2025年中考數(shù)學復習之圖形的對稱

2025年中考數(shù)學復習熱搜題速遞之圖形的對

選擇題（共10小題）

1.如圖，點P是/498內任意一點，OP=5cm,點M和點N分別是射線。4和射線上的動點，4PMN

周長的最小值是5c〃z,則NAOB的度數(shù)是（）

D.40°

2.如圖，等腰三角形48c的底邊BC長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線所分別交AC,48邊于E,

點M為線段E尸上一動點，則△CZJM周長的最小值為（）

C.10D.12

3.如圖，四邊形A8CD中，ZC=50°,ZB=ZD=90o,E、尸分別是BC、0c上的點，當△AEF的周

)

C.70°D.80°

4.如圖，點尸是NAOB內任意一點，且乙4。2=40°,點〃和點N分別是射線。4和射線03上的動點,

當△PMN周長取最小值時，則/MPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

5.如圖，在AABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是A。上一個動點，則下列線段的長

C.ADD.AC

6.如圖，在矩形488中，AB=5,AD=3,動點P滿足S△物B=矩形ABC。，則點尸到A、8兩點距離之

A.V29B.V34C.5V2D.V41

7.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

?卷c⑥Q

8.如圖，在2義2的方格紙中有一個以格點為頂點的△ABC,則與AABC成軸對稱且以格點為頂點三角形

共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

9.如圖，在RtZXABC中，90°,AC=6,BC=8,AD是/BAC的平分線.若P,Q分別是A。

和AC上的動點，則PC+尸。的最小值是（）

D

o/

1224

A.—B.4C.一D.5

55

10.如圖，ZVIBC中，ZBAC=90°，48=3,AC=4,點。是BC的中點，將△AB￡）沿A。翻折得到^

AED,連CE,則線段CE的長等于（

57

C.一D.

35

二.填空題（共5小題）

11.如圖，ZAOB=30°,點M、N分別在邊04、05上，且0M=l,ON=3,點尸、。分別在邊05、

0A上，則MP+PQ+QN的最小值是

12.如圖，矩形中，AB=3,BC=4,點E是8C邊上一點，連接AE,把沿AE折疊，使點8

落在點次處.當ACEB'為直角三角形時，8E的長為

13.如圖，正方形ABCD的邊長是16,點E在邊AB上，AE=3,點/是邊BC上不與點8,C重合的一

個動點，把△班尸沿EF折疊，點B落在B'處.若△C￡>3’恰為等腰三角形，則DB'的長

為

14.如圖是一張矩形紙片，點E在邊上，把△3CE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點尸

處，連接。立若點E,F,。在同一條直線上，AE=2,則。/=,BE=

15.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12,E是邊CD上一點,連接AE、折疊該紙片，使點A落在AE

上的G點，并使折痕經過點B,得到折痕BF,點、F在上，若DE=5,則GE的長

為.

AFD

三.解答題(共5小題)

16.如圖在平面直角坐標系中,△A8C各頂點的坐標分別為：A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)

(1)在圖中作B'C使B'C和△ABC關于x軸對稱;

(2)寫出點A',正，C'的坐標.

17.如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC,則△ABC的面積是；

(2)若點。與點C關于〉軸對稱，則點。的坐標為:

(3)已知P為x軸上一點，若AAB尸的面積為4,求點P的坐標.

18.(1)如圖1,在AB直線一側C、。兩點，在AB上找一點P,使C、D、尸三點組成的三角形的周長

最短，找出此點并說明理由.

(2)如圖2,在NAO8內部有一點P,是否在。4、OB上分別存在點E、F,使得E、F、P三點組成

的三角形的周長最短，找出E、尸兩點，并說明理由.

(3)如圖3,在NAOB內部有兩點〃、N,是否在OA、OB上分別存在點E、F,使得E、F、M、N,

四點組成的四邊形的周長最短，找出區(qū)廠兩點，并說明理由.

19.如圖，在△ABC中，ZABC=45°，點尸為邊BC上的一點，BC=3BP,且/E4B=15°，點C關于

直線B4的對稱點為。，連接2。，又△APC的PC邊上的高為A8

(1)求的大?。?/p>

(2)判斷直線8。，AH是否平行？并說明理由；

(3)證明：NBAP=/CAH.

A

20.矩形ABC。中，AB=8,AD=12.將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為OE.

Ap

(1)如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP,求法的值；

(2)如圖②，若E是的中點，"的延長線交于點凡求8尸的長.

2025年中考數(shù)學復習熱搜題速遞之圖形的對稱（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，點尸是內任意一點，OP=5c",點M和點N分別是射線。4和射線QB上的動點，LPMN

周長的最小值是5c〃z,則/A08的度數(shù)是（）

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】B

【分析】分別作點尸關于。4、。8的對稱點C、D,連接C￡）,分別交。4、QB于點/、N,連接OC、

OD、PM、PN、MN,由對稱的性質得出PM=DM,OP=OC,ZCOA^ZPOA；PN=CN,OP=OD,

ZDOB=ZPOB,得出忘/C。。，證出△OC。是等邊三角形，得出/COO=60°,即可得出結

果.

【解答】解：分別作點P關于。4、的對稱點C、D,連接CD,

分別交。4、于點M、N,連接。C、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

:點P關于OA的對稱點為D,關于OB的對稱點為C,

；.PM=DM,OP=OD,ZDOA^ZPOA；

,/點、P關于OB的對稱點為C,

:.PN=CN,。尸=OC,ZCOB=ZPOB,

1

:.OC=OP=OD,NAOB=RCOD,

???△PMN周長的最小值是5cm,

：.PM+PN+MN=5,

：.DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：.OC=OD=CD,

即△OCZ）是等邊二角形,

：.ZCOD^60°,

AZAOB=30°；

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱的性質、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握軸對稱的性質,

證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.

2.如圖，等腰三角形A8C的底邊8C長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,A8邊于E,

F點.若點。為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CAM周長的最小值為（）

C

A.6B.8C.10D.12

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【答案】C

【分析】連接A。，由于△ABC是等腰三角形，點。是8c邊的中點，故AOL8C,再根據(jù)三角形的面

積公式求出的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A,

故的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論.

【解答】解：連接

「△ABC是等腰三角形，點。是8C邊的中點，

：.AD±BC,

[1

：.S^ABC=^BC'AD=X4XAD=16,解得A￡>=8,

???EF是線段AC的垂直平分線，

點C關于直線EF的對稱點為點A,

.,.AD的長為CM+MD的最小值，

一11

：.^CDM的周長最短=CM+MO+CO=AZ)+^C=8+/4=8+2=10.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵.

3.如圖，四邊形ABC￡)中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、尸分別是BC、DC上的點，當△AEP的周

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】D

【分析】據(jù)要使aAEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC

和CD的對稱點A',A",即可得出/AA'E+ZA"=ZHAA'=50°,進而得出NAEF+/AFE=2

CZAA'E+ZA"),即可得出答案.

【解答】解：作A關于BC和C。的對稱點A',A",連接A'A",交BC于E,交C。于R則A'

A"即為△AEF的周長最小值.作。A延長線

VZC=50°,

：.ZDAB=130°,

：.ZHAA'=50°,

AZA4ZE+ZA"=ZHAA'=50°,

'：ZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",

：.ZEAA'+NA"AP=50°,

.?.Z￡AF=130°-50°=80°,

故選：D.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性

質和垂直平分線的性質等知識，根據(jù)已知得出E,尸的位置是解題關鍵.

4.如圖，點尸是/AOB內任意一點，且乙4。8=40。，點M和點N分別是射線。4和射線OB上的動點，

當△PMN周長取最小值時，則/MPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉與對稱.

【答案】B

【分析】分別作點P關于08的對稱點尸1、尸2,連尸1、尸2,交OA于交OB于N,的

周長=P1P2,然后得到等腰△OP1P2中，ZOPiP2+Z（?P2Pi=100o,即可得出

=ZOP1M+ZOP2N=100°.

【解答】解：分別作點P關于。4、OB的對稱點尸1、尸2,連接P1P2,交。4于交OB于N,則

OP1=OP=OP2,NOPiM=NMPO,NNPO=/NP2O,

根據(jù)軸對稱的性質，可得MP=P1M,PN=P2N,則

△PMN的周長的最小值=尸1尸2,

.?.NPIOP2=2NAOB=80°,

，等腰△OP1P2中，/OP1P2+/OP2Pl=100°,

/MPN=ZOPM+ZOPN^ZOP1M+ZOPiN=100°,

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確正確作出輔助線，得到等腰△0PP2中/。尸1尸2+/

。尸2Pl=100。是關鍵.凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數(shù)情況要作點關于

某直線的對稱點.

5.如圖，在△ABC中，AB^AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，尸是A。上一個動點，則下列線段的長

度等于BP+“最小值的是（）

B.CEC.ADD.AC

【考點】軸對稱-最短路線問題；等腰三角形的性質.

【答案】B

【分析】如圖連接尸C,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC^CE,推出P、C、

E共線時，P8+PE的值最小，最小值為CE的長度.

【解答】解：如圖連接PC,

：.AD1BC,

：.PB=PC,

:.PB+PE=PC+PE,

;PE+PCNCE,

：.P,C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，

故選：B.

【點評】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關

鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，在矩形A8CD中，AB=5,AD=3,動點P滿足S△用B=恭矩形ABCD,則點尸到A、8兩點距離之

A.V29B.V34C.5A/2D.V41

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】空間觀念；幾何直觀；模型思想.

【答案】D

【分析】首先由S△朋B=3矩形ABCD,得出動點尸在與43平行且與的距離是2的直線/上，作A關

于直線/的對稱點E,連接AE,連接BE,則8E的長就是所求的最短距離.然后在直角三角形ABE中，

由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值.

【解答】解：設AABP中A8邊上的高是/?.

..1

?S/\PAB—矩形ABCD,

11

：.-AB-h=^AB-AD,

23

2

.,./?=|A￡)=2,

動點尸在與AB平行且與AB的距離是2的直線/上，如圖，作A關于直線/的對稱點E,連接AE,

連接8E,則BE的長就是所求的最短距離.

在RtZkABE中，'：AB=5,AE=2+2=4,

：.BE=yjAB2+AE2=V52+42=V41,

即PA+PB的最小值為"I.

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質，勾股定理，兩點之間線段最

短的性質.得出動點P所在的位置是解題的關鍵.

7.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

B邀C⑥DC

【考點】軸對稱圖形.

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【解答】解：4是軸對稱圖形，故A符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故8不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故。不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點.確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合.

8.如圖，在2X2的方格紙中有一個以格點為頂點的△ABC,則與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形

共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點】軸對稱的性質.

【專題】網(wǎng)格型.

【答案】c

【分析】解答此題首先找到AABC的對稱軸，EH、GC、AD,8E等都可以是它的對稱軸，然后依據(jù)對

稱找出相應的三角形即可.

【解答】解：與AABC成軸對稱且以格點為頂點三角形有△ABG、△CDRAAEF、ADBH,叢BCG

共5個，

故選：C.

【點評】本題主要考查軸對稱的性質；找著對稱軸后畫圖是正確解答本題的關鍵.

9.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,是N8AC的平分線.若P,。分別是

和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

24

C.——D.5

5

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【答案】C

【分析】過點C作交A8于點交A。于點P,過點尸作PQLAC于點Q,由是/BAC

的平分線.得出尸這時尸C+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出A3,再運用

ABC=^AB-CM=^AC-BC,得出CM的值，即PC+P。的最小值.

【解答】解：如圖，過點C作交AB于點交于點P,過點P作PQLAC于點Q,

是N8AC的平分線.

:.PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

,.?AC=6,3C=8,NAC8=90°,

：.AB=ylAC2+BC2=V62+82=10.

:SAABC=^AB-CM=%C?BC,

AC-BC6x8_24

：.CM=

~~AB~萬L號'

即PC+PQ的最小值為二.

故選：C.

【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關鍵是找出滿足尸C+P。有最小值時點尸和。的位置.

10.如圖，△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,點。是BC的中點，將沿翻折得到^

AED,連CE,則線段CE的長等于（

557

A.2B.-c.-D.-

435

【考點】翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【答案】D

【分析】如圖連接8E交于O,作A”_LBC于”.首先證明垂直平分線段BE,ABCE是直角三

角形，求出8C、BE,在Rt^BCE中，利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖連接BE交4。于O,作AHJ_8c于H.

在RtzXABC中，VAC=4,AB=3,

；.BC=V32+42=5,

■:CD=DB,

：.ED=DC=DB=^

11

V—BC*AH=4*AB*AC,

22

12

：.AH=苦,

'：AE=AB,

.?.點A在BE的垂直平分線上.

,:DE=DB=DC,

...點。在BE的垂直平分線上，△BCE是直角三角形,

...A。垂直平分線段BE,

11

\'-AD-BO=^BD-AH,

22

12

???OB=

24

；?BE=2OB=W，

在RtABCE中，EC=VBC2-BE2=J52-（等產

解法二：連接BE,于點ROF是三角形中位線，求出。R可得結論.

【點評】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用

面積法求高，屬于中考?？碱}型.

二.填空題（共5小題）

11.如圖，ZAOB=30°,點M、N分別在邊。A、OB上,且OM=1,ON=3,點、P、。分別在邊。2、

OA上，則MP+PQ+QN的最小值是_國_.

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】作M關于08的對稱點AT,作N關于。4的對稱點N',連接N',即為MP+PQ+QN

的最小值.

【解答】解：作M關于02的對稱點,作N關于04的對稱點N',

連接"N',即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對稱的定義可知：NN'OQ=ZM'08=30°,ZONN'=60°,

：.^ONN'為等邊三角形，△OMM'為等邊三角形，

AZN'OM'=90°,

.?.在RtZWON'中，

M'N1=V32+I2=V10.

故答案為VTU.

【點評】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形

是解題的關鍵.

12.如圖，矩形ABC。中，42=3,BC=4,點E是2C邊上一點，連接AE,把沿AE折疊，使點B

3

落在點8'處.當△CEB'為直角三角形時，BE的長為/或3.

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】當△CEB'為直角三角形時，有兩種情況:

①當點夕落在矩形內部時，如答圖1所示.

連接AC,先利用勾股定理計算出AC=5,根據(jù)折疊的性質得NAB'E=/B=90。，而當△CEB'為直

角三角形時，只能得到NE3'C=90°,所以點A、B'、C共線，即N2沿AE折疊，使點B落在對角

線AC上的點8'處，則EB=EB，,AB=AB'=3,可計算出CB'=2,設8E=x,貝U￡8'=x,CE

=4-x,然后在Rt^CEB'中運用勾股定理可計算出x.

②當點2'落在4。邊上時，如答圖2所示.此時為正方形.

連接AC,

在RtZkABC中，AB=3,BC=4,

；.AC=V42+32=5,

沿AE折疊，使點8落在點8'處，

AZAB'E=/B=90°,

當△CEB為直角三角形時，只能得到/防'C=90°,

...點A、夕、C共線，即沿AE折疊，使點8落在對角線AC上的點距處,

:.EB=EB',AB=AB'=3,

：.CB'=5-3=2,

設貝W=x,CE=4-x,

在RtZIkCEB'中，

■:EB'2+CB'2=C￡2,

.'.X2+22=(4-x)2,解得x=,

：.BE=I；

②當點8,落在A。邊上時，如答圖2所示.

此時ABEB'為正方形，：.BE=AB=3.

3

綜上所述，BE的長為一或3.

2

3

故答案為：5或3.

【點評】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等.也考查了矩形的

性質以及勾股定理.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

13.如圖，正方形ABCD的邊長是16,點E在邊AB上，AE=3,點尸是邊8c上不與點8,C重合的一

個動點，把△EBP沿EF折疊，點8落在夕處.若△CO8'恰為等腰三角形，則。夕的長為16或

4V5_.

【考點】翻折變換(折疊問題).

【專題】壓軸題；分類討論.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據(jù)翻折的性質，可得配E的長，根據(jù)勾股定理，可得CE的長，根據(jù)等腰三角形的判定，

可得答案.

【解答】解：(z)當B'D=B'C時，

過8'點作GH〃AD,則/夕G￡=90°,

1

當B'C=B'。時，AG=Z)H=以C=8,

由AE=3,AB=16,得BE=13.

由翻折的性質，得B'E=BE=13.

：.EG=AG-AE=S-3=5,

：.B'G=<B'E2-EG2=V132-52=12,

：.B'H=GH-B'G=16-12=4,

：.DB'=yjB'H2+DH2=V42+82=4小

(?'z)當DB'=CD時，則。8'=16(易知點廠在BC上且不與點C、B重合).

(Hi)當CB'=C。時，貝iJC8=C8',由翻折的性質，得EB=EB',：.點、E、C在BB'的垂直平分

線上，；.EC垂直平分3次,由折疊，得跖也是線段的垂直平分線，.?.點/與點C重合，這與

已知“點尸是邊8c上不與點8,C重合的一個動點”不符，故此種情況不存在，應舍去.

綜上所述，DB'的長為16或4強.

故答案為：16或4班.

【點評】本題考查了翻折變換，利用了翻折的性質，勾股定理，等腰三角形的判定.

14.如圖是一張矩形紙片，點E在AB邊上，把△2CE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點尸

處，連接。E若點E,F,。在同一條直線上，AE=2,則DF=2,BE=建一1.

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據(jù)矩形的性質得到AO=8C,ZADC=ZB=ZDAE=90°,根據(jù)折疊的性質得到C5=8C,

ZCFE=ZB=90°,根據(jù)全等三角形的性質得至I]DF=AE=2；根據(jù)相似三角形的性質即可

得到結論.

【解答】解：：四邊形A3。是矩形，

：.AD=BC,ZADC=ZB=ZDAE=90°,

:把△BCE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點尸處,

.CF=BC,ZCFE=ZB=90°,EF=BE,

：.CF=AD.ZCFD=90°,

???ZADE+ZCDF=ZCDF+ZDCF=90°,

???ZADF=ZDCF,

：.AADE^AFCD(ASA),

：.DF=AE=2；

VZAFE=ZCFD=90°,

AZAFE=Z￡)AE=90°,

ZAEF=/DEA,

???AAEF^ADEA,

,AEDE

??—,

EFAE

.22+EF

??—,

EF2

.-.￡F=V5-1(負值舍去)，

：.BE=EF=V5~1,

方法二：'：AB//CD,

??SAACD=SADCE,

SAACD-SADCF=SADCE-SADCF,

??S/\ADF=S/\ECF,

由題意知，BC=CF,S^ACD=SMBC,S^ECF=SABCE,

SAACD-S^ADF=SAABC-SACEF=SAABC-SABCE,

:?SADCF=SAACE,

xDF?CF=%E?BC,

CF=BC,

：.DF=AE=2,

設BE=x,

'：AE//CD,

：.AAEF^ACDF,

.AEEF

9，CD~DF"

.2%

??=一,

2+x2

解得：x-V^-1（負值舍去），

：.BE=y/5-l.

故答案為：2,V5-1.

【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，矩

形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

15.如圖，正方形紙片的邊長為12,E是邊C。上一點，連接AE、折疊該紙片，使點A落在AE

49

上的G點，并使折痕經過點8,得到折痕點P在上，若DE=5,則GE的長為1.

-13

BC

【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱.

【答案】見試題解答內容

【分析】由折疊及軸對稱的性質可知，AABF冬AGBF,8尸垂直平分AG,先證△ABFgZk/ME,推出

AF的長，再利用勾股定理求出的長，最后在RtaAB尸中利用面積法可求出A8的長，可進一步求

出AG的長，GE的長.

【解答】解：；四邊形ABC。為正方形，

：.AB=AD=n,ZBAD=ZD=90°,

由折疊及軸對稱的性質可知，之△GBR垂直平分AG,

：.BF±AE,AH=GH,

：.ZBAH+ZABH^9Q0,

又：/物H+/BAH=90°,

ZABH=ZFAH,

：.AABF^/\DAE（ASA）,

：.AF^DE^5,

在尸中，

BF=<AB2+AF2=V122+52=13,

11

S叢ABF=^AB*AF=寺BF?AH,

：.12X5=13AHf

60

：

.AH=否'

120

：.AG=2AH=詈

VAE=BF=13,

12049

???GE=AE-AG=13-蜀=若,

49

故答案為：—.

AFD

【點評】本題考查了正方形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，面積法求線

段的長度等，解題關鍵是能夠靈活運用正方形的性質和軸對稱的性質.

三.解答題(共5小題)

16.如圖在平面直角坐標系中，△A8C各頂點的坐標分別為：A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)

(1)在圖中作B'C'使AA'B'C和△ABC關于x軸對稱;

【考點】坐標與圖形變化-對稱.

【專題】數(shù)形結合.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特征得到點A'的坐標為(4,0),點夕的坐標為(-1,

-4）,點C'的坐標為（-3,-1）,然后描點；

（2）由（1）可得到三個對應點的坐標.

【解答】解：（1）如圖，

（2）點A'的坐標為（4,0）,點8'的坐標為（-1,-4）,點C'的坐標為（-3,-1）.

【點評】本題考查了關坐標與圖形-對稱：關于x軸對稱：橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸

對稱：縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).

17.如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0,1）、B（2,0）、C（4,3）.

（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC,則△ABC的面積是4；

（2）若點。與點C關于y軸對稱,則點。的坐標為（-4,3）；

（3）已知P為無軸上一點，若AAB尸的面積為4,求點P的坐標.

【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標.

【專題】三角形；平移、旋轉與對稱.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）直接利用AABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案;

（2）利用關于y軸對稱點的性質得出答案；

(3)利用三角形面積求法得出符合題意的答案.

111

【解答】解：(1)如圖所示：ZVIBC的面積是：3X4-2X1X2-2X2X4-2X2X3=4；

故答案為：4；

(2)點。與點C關于y軸對稱，則點。的坐標為：(-4,3)；

故答案為：(-4,3)；

(3)?.?尸為x軸上一點，的面積為4,

：.BP=S,

二點尸的橫坐標為:2+8=10或2-8=-6,

故尸點坐標為：(10,0)或(-6,0).

>'A

_i_i_i_S~I~i~i~

【點評】此題主要考查了三角形面積求法以及關于y軸對稱點的性質，正確得出對應點位置是解題關鍵.

18.(1)如圖1,在AB直線一側C、。兩點，在AB上找一點P,使C、D、尸三點組成的三角形的周長

最短，找出此點并說明理由.

(2)如圖2,在NAOB內部有一點P,是否在。4、。8上分別存在點E、F,使得E、F、P三點組成

的三角形的周長最短，找出E、尸兩點，并說明理由.

(3)如圖3,在NA08內部有兩點M、N,是否在OA、08上分別存在點E、F,使得E、F、M、N,

四點組成的四邊形的周長最短，找出￡、尸兩點，并說明理由.

A

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)由于△PC。的周長=PC+CZ)+P￡),而CD是定值，故只需在直線AB上找一點P,使PC+PD

最小.如果設C關于直線4B的對稱點為C',使PC+PO最小就是使PC'+P。最小；

(2)作尸關于04、的對稱點C、D,連接C￡>角。4、0B于E、F.此時尸周長有最小值；

(3)如圖3,作M關于的對稱點C,關于的對稱點連接C。，交于E,于凡此時

使得E、F、M、N,四點組成的四邊形的周長最短.

【解答】解:(1)如圖1,作C關于直線A8的對稱點。，

連接C'。交4B于點P.

則點P就是所要求作的點.

理由：在A2上取不同于尸的點P',連接CP、DP',CP.

?..(7和C關于直線/對稱，

:.PC=PC',P'C=P'c,

而CP+DP<CP'+DP',

：.PC+DP<CP'+DP'

：.CD+CP+DP<CD+CP'+DP'

即△(7￡?尸周長小于△口)〃周長；

(2)如圖2,作P關于的對稱點C,關于OB的對稱點D,連接CD,交。4于E,。8于F,連接

PC,PD,則點E,尸就是所要求作的點，

理由：在。4,08上取不同于E,尸的點E’,F',連接CE'、E'P、PF'、DF',EF,

：C和P關于直線OA對稱，。和P關于直線0B對稱，

:.PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF',

PE+EF+PF^CE+EF+DF,PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F'+DF',

'：CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF',

：.PE+EF+PF<PE'+E'F'+PF'；

(3)如圖3,作M關于的對稱點C,作N關于。3的對稱點。，連接C。，交于E,0B于F,

則點￡,/就是所要求作的點.連接MC,ND.

理由：在。4,08上取不同于E,尸的點E',F',連接CE'、E'P,DF',

：C和M關于直線0A對稱，

：.ME=CE,CE'=ME',NF=DF,NF'=DF',

由(2)得知MN+ME+EF+NFVMN+ME'+E'F'+F'N.

【點評】此題主要考查了平面內最短路線問題求法以及垂直平分線的性質等知識，根據(jù)已知得出對稱點

的位置是解題關鍵.

19.如圖，在△ABC中，ZABC=45°,點尸為邊BC上的一點，BC=3BP,且/B48=15°，點C關于

直線的對稱點為。，連接又△APC的PC邊上的高為AH

(1)求N8尸。的大小；

(2)判斷直線A8是否平行？并說明理由；

(3)證明：ZBAP=ZCAH.

【考點】軸對稱的性質；平行線的判定與性質.

【專題】平移、旋轉與對稱.

【答案】見試題解答內容

【分析】⑴根據(jù)點C關于直線外的對稱點為D，即可得到之△ACP,進而得出

=60°,即可得到/8尸。=180°-120°=60°；

(2)先取PD中點E,連接BE,則△3EP為等邊三角形，△瓦汨為等腰三角形,進而得到NZ)BP=90°,

即B_D_L8C.再根據(jù)△APC的PC邊上的高為AH,可得A”_L8C,進而得出8O〃AH；

(3)過點A作2D、。尸的垂線，垂足分別為G、冗根據(jù)/G8A=NCBA=45°,可得點A在NGBC

的平分線上，進而得到點A在NGZ)尸的平分線上.再根據(jù)/G￡＞尸=150°,即可得到NC=/ADP=75°,

進而得到RtZkACH中，ZCAH=15°,即可得出N3AP=/CAM

【解答】解：(1),：ZPAB=i5°,NABC=45°,

/.ZAPC=150+45°=60°,

,/點C關于直線PA的對稱點為D,

：.PD=PC,AD=AC,

：.△A。尸經△ACP,

?.ZAPC=ZAPD=60°,

：.ZBPD^1SO°-120°=60°；

(2)直線8￡),AH平行.理由：

;BC=3BP,

11

：.BP=^PC=

如圖，取尸。中點E,連接BE,則43砂為等邊三角形，△5。片為等腰三角形,

：.ZBEP=60°,

1

；.NBDE=*/BEP=30。,

：.ZDBP=90°,BPBDLBC.

又???AAPC的PC邊上的高為AH,

：.AH.LBC,

J.BD//AH；

(3)如圖，過點A作8。、。尸的垂線，垂足分別為G、F.

VZAPC=ZAPD,即點A在N0PC的平分線上,

：.AH=AF.

VZCBD=90°,ZABC=45°,

：.ZGBA=ZCBA=45°,

即點A在NG8C的平分線上，

：.AG=AH,

：.AG=AF,

???點A在/GDP的平分線上.

又尸=30°,

：.ZGDP=150°,

1

ZAZ)P=^x150°=75°,

：.ZC=ZADP=75°,

，RtZ\AC”中，ZCAH=15°,

J.ZBAP^ZCAH.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定及軸對稱的性質的運用,

解題的關鍵是利用角平分線的性質與判定構造全等三角形，然后利用全等三角形的性質即可解決問題.

20.矩形A8C。中，AB=8,AD^12.將矩形折疊，使點A落在點尸處，折痕為。E.

Ap

(1)如圖①，若點尸恰好在邊BC上，連接AP,求法的值；

(2)如圖②，若E是A8的中點，"的延長線交于點孔求的長.

【考點】翻折變換(折疊問題)；矩形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】(1)|.

(2)3.

【分析】(1)如圖①中，取。E的中點連接證明利用相似三角形的性質求

解即可.

(2)如圖②中，過點尸作GH〃BC交AB于G,交CD于H.設EG=x,貝UBG=4-x.證明△EGPs

EGPGEP41

△PHD,推出一=—=—推出PG=2EG=3x,￡>8=AG=4+x,在RtAPHD中，由

PHDHPD123

PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)2=122,求出x,再證明△EGPS^EBR利用相似三角形的性

質求解即可.

【解答】解：(1)如圖①中，取。E的中點連接PM.

AD

E

?.?四邊形A8CO是矩形,

.?.ZBA￡)=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,

在中，?；EM=MD,

；?PM=EM=DM,

：.Z3=ZMPD,

???N1=N3+NMPD=2N3,

*.*/ADP=2/3,

：.Z1=ZADP,

'：AD//BC,

：.ZADP=NOPC,

：.Z\=ZDPC