黑龍江省齊齊哈爾市多校2025屆高三第一次聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市多校2025屆高三第一次聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.31 D.32〖答案〗A〖解析〗由題得，所以，有是三個(gè)元素，所以真子集個(gè)數(shù)為.故選：A.2.已知，，則“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，則“，，所以，所以“，”是“”的充分條件；當(dāng)，可滿足，所以“，”是“”的不必要條件.故選：A3.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個(gè)小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.3.8小時(shí) B.4小時(shí) C.4.4小時(shí) D.5小時(shí)〖答案〗B〖解析〗由題意可知，即有，令，則有，解得，，故還需要4小時(shí)才能消除至最初的.故選：B.4.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域應(yīng)包含，則有，解得或，所以的取值范圍是.故選：D.5.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則有，解得，有，則在R上單調(diào)遞增.由，，則，所以，即.故選：C.6.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即有在上恒成立，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，即有；當(dāng)時(shí)，，由題意可得，當(dāng)，，當(dāng)，，則有當(dāng)，，當(dāng)，，分別解得，，即；綜上所述：.故選：D.7.設(shè)函數(shù),的零點(diǎn)分別為、,則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得是函數(shù)的圖象和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且，都是正實(shí)數(shù)，如圖所示：故有，故，，，，故選：B．8.已知，，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，且，因此，令，則；又；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立；此時(shí)的最小值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)與是相同的函數(shù)B.函數(shù)的最小值為6C.若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則D.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椤即鸢浮紸CD〖解析〗對于A，由題意可得，解得，所以的定義域?yàn)椋傻?，所以的定義域?yàn)?．又因?yàn)?，故函?shù)與是相同的函數(shù)，故A正確．對于B,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．由于方程無解，故等號不成立，故B錯(cuò)誤．對于C,若為定義域上為奇函數(shù)，故定義域需要滿足，則，否則，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，進(jìn)而可得定義域?yàn)?故，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故C正確，對于D，對于已知函數(shù)f2x+1的定義域?yàn)椋瑒t，故，則函數(shù)的定義域?yàn)?，D正確，故選：ACD．10.若，且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，且，所以，所以，即，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故C正確；當(dāng)時(shí)滿足題設(shè)條件，但不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B.點(diǎn)為曲線的對稱中心C.若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則的取值范圍是D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由，可得，若在上單調(diào)遞增，則對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，所以，所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可得，又，所以，令，又，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)為曲線的對稱中心，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率，化簡得，由條件可知該方程有三個(gè)實(shí)根，所以有三個(gè)實(shí)根，記，所以，令，解得或，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)檫^點(diǎn)可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項(xiàng)C正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，由，解得或，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因存在極值點(diǎn)，所以，得，令，所以，因?yàn)?，于是，又，所以化簡得：，因?yàn)?，所以，于是?所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12._________.〖答案〗〖解析〗．13.已知函數(shù)y=x稱為高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，則不等式的解集為______；當(dāng)時(shí)，的最大值為______.〖答案〗〖解析〗由，即，解得，又x表示不超過的最大整數(shù)，故；當(dāng)x∈0,1時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即當(dāng)時(shí)，的最大值為.14.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)時(shí)，，則，即，即有，即，則，令，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即的最小值為.四、解答題：本題共5小題、共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）若，求和；（2）若，求的取值范圍.解：（1）若，則，，則，；（2）由，則，當(dāng)時(shí)，即恒成立，即；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，由，則有或，分別解得，無解，故；綜上所述：.16.已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求，的值；（2）若，，且，求的最小值.解：（1）不等式的解集為，和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，解得；（2）由（1）知，于是有，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)且，即等號成立，故的最小值為17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，則當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由題意可得對任意的恒成立，即對任意恒成立，即對任意的恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，符合要求；當(dāng)時(shí)，令，解得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，則有，令，即，令，，則，即在上單調(diào)遞減，即，即當(dāng)時(shí)，恒成立，不符合要求；綜上所述，.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求的值，并證明：在上單調(diào)遞增；（2）求不等式的解集；（3）若在區(qū)間上的最小值為，求的值.（1）證明：是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，，，，，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；函數(shù)的定義域?yàn)?，在上任取，，且，函?shù)在上單調(diào)遞增，（2）由（1）可知，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由可得，，即，或，不等式的解集為或；（3），，．令，，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則（舍去）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，符合要求，綜上可知或．19.已知函數(shù).（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，則