2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程2

2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程明確學(xué)習(xí)目標(biāo)課標(biāo)要求1.了解由斜率公式推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式的過(guò)程.2.掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程.3.會(huì)利用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決有關(guān)的問(wèn)題．重點(diǎn)難點(diǎn)1掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程；2.會(huì)利用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決有關(guān)的問(wèn)題。知曉結(jié)構(gòu)體系

1夯實(shí)必備知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程的概念我們把方程y－y0＝k(x－x0)稱為過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，斜率為k的直線l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直線上一個(gè)定點(diǎn)(x0，y0)及該直線的斜率k確定，我們把它叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式，如圖所示．理解(1)點(diǎn)斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應(yīng)用此種形式．(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是y＝0.(3)當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程．此時(shí)可將方程寫(xiě)成x＝x0.特別地，y軸的方程是x＝0.3.兩種特殊的直線：傾斜角圖象特征斜率直線方程0°，即，即90°無(wú)意義，即不存在，即求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫(xiě)出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．

知識(shí)點(diǎn)2直線的斜截式方程1．截距：直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距．2．直線斜截式方程的概念方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，我們把方程y＝kx＋b叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式，如圖所示．3.理解(1)直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特殊情況，只能在直線斜率存在的前提下使用；由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距．(2)截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.4.斜截式的幾種特例表示過(guò)原點(diǎn)的直線，表示與軸平行的直線，表示軸求直線的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個(gè)參數(shù)，因此要確定直線方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件即可．6.根據(jù)直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直反思感悟若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2?k1k2＝－1.2提升學(xué)科能力題型一點(diǎn)斜式方程例1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的點(diǎn)斜式直線方程為.【答案】【分析】求出直線斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得答案.【詳解】?jī)A斜角為的直線的斜率為，又該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以其點(diǎn)斜式方程為故答案為：跟蹤訓(xùn)練11．已知，，則過(guò)的中點(diǎn)且傾斜角為，直線的點(diǎn)斜式方程是．【答案】【分析】求出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率后，根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，又斜率，所以直線的點(diǎn)斜式方程為．故答案為：2．已知過(guò)定點(diǎn)的直線m的一個(gè)方向向量是，則直線m的點(diǎn)斜式方程為.【答案】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的點(diǎn)斜式方程為.故答案為：3．寫(xiě)出滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為3；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接將點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率代入點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；（2）利用傾斜角計(jì)算出直線斜率，再代入點(diǎn)斜式方程即可；（3）利用傾斜角是可得直線斜率為，代入點(diǎn)斜式方程求出結(jié)果；【詳解】（1）由題意可知，將和斜率3直接代入直線點(diǎn)斜式方程可得，直線的點(diǎn)斜式方程為；（2）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點(diǎn)斜式方程即為（3）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點(diǎn)斜式方程即為題型二斜截式方程例2．已知直線l過(guò)點(diǎn)且方向向量為，則l在x軸上的截距為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件結(jié)合直線的點(diǎn)斜式即可求得直線的方程，再令，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線斜率，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，即，令，得，所以在x軸上的截距為.故選：A跟蹤訓(xùn)練21．已知直線l：，則（）A．直線l過(guò)點(diǎn)B．直線l的斜率為C．直線l的傾斜角為D．直線l在軸上的截距為1【答案】BC【分析】根據(jù)直線方程逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，將代入，可知不滿足方程，故A不正確；對(duì)于B，由，知直線l的斜率為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線l的傾斜角為α，則，可得，故C正確；對(duì)于D，由，令，可得直線l在軸上的截距為－1，故D不正確．故選：BC2．已知兩點(diǎn)、，則直線的斜截式方程是．【答案】【分析】直接利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為斜截式．【詳解】已知兩點(diǎn)、，故直線的斜率，則方程為：，整理得，轉(zhuǎn)化為直線的斜截式為．故答案為：．3．在中，BC邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線方程為，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）.(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求AC邊上的高所在的直線l的斜截式方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出A的坐標(biāo)，再求出AC所在直線方程和BC所在直線方程，最后聯(lián)立方程求出C的坐標(biāo)；（2）先求出直線l的斜率，再求出直線l的斜截式方程.【詳解】（1）由已知A是BC邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點(diǎn)，由，得，故，又因?yàn)?所以直線AB和直線AC的傾斜角互補(bǔ)，所以又所以AC所在直線方程為，BC所在直線方程為，由，得，所以點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)為，；（2）由（1）知AC所在直線方程為，所以直線l的斜率為，因?yàn)?，所以直線l所在的方程為，即，所以直線l的斜截式方程為.題型三直線的圖像辨析例3．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，,故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.故選：B跟蹤訓(xùn)練31．直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率的正負(fù)值與定點(diǎn)即可判斷結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋訟C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故B對(duì)；故選：B2．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯(cuò).當(dāng)時(shí)，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項(xiàng)滿足.故選：D3．方程表示的直線可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】分和兩種情況討論，即得答案.【詳解】由題意，排除.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，排除.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，排除，選.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查由直線方程識(shí)別圖象，考查分類討論，屬于基礎(chǔ)題.題型四直線點(diǎn)斜式方程的綜合例4．直線的方程為.(1)證明：直線恒經(jīng)過(guò)第一象限；(2)若直線一定經(jīng)過(guò)第二象限，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）可利用直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)進(jìn)行說(shuō)明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，只要直線的軸上的截距大于即可.【詳解】（1），即直線一定過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)在第一象限，于是直線一定經(jīng)過(guò)第一象限.（2）由于直線經(jīng)過(guò)第一象限的定點(diǎn)，只要該直線在軸上的截距大于即可，而經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)，則，解得跟蹤訓(xùn)練41．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線的斜截式方程為；與直線垂直的直線的點(diǎn)斜式方程為.【答案】【分析】根據(jù)平行直線的斜率關(guān)系，找到斜率，經(jīng)過(guò)點(diǎn)求出直線方程，改寫(xiě)成斜截式方程即可，根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系，求出斜率，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程，改寫(xiě)成點(diǎn)斜式方程即可.【詳解】設(shè)直線的斜率為，與直線平行的直線的斜率為，與直線垂直的直線斜率為.由得，由兩直線平行知.所以所求直線方程為，即；由兩直線垂直知，所以與直線垂直的直線的點(diǎn)斜式方程為.故答案為：;2．已知直線l的方程是.(1)求直線l的斜率和傾斜角；(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線l平行的直線的方程.【答案】(1)斜率為，傾斜角是60°(2)【分析】（1）由直線方程直接求出斜率，進(jìn)而得到傾斜角；（2）利用點(diǎn)斜式方程求出直線方程.【詳解】（1）已知直線l：，所以直線l的斜率，傾斜角是.（2）過(guò)點(diǎn)且與直線l平行的直線的斜率是，所求直線方程為：，即.3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.（1）求直線的解析式；（2）直線與x軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入直線中，解出，可得直線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求出的坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作交直線于E，利用求出，進(jìn)而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入直線中得：解得：直線的解析式為：（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為令得，點(diǎn)B的坐標(biāo)為令得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作交直線于E，，，，解得此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求直線的方程，考查相似三角形的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題．3質(zhì)量檢測(cè)評(píng)價(jià)一、單選題1．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知直線斜率為1，根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出直線方程化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線斜率為1，則，即．故選：B．2．直線過(guò)點(diǎn)，，則直線在軸上的截距是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】求出直線的方程，令可解.【詳解】由題可得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得，化簡(jiǎn)可得，令，則直線在軸上的截距為．故選：D．3．已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】直線在軸上的截距為，點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式方程得即.故選：B.4．，和圍成的三角形內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)有（

）個(gè).A．35 B．36 C．37 D．38【答案】C【分析】做出直線的圖像，依據(jù)圖像進(jìn)行求解.【詳解】顯然直線，上無(wú)整點(diǎn)，當(dāng)，，有1個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有1個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有3個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有3個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有4個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有5個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有5個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有6個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，，有7個(gè)點(diǎn)；得到37個(gè)整點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.5．直線不經(jīng)過(guò)的象限為（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)直線圖象即可判斷．【詳解】畫(huà)出直線方程得：故直線不過(guò)第三象限，故選：C

6．過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為由垂直關(guān)系可得垂線的斜率為，又垂線過(guò)點(diǎn)，垂線方程為故選：D二、多選題7．已知直線，，則它們的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由兩直線的解析式可得直線的斜率為a、縱截距為b，的斜率為，縱截距為a，再逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項(xiàng)B，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，可能成立；選項(xiàng)C，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立；選項(xiàng)D，由的圖象可知，，，由的圖象可知，，，不成立.故選：AB.8．若直線，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】找到斜率之間的關(guān)系,即可判斷平行與垂直.【詳解】設(shè)的斜率分別為，結(jié)合題意易得：，因?yàn)?，所以因?yàn)榍遥?故選：BD.9．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()A．y=x+5 B．y=x+5C．y= D．y=【答案】AC【分析】分兩種情況求解，過(guò)原點(diǎn)時(shí)和不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求.【詳解】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn),所以直線方程為y=;當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為=1，代入點(diǎn)，可得a=5，即y=x+5.故選:AC.三、填空題10．直線過(guò)點(diǎn)，若的斜率為2，則在軸上的截距為【答案】【分析】由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程，求出在軸上的截距即可.【詳解】由題意知：直線的方程為，即，所以在軸上的截距為.故答案為：.11．已知斜率為2的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程，直線斜率為且過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線方程為，代入題中已知即可得出答案.【詳解】已知直線斜率為2且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由直線點(diǎn)斜式方程得直線的方程為：，即.故答案為：.12．已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6，則值是.【答案】【分析】根據(jù)題意，分別求得直線在軸的截距，結(jié)合三角形的面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于直線，能與兩坐標(biāo)軸圍成三角形，則，令，得，所以直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，令，得，所以直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得.故答案為：四、解答題13．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)試判斷的形狀：(2)求邊上的高所在直線的方程.【答案】(1)直角三角形(2)【分析】（