高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：解三角形大題 常考題型歸類（共10題型）（原卷版）

專題05解三角形大題

盛型大裳合

...

駁型大通關(guān)

一.正余弦定理解三角形

1.（2324高一下.重慶璧山.月考）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

sinB+sinC=2sinA,86=7a.

（1）求sin3的值；

⑵求sin（A-B）的值.

2.（2324高一下?江蘇揚州?月考）已知a力,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊,

-也cosB)=6(b-c)

⑴求角A；

（2）若41BC的面積為石，周長為6,求

3.（2324高一下?廣東湛江?開學(xué)考試）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

acosB+bcosA6+b~-c]

c2absinC

⑴求C;

(2)若6=3,c=JB,求AABC的面積.

4.(2324高一下.浙江金華?期中)在41SC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足^=ac,

sin(B-A)+sinC=2sinA.

⑴求證：sin3=tanA；

(2)求cos3的值.

5.(2324高一下.江西?月考)在AASC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為的面積為S,且

(1)證明：b=2c；

⑵若bcosA--c,求cosC.

4

二.三角形的中線應(yīng)用

1.(2324高一下?湖南常德?期中)在AABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c且

a~+c~-b~=?

(1)求角B的大??；

⑵若c-6=26cosA,。為AC的中點，BD=1,求

2.(2324高一下?江蘇南通?期中)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。,4。，且bsin，：。=asin「.

(1)求角A；

(2)若。為48的中點，且4CD=bAB,求cos/ACB.

3.(2223高一下?湖北黃岡?期中)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,點D是8c中

點.AD=\,(2a-c)cosB=bcosC.

⑴求B；

(2)再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求邊c.

條件①"RC的面積為3；條件②b=g.

2

4.(2324高一下?新疆烏魯木齊?月考)記AABC的內(nèi)角A民C的對邊分別為風(fēng)瓦c,滿足

2c+b—2acosB=0.

(1)求角A;

(2)若。為2C上一點，且AB=2,AC=1,ZBAD90°,求AC40的面積；

(3)若a=2退，BAAC=~,A￡)是AABC中線，求A￡)的長.

5.(2324高一下.湖北?月考)已知”,b,c分別為銳角三角形ABC三個內(nèi)角A8,C的對邊，且

cosB+石sinB=.

a

⑴求A；

(2)若a=g,。為BC的中點，求中線AD的取值范圍.

三.三角形的角平分線應(yīng)用

1.(2223高一下?安徽滁州?期末)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

tzsinA-Z?sinB-csinC-Z?sinC=O.

(1)求角A的大??；

⑵若AB=5,AC=3,是△ABC的角平分線，求AD的長.

2.(2324高一下?遼寧?期中)在44SC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且________,在①

2S=V3ACAB;②？=容/;③當(dāng)+*A,這三個條件中任選一個，補充在上面的

csinCsinesin8sinBsinC

橫線上，并解答下列問題：

(1)求角A的大??；

(2)若是"RC的角平分線，且6=2,c=3,求線段的長；

⑶若b-c=Ba,判斷AASC的形狀.

3

3.(2324高一下?江蘇揚州?期中)已知AABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,O,c,且

\/3sin^B+^=-cos^B+^.

(1)求—3的值；

(2)給出以下三個條件：①a2_〃+c2+3c=o；②a=6,b=\；@SAABC=^^.這三個條件中僅有兩個

正確，請選出這兩個正確的條件并回答下面的問題：

①求邊c的值；

②求/ABC的角平分線的長.

4.(2223高一下?湖北武漢?期中)已知AABC的內(nèi)角，A,B,C的對邊為a,b,c,且

3(a—b)3sinC—2sinB

csinA+sinB

(1)求cosA；

(2)若AASC的面積為2瓶,AD為內(nèi)角A的角平分線，交BC邊于點D,求線段AD長的最大值.

5.(2223高一下?云南?期末)在AABC中，角AB,C所對的邊分別為a,"c,且滿足.

(siriB+2sinC)AB.AC+sinB?BA-BC=0

⑴求角A；

(2)若。為BC的中點，且AD=右,AA4c的角平分線交3c于點E,且/￡=；,求邊長a.

四.三角形的高線應(yīng)用

1.(2324高一下?江蘇無錫?月考)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,"c,己知a=7,c=8.

4

(1)若sinC=,,求角A的大小；

(2)若b=5,求AC邊上的高.

2.(2324高一下.山西運城?月考)在AASC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

bsinB+csinC-asinA6.4八

-------------------------------+——sinA=0.

2csinB----3

⑴求A;

(2)已知。=25，。是邊8c的中點，且AE)工/W,求A。的長.

3.(2324高三上?廣東佛山?月考)已知A/IBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=yf2,c=2近,

。是BC上的中點，ADYAC.

(1)求/BAD的大??；

(2)E是A8上一點，DEJ.AB,求。E的長度.

c

4.(2324高一下?河南安陽?月考)在AABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且。=2csinAtan彳.

2

(1)求角。的大??；

YYI

(2)若6=2,a=3,C7/為42邊上的高，以為垂足，CH=mCB+nCA＜其中相，〃eR,求一的值.

n

5.（2324高一下?廣東廣州?月考）在“IBC中，角A,B,C的對邊分別是a,"c,且滿足

2b?cosB=c-cosA+a-cosC.

⑴求B；

(2)若〃=?,3。是AC邊上的高，求8。的最大值.

五.多三角形與四邊形解三角形

1.（2324高一下?廣東佛山?期中）四邊形ABCD中，AB//CD,記NACD=e,ADsinD=V3ACcosa,

ZBAC的角平分線與BC相交于點E,且AE=1,AB=6

⑴求cosa的大小;

⑵求BC的值.

2.（2324高一下?北京?期中）如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,

⑴求cosZABD；

(2)求BC的長.

3.（2324高一下?山東聊城?月考）如圖，在平面四邊形ABC。中，E為線段的中點，ZZMB=90°.

(1)若AD=AB=也ZABE=150°,ZC=30°,求AE-,

(2)若AD=A3=2,NC=45。，求AE的最大值.

4.（2324高一下.福建莆田?期中）記AASC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2Z?cosC=2a+c.

⑴求B；

（2）設(shè)b=9,若點/是邊AC上一點，2AM=MC,且=求。，c.

5.（2324高一下?湖北武漢?月考）如圖，AABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為已知

asinC+^acosC-73（&+c）=0,￡）為線段BC上一點，且麗=2反.

⑴求角A；

（2）若4。=退，求AABC面積的最大值;

⑶若cosB=,求tanNBAD.

3

六.角度或三角值的最值范圍

1.（2324高一下?貴州貴陽?月考）銳角AABC,角A,民C的對邊分別是a,6,c.已知2）sinA-a=0.

⑴求B；

⑵求sinA+cosC的取值范圍.

2.(2223高一下?河南南陽?月考)記AABC的內(nèi)角的對邊分別為"c,分別以。也c為直徑的三個

半圓的面積依次為匯邑,S3,已知H+S?-邑=5萬，C=-.

(1)求AABC的面積；

(2)求sinAsin8的最大值.

3.(2324高一下?河南周口?月考)在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

出(a1+b2-c2)=26csinA.

⑴求角C；

(2)求siYA+cos2B的取值范圍.

4.(2324?河北滄州?模擬預(yù)測)已知在中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

asinA—csinC=(a—￡>)sinB.

⑴求C；

⑵求sin?A+sin?8的最大值.

5.(2324高一下.福建福州?期中)AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、》、c,且

cos2B—cos2C=2sinA(sinC—sinA).

(1)若A:C=1:3,試判斷“IBC的形狀，并說明理由；

(2)若6=2,則ULBC的面積為G，求“，。的值；

(3)若AASC為銳角三角形，求sinA+sin8+sinC的取值范圍.

七.邊長或周長的最值范圍

1.(2324高一下?云南?月考)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

I.f,o

一ccosA=b——acosC.

2I2)

(1)求角C的大小；

⑵若c=3,求a-6的取值范圍.

2.(2324高一下?江蘇鹽城?月考)已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為瓦c,向量

m=(sinC,cosC),n=(2sinA-cosB,-sinB),且=_L五.

⑴求角c的值；

(2)若a=4,求6+c的取值范圍.

3.(2324高一下?福建廈門?月考)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量沆=(a,cosA),

n=(cosB,&-c),且慶?為=c-cosA,AABC外接圓面積為3兀.

⑴求A;

(2)求“RC周長的最大值.

4.(2324高一下?山西?月考)在AASC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

括bcosC=2asinB->/3ccosB.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若c>8,b=l,求AABC周長的取值范圍.

5.(2324高一下?遼寧?期中)在中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=2y[3,

(1)求角B的大小;

(2)若。＞0，求-ac+5c2的取值范圍.

八.面積的最值范圍

1.(2324高一下?吉林長春?期中)AASC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)2&sinA=atanB

⑴求B;

(2)若a+c=?,試判斷AABC的形狀；

(3)若c=4,求銳角AASC的面積的取值范圍.

2.(2324高一下?四川?期中)銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,仇c,已知(2a-c)cosB=6cosC.

⑴求角8的值；

⑵若6=2后求AASC面積的取值范圍.

3.(2324高一下?新疆烏魯木齊?月考)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知

2a—c

cosC=--------，點。在AC上，J!LAD=2DC,BD=2.

2b

⑴求角B；

(2)求AABC面積的最大值.

4.(2223高一下?福建泉州?期末)在平面四邊形ABC。中，點民。在直線AC的兩側(cè)，AB=3,BC=5,四

3

個內(nèi)角分別用A,8,。,。表不，cosB=-cosD=-.

⑴求/胡C；

⑵求△ABD與AACD的面積之和的最大值.

5.(2223高一下?安徽合肥?月考)已知融。為銳角三角形，角A民。所對的邊分別為。,4c,且

acosC=c(l+cosA).

(1)求￡的取值范圍；

a

(2)若6=2,求AABC面積的取值范圍.

九.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

1.(2324.全國.模擬預(yù)測)在JRC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且

?24.2八sin2Asin2B

sinAsmB=------------------.

4

⑴求c；

(2)若c=2,求AABC內(nèi)切圓半徑取值范圍.

2.(2324高一下.江蘇?專題練習(xí))已知AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

b+c=a(cosC+6sinC).

⑴求A

(2)若a=2,求AABC內(nèi)切圓周長的最大值.

3.(2324.全國?模擬預(yù)測)已知AABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,

43b-csmA=y/3acosC■

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a=7,AABC外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為,，求”的最小值.

4.（2223高一下?河南平頂山?期末）如圖所示，四邊形A3C。的外接圓為圓O.BC=2,AC=3,tanB=_20.

(1)求sin/ACB；

(2)若NCOD=NA8,求AD的長.

5.（2324高一下?湖北?月考）如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=?AD=2?,C為圓周上一動

點，ZBC￡>=1.

（1）求四邊形ABCD周長的最大值;

（2）若巖=；,求AC的長.

十.解三角形新定義問題

1.（2324高一下.安徽?月考）已知在任意一個三角形的三條邊上分別向外做出三個等邊三角形，則這三個

等邊三角形的中心也構(gòu)成一個等邊三角形;我們稱由這三個等邊三角形中心構(gòu)成的三角形為其外拿破侖三角

形.在銳角AABC中，角4B、C所對的邊分別為服b、。,且°=痣，以"LBC的邊3C、CA.分別向

外作的三個等邊三角形的中心分別記為4、4、G，且△48。的面積為石，記R為AABC的外接圓半

徑.

⑴若R=n，求麻.印;

⑵若Rwl布,求AABC面積的取值范圍.

2.(2324高一下?安徽安慶?月考)著名的費馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費馬(1601—1665)于1643年

提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”費

馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角

均小于120。時，則使得NAPB=N3PC=NCPA=120。的點P即為費馬點.在△ABC中，角A,B,C的對

邊分別為“,瓦。，且cos2=2ac°sA一當(dāng)若P是”WC的“費馬點"，a=25b〈c.

ctanC

(1)求角A；

⑵右尸4P8+P8-PC+PC-PA=-4，求AASC的周長；

(3)在(2)的條件下，設(shè)〃x)=4，-%2*+|西|+|而|+|先若當(dāng)xw[0,l]時,不等式/(元)20恒成立，

求實數(shù)機的取值范圍.

3.(2324高一下?山東?月考)克羅狄斯?托勒密(約90168年)是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)

家.他一生有很多發(fā)明和貢獻，其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等

式內(nèi)容如下：在凸四邊形A3c。中，兩組對邊乘積的和大于等于兩對角線的乘積，即

ADBC+ABCD>ACBD,當(dāng)A5CD四點共圓時等號成立.已知凸四邊形ABCD中，AB=AD=1.

(1)當(dāng)△BCD為等邊三角形時，求線段AC長度的最大值及取得最大值時△BCD的邊長;

⑵當(dāng)2sinVDBC+3sinVBDC=2sin/￡>BCsin/BCDsin/CDB+sin?/BCD時，求線段AC長度的最大值.

4.（2324高一下?山東濟寧?期中）在"1SC中，/A,NB,NC對應(yīng)的邊分別為。，b,c,

2sinAsinBsinC=\/3（sin2B-cos2C+cos2A）

⑴求A；

⑵若6=l,c=3,。為線段BC內(nèi)一點，且8D:OC=1:2,求線段AD的長；

（3）法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對于

任意的占,%，%，%eR,