廣東省2025屆高三“熵增杯”8月份階段適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2025屆高三“熵增杯”8月份階段適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，則，解不等式，即，解得或，因此或，則，所以的子集個(gè)數(shù)是2.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，因此，所以.故選：B.3.已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，，則，，由，得，所以.故選：C.4.若單位向量與向量垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，，所以.故選：B.5.瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過大量實(shí)驗(yàn)獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度變化的實(shí)測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度，為反應(yīng)活化能，為阿倫尼烏斯常數(shù)．對(duì)于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過程中與的值保持不變），經(jīng)計(jì)算，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知：，，則.故選：A.6.在中，和是方程的兩實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由和是方程的兩實(shí)數(shù)根，得，在中，.故選：D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由奇函數(shù)，得，由是偶函數(shù)，得，聯(lián)立解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：A.8.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當(dāng)最小時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因?yàn)樵?,π上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，于是是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，此時(shí)，而最小，當(dāng)且僅當(dāng)最大，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題列出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法一定正確的有（）A.若，則B.若，，，則C.在的展開式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，不能推出，即不一定有意義，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，，所以，B正確；對(duì)于C，，展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，因此展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為，C正確；對(duì)于D，，，而，因此，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于，，三點(diǎn)，部分圖象如圖所示，是直角三角形，.函數(shù)的圖象是由的圖象作如下變換得來：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?則（）A.B.的最小正周期為C.為偶函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗依題意，點(diǎn)，由，得，即，而，于是，又，解得，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，最小正周期為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為偶函數(shù)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD.11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上（在第一象限），點(diǎn)在上，以為直徑的圓過焦點(diǎn)，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，又，則，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為點(diǎn)，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過焦點(diǎn)，所以，且|AF|=|AM|，所以，又因?yàn)?，所以，即，，由焦半徑公式，故B正確；對(duì)于C，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，所以，令，設(shè)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯(cuò)誤：對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，，，，則，所以，即，所以當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，同理可得，即，所以，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的一條漸近線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，解?13.畫條直線，最多將圓的內(nèi)部分為______部分．〖答案〗〖解析〗1條直線將圓的內(nèi)部分成部分，2條直線將圓的內(nèi)部分成部分，3條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分，4條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分，由此可得條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分.14.若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為______．〖答案〗16〖解析〗．因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故其圖像如果關(guān)于直線對(duì)稱，只能有，即是偶函數(shù)．因此有和前的系數(shù)均為0，從而，．由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值16．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．解：（1）由，得，即，所以，由正弦定理可得，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以；?）設(shè)邊上的高為，在中，由正弦定理可得，所以，所以，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，，求二面角的正切值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，由，得，由，得，而平面，則平面，又平面，所以.（2）解：在菱形中，，由（1）知，則，，有，，，取的中點(diǎn)，連接，由，得，于是二面角的大小，而，則，即，解得，，，所以鈍二面角的正切值是.17.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之比為．記的軌跡為．（1）求的離心率；（2）過的上頂點(diǎn)的直線與相交于另一點(diǎn)，若的面積為，求的方程．解：（1）設(shè)，由題意可得，化簡可得，即，所以軌跡：的離心率.（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，由消去x得，且，設(shè)，則，解得，所以，即，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，則，所以，即，解得或，所以直線的方程為或，即或.18.已知數(shù)列的前三項(xiàng)均為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且．（?。┤簦?，證明：為等差數(shù)列；（ⅱ）若，為遞增等差數(shù)列，求的最小值．（1）解：由，,可得，解得，同理依次可得，，，，，，，歸納可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.下面證明該通項(xiàng)公式滿足題意.當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，都成立，滿足題意.故滿足題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（2）（?。┳C明：由（1）可知，，由，可得，，由數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，可知，則，，，由，，任意，，滿足，都有；故，由，可得為等差數(shù)列；（ⅱ）解：若，則，且數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，即數(shù)列遞增.所以當(dāng)時(shí)，，又為遞增等差數(shù)列，則，由可知，則任意，，即，使，并且，可得，即.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉檫f增等差數(shù)列，所以數(shù)列為遞增等差數(shù)列，且公差相等.由，則，則數(shù)列公差，即遞增等差數(shù)列數(shù)列的公差，故.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取到最小值.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，是等差數(shù)列，滿足題意.故的最小值為.19.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量和的分布列分別為：，，其中．定義的信息熵：，和的“距離”：．（1）若，求；（2）已知發(fā)報(bào)臺(tái)只發(fā)出信號(hào)和，接收臺(tái)只收到信號(hào)和．現(xiàn)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)的概率為，由于通信信號(hào)受到干擾，發(fā)出信號(hào)接收臺(tái)收到信號(hào)的概率為，發(fā)出信號(hào)接收臺(tái)收到信號(hào)的概率也為．（?。┤艚邮张_(tái)收到信號(hào)為，求發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出