福建省三明市五校2023-2024學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市五校2023-2024學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合或，，則集合中元素的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合或，可得，又由，可得，所以集合中元素的個數(shù)為.故選：B.2.已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，，由是的充分不必要條件，得集合真包含于集合，所以，即.故選：A.3.若命題“”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知：是上述原命題的否定形式，故其為真命題，則方程有實數(shù)根，即．故選：A．4.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖像是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)（其中）的圖象可得，所以，所以排除BC，因為，所以為增函數(shù)，所以排除A.故選：D.5.下列大小關(guān)系正確的是（）①②③④A.①② B.③④ C.②③ D.①③〖答案〗C〖解析〗對①，因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，①錯誤；對②，因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，又因為冪函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，②正確；對③，因為冪函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，③正確；對④，因為冪函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，④錯誤.故選：C.6.已知函數(shù)，當時，的最大值為最小值為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，設(shè)，，，則是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則有，所以.故選：B.7.已知函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知在單調(diào)遞減，所以由在單調(diào)遞減，得即由在上單調(diào)遞減，得即綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函數(shù)，顯然函數(shù)上單調(diào)遞增，而，則當時，，當時，，于是函數(shù)，則，令函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點，即函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標，當，恒有，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，如圖，直線過點，它與的圖象交于兩點，當時，，當，即時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，當，即時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以函數(shù)有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知集合,則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗故正確,錯誤；又故正確.故選：ABD.10.下列命題正確的是（）A.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B.已知，則C.若，則D.是的充要條件〖答案〗BC〖解析〗對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯誤；對于B，，因此，B正確；對于C，由，得，C正確；對于D，取，顯然滿足，而不成立，D錯誤.故選：BC.11.設(shè)是上的奇函數(shù)，且對都有，當時，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.的最大值是，最小值是C.直線是函數(shù)的一條對稱軸 D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗因為是上的奇函數(shù)，所以，又因為，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故C正確；因為即，從而，所以，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，又因為當時，單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增，又因為的周期為4，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；因為在上單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于直線對稱，所以在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為，最小值，故B錯誤；當時，，所以，因為周期為4，所以，又因為為奇函數(shù)，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，且，則（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最小值是 D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗已知，且，則，所以，當且僅當時，等號成立，A選項錯誤；，當且僅當時，等號成立，B選項正確；因為，所以，當且僅當時，等號成立，C選項正確；由題意可得，此時，因為，而不存在使得，則D選項錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_____________．〖答案〗〖解析〗在函數(shù)中，，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故〖答案〗為：.14.函數(shù)在時的值域是______________．〖答案〗〖解析〗當時，，函數(shù)，顯然當，即時，，當，即時，，所以所求值域是.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，當時，，則的解集為_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)為上的偶函數(shù)，當時，，當時，，，①當，即時，，由，時，符合題意；時，有，解得，此時；時，有，解得，此時；所以符合題意.②當，即時，，由，，得，解得，所以.綜上所得，的解集為.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗當時，，在上單調(diào)遞增，無最小值，舍去；當時，由于，故，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上存在最小值，則，解得，滿足；當時，在上單調(diào)遞增，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上存在最小值，則，解得，滿足；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知二次函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)，的值；（2）若，，解關(guān)于的不等式．解：（1）由不等式的解集是，得和是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，于是，解得，，所以，.（2），不等式化為，即，當，即時，解不等式，得或；當，即時，不等式的解為；當，即時，解不等式，得或，所以當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.19.已知偶函數(shù)定義域為，當時，．（1）求出函數(shù)的〖解析〗式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間[0,1)的單調(diào)性并用定義法證明.解：（1）偶函數(shù)定義域為，當時，，當時，，則，所以函數(shù)的〖解析〗式是.（2）當時，，在上是增函數(shù).任取，則，而，，且，則，因此，所以在上是增函數(shù).20.年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響，在黨和政府強有力的抗疫領(lǐng)導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失．某公司為了激勵業(yè)務(wù)員的積極性，對業(yè)績在萬到萬的業(yè)務(wù)員進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金單位：萬元隨著業(yè)績值單位：萬元的增加而增加，但不超過業(yè)績值的．（1）若某業(yè)務(wù)員的業(yè)績?yōu)槿f，核定可得萬元獎金，若公司用函數(shù)（為常數(shù)）作為獎勵函數(shù)模型，則業(yè)績?nèi)f元的業(yè)務(wù)員可以得到多少獎勵？（2）若采用函數(shù)，求的范圍．（參考數(shù)值：）解：（1）函數(shù)模型為常數(shù)，當時，，代入解得，即，當時，，當時，，所以業(yè)績?nèi)f元的業(yè)務(wù)員可以得到萬元獎勵．（2）函數(shù)模型，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，則，，由獎金不超過業(yè)績值的，得，于是對恒成立，令，顯然二次函數(shù)的圖象開口向上且，函數(shù)圖象的對稱軸，則只需，即，解得，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.21.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）對于函數(shù)，在定義域內(nèi)給定區(qū)間，如果存在，滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個“均值點”如函數(shù)是上的平均值函數(shù)，就是它的均值點．現(xiàn)在（1）的條件下，函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）是偶函數(shù)，在上恒成立，即，即，得，，.（2）因為，所以函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，所以存在，使，而，即存在，使得，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解；所以解得，或，∴，解得：.22.已知奇函數(shù)，且的圖象過點.（1）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解