湖南省長(zhǎng)沙市六校2025屆高三上學(xué)期八月開(kāi)學(xué)聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市六校2025屆高三上學(xué)期八月開(kāi)學(xué)聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C.D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，解得或，則或，而，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由得，所以，故選：B.3.已知，若，則等于（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，解?故選：A.4.已知，，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知圓錐的母線(xiàn)為，側(cè)面展開(kāi)所成扇形的圓心角為，則此圓錐體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，解得，圓錐的高為，則此圓錐體積為.故選：B.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)在上遞增，故需滿(mǎn)足，解得.7.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，若與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，由于與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，令，解得，取，則，故選：C.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.方程有解C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A(yíng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且滿(mǎn)足，取，得，則，取，得，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于CD，由知，所以是偶函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A(yíng)，B,因?yàn)?，所以，A正確，B錯(cuò)誤對(duì)于C,D由對(duì)稱(chēng)性有，所以，C錯(cuò)誤，D正確,,故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有一個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D.直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)〖答案〗BC〖解析〗選項(xiàng)A：則恒成立，故單調(diào)遞增，故不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B:又單調(diào)遞增，故有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C：故點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：令，即，令，則令，則當(dāng)則當(dāng)切線(xiàn)斜率為切點(diǎn)為則切線(xiàn)方程為：與不相等，當(dāng)時(shí)同樣切線(xiàn)方程不為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11.“臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線(xiàn)C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B.曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7C.若，P是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為D.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線(xiàn)，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上．稱(chēng)該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A，那么半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓：后，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A(yíng)，因?yàn)辄c(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則，，則，當(dāng)位于橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對(duì)于B，半圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離都是，半橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對(duì)于C，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在△PAB中，，由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以cos∠APB的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知：蒙日?qǐng)A的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓：中取兩條切線(xiàn)：和，它們交點(diǎn)為，該點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，半徑為此時(shí)蒙日?qǐng)A方程為：，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，所以雙曲線(xiàn)的離心率.13.函數(shù)與函數(shù)公切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_________.〖答案〗1或〖解析〗不妨設(shè)公切線(xiàn)與函數(shù)的切點(diǎn)為，與函數(shù)的切點(diǎn)為；易知，，因此公切線(xiàn)斜率為，因此，可得，即又易知，整理可得，即，即，解得或；因此可得斜率為或.14.已知三個(gè)正整數(shù)和為8，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，則的期望__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)這三個(gè)正整數(shù)分別為，則題意可得，所以隨機(jī)變量可能取值為1和2，用隔板法可求得：事件總情況為種，當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)1，有種；②三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)1，有種，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也分兩種情況：①三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)2，有種；②三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)2，有種，所以時(shí)，，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角的大??；（2）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線(xiàn)，且，，求的面積.解：（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以.（2）是的角平分線(xiàn)，，由可得因?yàn)?，，即有，，?16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面平面PBC；（2）若直線(xiàn)AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面AEF的距離．（1）證明：方法一：因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以．因?yàn)锳BCD為正方形，所以，又因?yàn)?，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍼AB，所以．因?yàn)椋珽為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC．方法二：因?yàn)榈酌鍭BCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍼AB，所以．因?yàn)?，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC，又因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC解法三：因?yàn)榈酌鍭BCD，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，設(shè)，則，所以，，，，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設(shè)為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則，因?yàn)?，所?所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因?yàn)榈酌鍭BCD，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，易知是平面PAB的法向量設(shè)，則，所以，，所以，即，得，所以，設(shè)為平面AEF的法向量，則，所以平面AEF的法向量，又因?yàn)?，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線(xiàn)AF與平面PAB所成的角，所以，解得，故F是BC中點(diǎn)．所以，，，的面積為，因?yàn)?，的面積為，設(shè)點(diǎn)P到平面AEF的距離為h，則有，解得，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量，所以，即，解得，所以，又因?yàn)?，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為．17.已知，是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)，且與橢圓相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)的斜率k的取值范圍；（2）若線(xiàn)段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）根據(jù)題意直線(xiàn)，的斜率均存在且不為0，直線(xiàn)，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)整理得，因此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．18.已知函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題可知.設(shè)，則.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，故成立；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，則單調(diào)遞增，故成立；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞減，則不成立.綜上，的取值范圍為.19.某企業(yè)的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立．當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）．（1）若，且每個(gè)元件正常工作的概率．①求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和期望；②在設(shè)備正常運(yùn)行的條件下，求所有元件都正常工作的概率．（2）請(qǐng)用表示，并探究：在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，能否通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高設(shè)備正常運(yùn)行的概率．解：（1）①因?yàn)?，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，②設(shè)“設(shè)備正常運(yùn)行”為事件“所有元件都正常工作”為事件則在設(shè)備正常運(yùn)行的條件下