人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題3.1 函數(shù)的概念及其表示-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（教師版）

第第頁(yè)專題3.1函數(shù)的概念及其表示-重難點(diǎn)題型精講1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個(gè)特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量x實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).4．區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：

(1)滿足不等式SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；

(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].

這里的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).5．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.6．抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復(fù)合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)锳，函數(shù)t=g(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镃，則當(dāng)CSKIPIF1<0A時(shí)，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型1對(duì)函數(shù)概念的理解】【方法點(diǎn)撥】定義法：對(duì)于給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷是否滿足函數(shù)的概念，即可判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).【例1】（2021秋?海安市校級(jí)月考）下列對(duì)應(yīng)中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函數(shù)的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【解題思路】利用函數(shù)的定義，判斷即可．【解答過程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，滿足函數(shù)的定義，（1）正確；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；當(dāng)x＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y＝±1，不滿足函數(shù)的定義，（2）不正確；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z，滿足函數(shù)的定義，（3）正確；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．當(dāng)x＝1時(shí)，y需等于0，而y∈N*中沒有0與之相對(duì)應(yīng)，（4）不正確．故選：B．【變式1-1】（2022春?興慶區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【解題思路】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一個(gè)元素和它對(duì)應(yīng)，進(jìn)而可以得到答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)圖形，對(duì)于①，其定義域?yàn)閧x|0≤x≤1}，不符合題意，對(duì)于②，符合題意，對(duì)于③，符合題意，對(duì)于④，集合M中有的元素在集合N中對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，不符合函數(shù)定義，故選：C．【變式1-2】（2021秋?賓縣校級(jí)月考）下列集合A、B及其對(duì)應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A，C，D，集合A中的任意一個(gè)元素，按照對(duì)應(yīng)法則f（x），在集合B中都有唯一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義，所以A，C，D正確，對(duì)于B，對(duì)于集合A中元素0在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤，故選：B．【變式1-3】（2021春?九龍坡區(qū)期末）設(shè)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義，舉反例，一一判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A，B均有函數(shù)值不在集合B內(nèi)；對(duì)于C，它是一對(duì)多，不是函數(shù)的圖象．故選：D．【題型2同一函數(shù)的判斷】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，分析兩函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可判斷兩函數(shù)是否是同一函數(shù)．【例2】（2022?民勤縣校級(jí)開學(xué)）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2?1x?1，D．y1=【解題思路】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．【解答過程】解：對(duì)于選項(xiàng)A，第一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，第二個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，第一個(gè)函數(shù)與第二個(gè)函數(shù)的定義域都為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C，第一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，第二個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，第一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閇1，+∞），第二個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭?，?]∪[1，+∞），故錯(cuò)誤；故選：B．【變式2-1】（2022?河?xùn)|區(qū)模擬）下列函數(shù)與f（x）＝x+1是同一個(gè)函數(shù)的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義判斷．【解答過程】解：f（x）＝x+1的定義域?yàn)镽，A．g(x)=3x3B．g(x)=x2x+1=x+1(x≠0)，故錯(cuò)誤；C．g(x)=x2+1=|x|+1，故錯(cuò)誤；D．g（x）＝elnx+1＝x+1【變式2-2】（2021秋?黑龍江期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【解題思路】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．【解答過程】解：函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽，對(duì)于選項(xiàng)A：y＝|x|=x，x≥0?x，x＜0，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：y=x2x的定義域?yàn)閧x|x≠0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：y=(x)2的定義域?yàn)閇0，+∞），兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)【變式2-3】（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（x﹣C．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝x【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的兩個(gè)條件即定義域與解析式完全相同對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)判斷求解即可．【解答過程】解：選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x+1的定義域?yàn)镽，而函數(shù)y=x2x+1＝x+1，定義域?yàn)閧x|x≠0}，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：兩個(gè)函數(shù)的解析式不同，故B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)y＝|x|的定義域?yàn)镽，而函數(shù)y＝（x）2的定義域?yàn)閇0，+∞），故C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：因?yàn)閥＝x0＝1，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)y=1x0=1，函數(shù)定義域?yàn)閧x|【題型3函數(shù)的定義域問題】【方法點(diǎn)撥】(1)根據(jù)解析式有意義的條件，列出關(guān)于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區(qū)間的形式.(2)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)，結(jié)合解析式有意義的條件，列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，即可得解.【例3】（2022秋?開福區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【解題思路】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【解答過程】解：由題意，x＞04?x2≥0，解得0＜x≤2．∴函數(shù)f（x）=1【變式3-1】（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇﹣1，15]，則函數(shù)g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式及函數(shù)的定義，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【解答過程】解：因?yàn)閒（x+1）的定義域?yàn)閇﹣1，15]，所以0≤x+1≤16，所以0≤x2≤16x?1＞0，解得1【變式3-2】（2022春?疏勒縣校級(jí)期末）函數(shù)y=x?2x中，自變量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【解題思路】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【解答過程】解：要使原式有意義，則x?2≥0x≠0，即x≥2．∴自變量x的取值范圍是x【變式3-3】（2022春?閻良區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域?yàn)锳．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【解題思路】由題意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求出a的范圍．【解答過程】解：∵函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域?yàn)镽，∴ax2+ax當(dāng)a＝0時(shí)，顯然滿足ax2+ax+1≥0恒成立．當(dāng)a＜0時(shí)，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，應(yīng)有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．綜上可得，a∈[0，4]，故選：A．【題型4函數(shù)的值域問題】【方法點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數(shù)的定義域，在由函數(shù)解析式求解；(2)已知函數(shù)值域求參數(shù)問題時(shí)，將給出的值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數(shù)的值或取值范圍.【例4】（2022春?定南縣校級(jí)月考）函數(shù)y=2x?A．(?∞，?158] B．(?∞，?15【解題思路】先進(jìn)行換元，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答過程】解：令t=x?1，則x＝t2+1，t≥0y=2x?x?1=2t2+2﹣t＝2（t?1根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=14時(shí)，函數(shù)取得最小值158，即y≥【變式4-1】（2021秋?寧鄉(xiāng)市期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?，+∞）的是（）A．y=x2?2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（0C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【解題思路】A中的函數(shù)變成：y＝|x﹣1|≥0，B中的函數(shù)可以變成：y=1+1x+1，由x∈（0，+∞）可得到y(tǒng)∈（1，2），C中的函數(shù)的值域顯然不連續(xù)，所以便選【解答過程】解：A．y=x2?2x+1=|x?1|≥0，∴該函數(shù)的值域?yàn)閇0B．y=x+2x+1=1+1x+1，∵x＞0，∴x+1＞1，0＜1x+1＜1，1＜1+1x+1＜D.y=1|x+1|＞0，∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?，+【變式4-2】（2022春?水富市校級(jí)期中）若函數(shù)f(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]（b＞a≥2），則實(shí)數(shù)A．(14，4] B．[14，4]【解題思路】由已知結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及已知函數(shù)值域?qū)栴}進(jìn)行轉(zhuǎn)化得m＝a?a?2，m＝b?b?2，問題轉(zhuǎn)化為m＝x?x?2在[2，【解答過程】解：因?yàn)閒(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增且函數(shù)的值域?yàn)閇a，b]（b＞a≥所以a?2+m=ab?2+m=b，即m＝a?a?2問題轉(zhuǎn)化為m＝x?x?2在[2，+∞令t=x?2，x＝2+t2且t≥0，所以x?x?2=t2﹣t+2，t≥0，令g（t）＝t2﹣t+2，t所以y＝m與g（t）＝t2﹣t+2＝（t?12）2+74在因?yàn)間（12）=74，g（2）＝2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，7【變式4-3】（2022春?天河區(qū)校級(jí)期中）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)f(x)=12x2?3x+4(1＜x＜4)，則函數(shù)A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【解題思路】由f(x)=12x2?3x+4=12(x?3)2?12，x∈（1，4），得函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，4）上單調(diào)遞增，從而f(x)min=f(3)=?12，再由f(1)=【解答過程】解：因?yàn)閒(x)=12x2?3x+4=12(x?3)2?12，x∈（1，4），所以函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3所以f(x)∈[?12，32)，因?yàn)閥＝[f（x）]，所以y∈{﹣【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【方法點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，將自變量代入解析式，求解即可．(2)由函數(shù)解析式，求對(duì)應(yīng)函數(shù)值的自變量的值（或解析式中的參數(shù)值），只需將函數(shù)值代入解析式，建立關(guān)于自變量（或參數(shù)）的方程即可求解.【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【解題思路】由已知中函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)(x＞【解答過程】解：∵已知函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)(xf[f(52)]=f(12)=【變式5-1】（2022春?祥云縣期末）已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【解題思路】結(jié)合題意，需要對(duì)a進(jìn)行分類討論，若a≤0，則f（a）＝1+a2；若a＞0，則f（a）＝2a，從而可求a【解答過程】解：若a≤0，則f（a）＝a2+1＝10，∴a＝﹣3（a＝3舍去）若a＞0，則f（a）＝2a＝10∴a＝5綜上可得，a＝5或a＝﹣3故選：B．【變式5-2】（2021秋?凌河區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)f(x)=12x?1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【解題思路】由分段函數(shù)的解析式知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（X）=12x?1；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1x；分別令f（a【解答過程】解：由題意知，f（a）＝a；當(dāng)a≥0時(shí)，有12a?1=a，解得a＝﹣當(dāng)a＜0時(shí)，有1a=a，解得a＝1（不滿足條件，舍去）或a＝﹣1．所以實(shí)數(shù)a的值是：a＝﹣1．故選：【變式5-3】（2021秋?庫(kù)爾勒市校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=x，(x≥0)x2，(x＜A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解題思路】已知f（x）為分段函數(shù)，把x＝﹣2代入解析式y(tǒng)＝x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看為一個(gè)整體，繼續(xù)代入求解；【解答過程】解：∵已知函數(shù)f(x)=x，(x≥0)x2，(x＜0)，∴f（﹣2）＝（﹣2）2，∴f（f（故選：C．【題型6函數(shù)的表示法】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的三種表示方法的特點(diǎn)，具體問題具體分析，用適合的表示法表示出函數(shù)關(guān)系.【例6】（2021?青島模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點(diǎn)出發(fā)，路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)【解題思路】根據(jù)圖象法表示函數(shù)，觀察甲，乙的出發(fā)時(shí)間相同；路程S相同；到達(dá)時(shí)間不同，速度不同來判斷即可．【解答過程】解：從圖中直線的看出：K甲＞K乙；S甲＝S乙；甲、乙同時(shí)出發(fā)，跑了相同的路程，甲先與乙到達(dá)．故選：D．【變式6-1】（2021秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）給出函數(shù)f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域?yàn)椋ǎ﹛1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能【解題思路】當(dāng)x＝1或x＝2時(shí)，g（1）＝g（2）＝1，f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4；當(dāng)x＝3或x＝4時(shí)，g（3）＝g（4）＝3，由表中可得f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．于是可得答案．【解答過程】解：∵當(dāng)x＝1或x＝2時(shí)，g（1）＝g（2）＝1，∴f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4；當(dāng)x＝3或x＝4時(shí)，g（3）＝g（4）＝3，∴f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．故f[g（x）]的值域?yàn)閧2，4}．故選：A．【變式6-2】（2021秋?欽州月考）一輛中型客車的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（單位：萬元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，要使總利潤(rùn)達(dá)到最大值，則該客車的營(yíng)運(yùn)年數(shù)是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15 B．10 C．9 D．6【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】解：由表格數(shù)據(jù)可知，當(dāng)f（4）＝f（8）＝7．f（6）＞f（8），則二次函數(shù)開口向下，且對(duì)稱軸為x＝6，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝6時(shí)，營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y最大為11，故選：D．【變式6-3】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）某同學(xué)到長(zhǎng)城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長(zhǎng)城，前進(jìn)了akm，覺得有點(diǎn)累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到長(zhǎng)城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)．則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的圖象大致為（）A．B． C．D．【解題思路】根據(jù)該同學(xué)在行進(jìn)過程中的前進(jìn)方式的不同確定函數(shù)圖象即可．【解答過程】解：第一段時(shí)間，該生騎車為直線方程形式，單調(diào)遞增．第二段實(shí)際休息，此時(shí)距離起點(diǎn)的距離不變，此時(shí)休息期間為常數(shù)，然后原路返回，此時(shí)距離減小，為遞減函數(shù)，然后調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，此時(shí)距離逐步增加，所以圖象C合適．故選：C．專題3.1函數(shù)的概念及其表示-重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?翠屏區(qū)校級(jí)月考）下列的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0|}，f：x→1|x| B．A＝N，B＝N*，f：x→C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f【解題思路】根據(jù)函數(shù)的概念和對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A，當(dāng)x＝0時(shí)，10無意義，∴不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，|x﹣1|＝0?N*，∴不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于C，當(dāng)x＞0時(shí)，x2∈R，∴是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于D，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x無意義，∴不是函數(shù)關(guān)系，故選：C2．（3分）（2021秋?南開區(qū)期末）在下列函數(shù)中，函數(shù)y＝|x|表示同一函數(shù)的（）A．y=(x)2B．y=3x3C【解題思路】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是同一函數(shù)．【解答過程】解：對(duì)于A，函數(shù)y=(x)2=x，x≥0，與函數(shù)y＝|x|=x，x≥0?x，x＜0的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)y=3x3=x，x∈R，與函數(shù)y＝|x|=x，x≥0?x，x＜0的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于C3．（3分）（2021秋?河南期末）下列圖象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域及值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷選項(xiàng)即可．【解答過程】解：選項(xiàng)A中的值域不滿足條件；選項(xiàng)B中的定義域不滿足條件；選項(xiàng)D不是函數(shù)圖象．故選：C．4．（3分）（2022春?商丘期末）已知函數(shù)f（x+2）的定義域?yàn)椋ī?，4），則函數(shù)g(x)=f(x)A．(13，4) B．(13，2)【解題思路】由已知求得f（x）的定義域，結(jié)合分式的分母不為0，可得函數(shù)g（x）的定義域．【解答過程】解：∵函數(shù)f（x+2）的定義域?yàn)椋ī?，4），即﹣3＜x＜4，∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定義域?yàn)椋ī?，6）．又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函數(shù)g（x故選：C．5．（3分）（2022?潮南區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=x2+4x+3，x≤03?x，A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解題思路】分段函數(shù)是指在定義域的不同階段上對(duì)應(yīng)法則不同，因此分段函數(shù)求函數(shù)值時(shí)，一定要看清楚自變量所處階段，例如本題中，5∈{x|x＞0}，而f（5）＝﹣2∈{x|x≤0}，分別代入不同的對(duì)應(yīng)法則求值即可得結(jié)果【解答過程】解：因?yàn)?＞0，代入函數(shù)解析式f（x）=x2+4x+3，x≤03?x，x＞0得f所以f（f（5））＝f（﹣2），因?yàn)椹?＜0，代入函數(shù)解析式f（x）=得f（﹣2）＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1，故選：C．6．（3分）（2021秋?翠屏區(qū)校級(jí)月考）設(shè)f（x）=(x+1)2(x＜1)4?x?1(x≥1)則使得A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11【解題思路】因?yàn)槭欠侄魏瘮?shù)，所以分：當(dāng)m＜1時(shí)，f（m）＝（m+1）2＝1和當(dāng)m≥1時(shí)，f（m）＝4?m?1=【解答過程】解：當(dāng)m＜1時(shí)，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0當(dāng)m≥1時(shí)，f（m）＝4?m?1=1∴m＝10綜上：m的取值為：﹣2，0，10故選：7．（3分）（2022春?閻良區(qū)期末）在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算中，我們定義新運(yùn)算“*”為：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝b2．設(shè)函數(shù)f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢．[﹣6，﹣2] B．[﹣2，2） C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]【解題思路】首先理解新定義，將f（x）轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)，再求其值域即可．【解答過程】解：定義新運(yùn)算“*”為：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝b2．設(shè)函數(shù)f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，當(dāng)﹣2＜x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x）＝x2﹣2∈[﹣2，2]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣2，2]，故選：D．8．（3分）（2021?云南模擬）一次函數(shù)g（x）滿足g[g（x）]＝9x+8，則g（x）是（）A．g（x）＝9x+8 B．g（x）＝3x+8 C．g（x）＝﹣3x﹣4 D．g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4【解題思路】設(shè)一次函數(shù)g（x）＝kx+b，利用滿足g[g（x）]＝9x+8，得到解決關(guān)于k，b的方程組，解方程組即可．【解答過程】解：∵一次函數(shù)g（x），∴設(shè)g（x）＝kx+b，∴g[g（x）]＝k（kx+b）+b，又∵g[g（x）]＝9x+8，∴k2=9kb+b=8，解之得：k=3∴g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4．故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?盤龍區(qū)月考）下列每組函數(shù)不是同一函數(shù)的是（）A．f(x)=x?1，g(x)=(x?1)C．f(x)=x2?4x?2，【解題思路】結(jié)合函數(shù)的三要素別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過程】解：A：g（x）|與f（x）的定義域不同，不符合題意；B：g（x）與f（x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不符合題意；C：（x）與g（x）的定義域不同，不符合題意；D：f（x）與g（x）的定義域都為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，故是同一函數(shù)．故選：ABC．10．（4分）（2021秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，則x可?。ǎ﹛12345f（x）23423A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】由已知表格，分別判斷x＝1，2，3，4，5時(shí)是否滿足方程即可．【解答過程】解：結(jié)合表格可知，當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝2，則f（f（1））＝f（2）＝3≠1﹣1＝0，當(dāng)x＝2時(shí)，f（2）＝3，f（f（2）＝f（3）＝4≠2﹣1；當(dāng)x＝3時(shí)，f（3）＝4，f（f（3））＝f（4）＝2＝3﹣1，此時(shí)滿足題意；當(dāng)x＝4時(shí)，f（4）＝2，f（f（4））＝f（2）＝3＝4﹣1，此時(shí)滿足題意；當(dāng)x＝5時(shí)，f（5）＝3，f（f（5））＝f（3）＝4＝5﹣1，此時(shí)滿足題意．故選：BCD．11．（4分）（2021秋?銅鼓縣校級(jí)月考）下列四個(gè)函數(shù)：①y＝3﹣x；②y=1x2+1；③y＝x2+2x﹣10；④A．① B．② C．③ D．④【解題思路】根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可判斷①；根據(jù)不等式基本性質(zhì)可判斷②④；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷③．【解答過程】解：①y＝3﹣x，其為一次函數(shù)，值域?yàn)镽，所以A對(duì)；②y=1x2+1，因?yàn)閤2+1≥1，所以0＜1x2+1≤1③y＝x2+2x﹣10，其圖像為開口向上的拋物線，y最小值為4×1×(?10)?22值域?yàn)閇﹣11，+∞）不為R，所以C錯(cuò)；④y=?x(x≤0)?1x(x＞0)，當(dāng)x≤0時(shí)，y≥0，當(dāng)x＞0時(shí)y＜012．（4分）（2021秋?淄博月考）函數(shù)D(x)=1A．函數(shù)D（x）的值域?yàn)閇0，1] B．若D（x0）＝1，則D（x0+1）＝1 C．若D（x1）﹣D（x2）＝0，則x1﹣x2∈Q D．?x∈R，D（x+2）＝【解題思路】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的表達(dá)式討論x是有理數(shù)和無理數(shù)時(shí)是否成立即可．【解答過程】解：函數(shù)的值域?yàn)閧0，1}，故A錯(cuò)誤，若D（x0）＝1，則x0∈Q，則1+x0∈Q，即D（x0+1）＝1成立，故B正確，若D（x1）﹣D（x2）＝0，即D（x1）＝D（x2），當(dāng)D（x1）＝D（x2）＝1時(shí)，x1∈Q，x2∈Q，則x1﹣x2∈Q，當(dāng)D（x1）＝D（x2）＝0時(shí)，x1?Q，x2?Q，則x1﹣x2∈Q不一定成立，故C錯(cuò)誤，當(dāng)x＝1?2時(shí)，滿足x∈R，此時(shí)x+2=1，則D（x+2）＝故選：BD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022?成都開學(xué)）函數(shù)f（x）=x?1+1x?3的定義域?yàn)閇1，3）∪（3，【解題思路】根據(jù)定義域的求法，求解即可．【解答過程】解：根據(jù)題意可知，x?1≥0x?3≠0，解得x∈[1，3）∪（故函數(shù)f（x）=x?1+1x?3的定義域?yàn)閇1，3）∪（3，+∞）．故答案為：[1，3）∪（314．（4分）（2021秋?巫山縣校級(jí)月考）下列函數(shù)y＝（x）2；y=x2x；y=3x3；y=x2與函數(shù)y＝【解題思路】根據(jù)函數(shù)三要素分析即可．【解答過程】解：y＝（x）2中x≥0，而y＝x中x為任意實(shí)數(shù)，故y＝（x）2與y＝x不是同一函數(shù)；y=x2x中x≠0，而y＝x中x為任意實(shí)數(shù)，故y=x2y=3x3=x中x為任意實(shí)數(shù)，∴y=3y=x2值域?yàn)椋?，+∞），而y＝x值域?yàn)镽，∴y=x2與故答案為：y=315．（4分）（2022?桂林開學(xué)）已知f(x)=x2?1，x≥0x+2，x＜0，求f【解題思路】直接把變量代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求解．【解答過程】解：∵f(x)=x2?1，x≥0x+2，x＜0，∴∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12﹣1＝0，故答案為：0．16．（4分）（2022春?南平期末）若函數(shù)f(x)=(a?1)x+1，x≤1，x2?2ax+6，x＞1的值域?yàn)镽【解題思路】由題意，分類討論a的范圍，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)論．【解答過程】解：∵函數(shù)f(x)=(a?1)x+1，x≤1當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）=1，x≤1當(dāng)a＞1時(shí)，應(yīng)有a﹣1+1≥a2﹣2a?a+6，解得a≥2．當(dāng)a＜1時(shí)，由于（a﹣1）x+1（x≤1）和x2﹣2ax+6（x＞1）都有最小值，故函數(shù)的值域不可能為R，故不滿足題意．綜上，a≥2，故答案為：[2，+∞）．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春?濮陽期末）某種筆記本的單價(jià)是5元，買x本（x∈{1，2，3，4，5}）筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f（x）．【解題思路】利用函數(shù)的三種表示方法，即可將y表示成x的函數(shù)．【解答過程】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）圖象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．18．（6分）（2021秋?龍門縣校級(jí)月考）求下列函數(shù)的定義域．（1）y=x?2?3?x；（2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【解答過程】解：（1）由題意可知x?2≥03?x≥0，解得x≥2x≤3即函數(shù)的定義域?yàn)閇2，3]．（2）由題意可知4?x2≥02x2?3x?2≠0，解得﹣2≤x≤2∴x∈[?2，?12)∪(?12，2)，即函數(shù)的定義域?yàn)?9．（8分）（2021秋?泰安期中）判斷下列各組函數(shù)是否為相等函數(shù)：（1）f（x）＝f（x）=(x+3)(x?5)x+3，g（x）＝x﹣（2）f（x