意非負(fù)數(shù)。，有(Os,

故答案為：a；

(2)由數(shù)軸得，Q〈0，6〉0，b＞a

:.b-a>0fa-b<0,

=問(wèn)一。|_卜一4_伍_(kāi)4)

——a—b+a—b—b

=a-3b

23.

驗(yàn)證

驗(yàn)證2

(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證.

(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用〃("為任意的自然數(shù)，且〃》2)表示的等式，并給出證明.

1JX

【答案】驗(yàn)證見(jiàn)解析

5V24

1)二號(hào)H船+1，驗(yàn)證見(jiàn)解析

〃+2

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì).此題是一個(gè)找規(guī)律的題目，觀察時(shí)，既要注意觀察等式的左右

兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式.

(1)通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過(guò)程利用了二次根式的性質(zhì)必=研。20),把根號(hào)內(nèi)的移到根號(hào)外;

驗(yàn)證：、1—1)

Vn〃+1n+2

+1)(〃+2)

1〃+1

〃+1n(n+2)

24.（23-24七年級(jí)下?上海嘉定?期中）閱讀下列解題過(guò)程:

11x（丁-〃）非-8RJ7

一（6+〃）（6一"廠心『；

1一"）屈-亞一區(qū)后

太+逐一（直+同（逐一逐廠（網(wǎng).6『7"■

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

⑴觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出式子：I\=（"22）.

（2）利用上面所提供的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：

11111

-----1--------1--------1--------1---1--------

V2+1V3+V2V4+V3V5+V4廂+付

（3）模仿上面所提供的解法，試一試化簡(jiǎn)：

111111

-----1------1-------1----------1----------1------

1+V5石+33+V13VT3+V17V17+V2TVH+5'

【答案】⑴J〃+l-6

⑵舊-1

（3）1

【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式的加減計(jì)算：

（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；

（2）根據(jù)（1）所求裂項(xiàng)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可;

,據(jù)此裂項(xiàng)求解即可.

（3）先分母有理化得到^_."+>"”3

【詳解】（1）解：//,

7n+7n+l

[y[n+++1-y/n^

n+\-n

=y/n+l~4n，

故答案為：4n+l-yjn;

11111

(2)解:---------1-------------1--------1--------1-----1-------------

V2+1V3+V2V4+73V5+V4而+囪

=yj?.—1+V3—V2+A/4--\/3H-----Fy/10—V9

=710-1;

(3)解：/，J/，，

74n-3+y/4n+1

_-4.+1—-4〃一3

(—4〃-3+—4幾+1)(—4〃+1-yj^n-3)

N4n+1--3

4〃+1—4〃+3

_j4v+l-j4v-3

=----------------，

4

]]]]]]

**1+V5V5+33+V13VB+V17Vn+V21V21+5

V5-13-V5V13-3V17-VBVH-V175-V21

=-----1------1-------1----------1----------1-------

444444

V5-13-V5V13-3V17-VBV21-V175-VH

=-----1-------1-------1----------1----------1-------

444444

5-1

一丁

=1.

25.(23-24八年級(jí)上?上海閔行?階段練習(xí))閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又