廣東省部分高中2025屆新高三新起點(diǎn)聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分高中2025屆新高三新起點(diǎn)聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：D.2.若，則（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋瑒t，所以.故選：C.3.已知向量，，若，則m的值為（）A2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意知，，，則，解之可得，故選：D.4.已知，則（）A. B.0 C. D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B.5.如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)相等且為4，E為CD的中點(diǎn)，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，由E為CD的中點(diǎn)，得，，則是異面直線CM與AE所成的角或其補(bǔ)角，正方形中，，在中，，，，于是，所以異面直線CM與AE所成的角的余弦值為.故選：D.6.在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗C〖解析〗由題意.故選：C.7.已知函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樵谟星覂H有2個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，解得，所以．故選：A．8.若，，，則事件A與事件B的關(guān)系是（）A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B互為對(duì)立C.事件A與事件B相互獨(dú)立 D.事件A與事件B互斥又獨(dú)立〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A,D,∵，∴A與B能同時(shí)發(fā)生，不互斥，故A,D錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，又∵，，∴事件A與事件B不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,∵，∴，∴事件A與事件B相互獨(dú)立，故C正確，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，已知二面角的平面角大小為，垂足分別為，，若，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線與平面所成角的余弦值為B.點(diǎn)到平面的距離為C.平面與平面夾角的余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，過(guò)點(diǎn)作，使得，過(guò)點(diǎn)作，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，則，所以即為的二面角，則，同理可得，且四邊形為矩形，又因，且平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因，平面，則平面，所以為直線與平面所成的角，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，且，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，則平面，由A項(xiàng)知，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，所以B正確；對(duì)于C中，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由B知平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槠矫?，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為的二面角，又因?yàn)椋?，可得，所以，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，設(shè)三棱錐的外接球球心為，由，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，則平面，且平面，，因?yàn)槠矫?，則，又因?yàn)槠矫?，則平面，同理可得：平面，則四點(diǎn)共面，且，則，，所以，因?yàn)椋?，即外接球的半徑為，則外接球的表面積為：，所以D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的值域?yàn)锽.的對(duì)稱中心為，C.在上的單減區(qū)間為D.在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1〖答案〗AD〖解析〗，對(duì)A：由，則，故A正確；對(duì)B：令，，解得，，故的對(duì)稱中心為，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，，解得，，則在上的單減區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，，即，，則在上的極值點(diǎn)有一個(gè)，故D正確.

故選：AD.11.平面上到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知曲線是到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)2的點(diǎn)的軌跡，設(shè)是曲線上的點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的是（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 B.C. D.周長(zhǎng)的最小值為〖答案〗AC〖解析〗由題意，，則，即，即，將代入有成立，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，A正確；由，得，設(shè)，則，所以，則當(dāng)時(shí)，有最大值，所以，所以B錯(cuò)誤；由B可知，當(dāng)時(shí)，有最大值為，所以，所以C正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，周長(zhǎng)的最小值為，而此時(shí)，不能構(gòu)成三角形，即最小值不是，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由題，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.13.已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意，為定義在上的減函數(shù)，則各段為減函數(shù)，還要區(qū)間端點(diǎn)附近遞減，所以，解得，則.14.如圖1，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點(diǎn)M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗60π〖解析〗翻折前，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫?，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，同理可得，即為直線與平面所成的角，因?yàn)橹本€與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，所以，而，，所以，即，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槿忮F的體積，且為定值，所以要使三棱錐的體積取得最大值，則需取得最大值，設(shè)，，則，由勾股定理知，，，所以，，消去整理得，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值12，即取得最大值，此時(shí)點(diǎn)在線段上，且，所以，，兩兩垂直，所以三棱錐的外接球就是以，，為鄰邊構(gòu)成的長(zhǎng)方體的外接球，所以，所以外接球的半徑，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋蟪龅?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，令，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以.16.已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，已知，是和的等比中項(xiàng).（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，求證：.（1）解：由題意，，又是和的等比中項(xiàng)，得，又，解得，；（2）解：，設(shè)，則，將以上兩式相減得，；（3）證明：，，.結(jié)論得證.17.如圖，在三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均相等，，，.（1）證明；平面.（2）若二面角的正弦值.（1）證明：設(shè)D為的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)樵谌切沃?，，所以三角形是等邊三角形，而是的中點(diǎn)，故由三線合一可知，，因?yàn)椋侨切蔚闹形痪€，即，所以.因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?在中，，O為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，平面，所以平?（2）解：設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，可取.設(shè)平面的法向量為，則，可取.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面的一個(gè)法向量為.，，故二面角的正弦值為.18.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上.設(shè)直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線AP與BP的斜率之積為.（1）求的方程；（2）證明：直線的斜率存在，且直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：因?yàn)樘撦S長(zhǎng)為，所以，將的坐標(biāo)代入方程，得，解得，故的方程為.（2）證明：設(shè)，直線AP的斜率為，直線BP的斜率為．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立得，即，由，得，解得（舍去）或（舍去），所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入的方程得，則，由，可得，即，化簡(jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)點(diǎn)，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)19.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.在某局比賽雙方打成平后，甲先發(fā)球.（1）求再打2球該局比賽結(jié)束的概率；（2）兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束，求的數(shù)學(xué)期望；（3）若將規(guī)則改為“打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先連得兩分者獲勝”，求該局比賽甲獲勝的概率.解：（1）平后，設(shè)事件“第個(gè)球甲得分”，則“第個(gè)球乙得分”，設(shè)“再打兩球該局比賽結(jié)束”，則，所以.（2）的可能取