2024-2025學(xué)年河北省邢臺市高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年河北省邢臺市邢襄聯(lián)盟高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若集合AB={x\2—x<1},則znB=(:)

A.[1,2)B.[-1,0)C.(2,+00)D.(-8,0)

設(shè)復(fù)數(shù)

2.z=I17,貝!j2z-z=()

A.l-3iB.3-iC.1-iD.3+i

JI

3.若sin(a苦)=|,則cos(i-2a)=()

r4展D-i

A.c9

4.某地區(qū)為研究居民用電量y（單位：度）與氣溫久（單位：°C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天

的氣溫，并得到了如表數(shù)據(jù)：

氣溫%/℃36912

用電量y/度24201410

由表中數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+a,若6=-1.6,貝Ua的值為（）

A.27B.29C.34D.36

5.已知雙曲線M的左、右焦點(diǎn)分別為％,F2,過點(diǎn)力且與實(shí)軸垂直的直線交雙曲線M于4B兩點(diǎn)若aaB

尸2為等邊三角形，則雙曲線M的離心率為（）

A.A/3B.72C.2D.V3+1

6.已知函數(shù)/'（X）=ln（x+￡+4）在[1,+8）上單調(diào)遞增，則小的取值范圍為（）

A.（-5,0]B.（-oo,l]C.[0,1]D.（-5,1]

7.已知函數(shù)/（x）=Q-砌（%2一為在x=a處取得極小值，貝!|a=（）

A.-1B.0C.1D.0或1

8.有4名男生、3名女生和2個不同的道具（記作4和B）參與一個活動，活動要求：所有人（男生和女生）必須

站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設(shè)女生的身高各

不相同）；兩個道具a和B必須被分配給隊(duì)伍中的兩個人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在

一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（）

A.2400種B,3600種C.2880種D.4220種

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，IWJ相等，側(cè)面積也相等，則()

A.圓柱和圓錐的體積之比為3B.圓柱的底面半徑和高之比為避

C.圓錐的母線和高之比為2D.圓柱和圓錐的表面積之比為|

10.已知函數(shù)/'(x)=sinx+cosx+x,則下列結(jié)論正確的是()

TTTT

AJO)的圖象關(guān)于y軸對稱B./Q)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-不-成對稱

TTTT

C./O)的圖象關(guān)于直線久=5對稱D.X=5是/(%)的極大值點(diǎn)

11.已知a=log510,b=log210,c=logo.o610，則下列不等式成立的是()

A.a+b>4B.4r>64”

C.a(b+1)>3+2也D.b+c+be<0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量。=(1,3)力=(-2,%)/=(y,y),若五+b=c,則b-c=.

13.已知實(shí)數(shù)a,b滿足。2+62=24—2b,則，言的最大值為.

14.在四棱錐P-48CD中，底面4BCD為菱形，AB=BD=2,點(diǎn)P到AD,BC的距離均為2,則四棱錐

PTBCD的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/Q)=x—xlnx-a.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程為y=bx+2,求實(shí)數(shù)a和b的值；

(2)若函數(shù)/(%)無零點(diǎn)，求a的取值范圍.

16.(本小題15分)

如圖，在直四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，底面力BCD為矩形，且A4i=4B=2AD,E,F分別為的小，D%

的中點(diǎn).

(1)證明：〃平面&EB.

(2)求平面AB/與平面&BE夾角的余弦值.

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17.(本小題15分)

某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和三等品.已知該工廠生產(chǎn)一等品的概率為0.3,生產(chǎn)二等品的概率

為0.5,生產(chǎn)三等品的概率為02一等品在出廠時(shí)，通過質(zhì)量檢測的概率為0.9；二等品在出廠時(shí)，通過質(zhì)量

檢測的概率為0.8；三等品在出廠時(shí)，通過質(zhì)量檢測的概率為0.6.

(1)已知隨機(jī)抽取的1。件產(chǎn)品中，通過質(zhì)量檢測的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.現(xiàn)在從這8件通過

檢測的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，設(shè)其中一等品的數(shù)量為X,求X分布列和期望，

(2)求隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測的概率，

(3)若隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過了質(zhì)量檢測，求該產(chǎn)品為一等品的概率

18.(本小題17分)

已知4(0,2),P是拋物線Ci：*2=4>上任一點(diǎn)，Q為P力的中點(diǎn)，記動點(diǎn)Q的軌跡為C2.

(1)求的方程；

(2)過點(diǎn)P作曲線C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,求點(diǎn)P到直線的距離的最小值.

19.(本小題17分)

定義：若數(shù)列也?｝滿足an+2=PM+i+qa￡p，qGR)，則稱數(shù)列3J為“線性數(shù)列”.

(1)已知｛冊｝為“線性數(shù)列”，且的=2,。2=8,。3=24,a4=64,證明：數(shù)列｛斯+廠2斯｝為等比數(shù)

列.

(2)已知“=(1+避)nT+(l—")nT.

①證明：數(shù)列5｝為“線性數(shù)列”.

(江)記刈=壬一，數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S?,證明：sn<1.

unun+2o

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參考答案

1.C

2.2

3.0

4.B

5.4

6.D

7.C

8.B

9sBe

10.BD

11.ACD

12.6

13.7

14.挈

15.解:(1)因?yàn)?(%)=x-xlnx-a,所以/(I)=1-a,

又/1'(%)=1—(Znx+1)=—Inx,則/'(1)=0,

又曲線y=/(嗎在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y=b%+2,

所以｛匕°=2,解喊。

(2)令/(%)=0,即a=x—xlnx,

令g(%)—x—xlnx,則g'(%)=—Inx,

所以當(dāng)0V%VI時(shí)“(%)>0,當(dāng)X>1時(shí)“(%)<0,

所以9(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

則g(X)7nax=。(1)=1，且當(dāng)XT+8時(shí)g(久)T-8,

依題意y=。與曠=g(X)無交點(diǎn)，所以a>1,

所以要使函數(shù)/(久)無零點(diǎn)，貝1Ja的取值范圍為(1,+8).

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16.(1)證明：不妨設(shè)4。=1,則44i=45=2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則/MLO,2),8(120)，E(0,l,2),A(l,0,0),F(0,0,l),7)(0,0,0),

所以砧=(-1,1,0),砧=(0,2,-2),荏=(-1,0,1),

設(shè)布=(%,y,z)是平面AiEB的一個法向量，

f—>--->

口

則Jz|n帚?4.布E=—2%y_+2；y=0,取L％=L貝…0=z=l,

所以平面&EB的一個法向量訪=(1,1,1),

又4F-？n=0,所以

因?yàn)榱C平面&EB,

所以卷7/平面&EB；

(2)解:因?yàn)長M1平面

所以52=(1,0,0)是平面AiaB的一個法向量,

m-DA=1x14-1x0+1x0=1,\m\=^/l2+l2+I2=^/3,\DA\='1,

m?DA

所以cos<而，DA>—

1^1?\DA\

所以平面與平面&BE夾角的余弦值為弓.

17.解：⑴因?yàn)橥ㄟ^質(zhì)量檢測的8件產(chǎn)品中，有2件二等品和1件三等品，則一等品的數(shù)量為8-2-1=5件,

所以X的可能取值為0,1,2,3,

則P(X=O)L，P(X=1)=警=||,

P(X=2)=警=冷熱P(X=3)=普避=弟

所以X的分布列為：

X0123

115155

P

56562828

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所以E(X)=0x專+lx1|+2x磊+3x戰(zhàn)審

□ODOZoZoo

(2)設(shè)事件a表示產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測，Bl表示產(chǎn)品為一等品，B2表示產(chǎn)品為二等品，附表示產(chǎn)品為三等品,

則P(Bi)=0.3,P(B2)=0.5,P(83)=0.2,P{A\B^=0.9,P(X|B2)=0.8,P(4|B3)=0.6,

所以P(A)=P(B1)P(4|B1)+P(B2)P(4|B2)+P(B3)P(4|B3)

=0.3x0.9+0.5x0.8+0.2x0.6=0.79,

即隨機(jī)抽取的一件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測的概率為0.79；

無口而聲在十甄宓%P(4B1)P(B1)PQ4|B1)0.3x0.927

⑶依足思所求概率為P(Bi|A)-尸(/)—P(/)—o79—79,

18.解：⑴設(shè)Q(x,y),

因?yàn)镼為P4的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x,2y-2),

又點(diǎn)P是拋物線Ci：/=4y上任一點(diǎn)，

所以(2x)2=4(2y—2),

整理得好=2y-2,

即C2的方程為/=2y—2；

(2)設(shè)P(x(),yo),/V(x2,y2)>

則yo=$2，好=2yi—2,xj=2y2-2,

由拋物線C2的方程為/=2y—2,

即y=#+i,

則y'=x,

所以PM的方程為y—月=

即y=XiX—yi+2,

所以y。=xixo~yi+2,

同理可得yo=x2x0-y2+2,

所以直線MN的方程為xx()—y+2-y()=0,

則點(diǎn)P到直線MN的距離d=國篇誓=號等=*扇工工+品)

______3

當(dāng)且僅當(dāng)?+1=\就+1，

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即孫=±也時(shí)取等號，

所以點(diǎn)P到直線MN的距離的最小值為4.

19.證明；⑴因?yàn)椋麅裕秊椤熬€性數(shù)列"，^an+2=pan+1+qan（p,qGR）,

24-8PQ制p-4

解

所以。3=pCL2+64-4+28q-4

9P+-

%=pa3+qa2

所以。九+2=4a九+i—4a九,

所以。九十2-2。九+1=2（。九+1—2。九）,

又。2—2al—4,

所以｛廝+i-2an｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

⑵①因?yàn)?n=(1+兩刀t+(]一避)刀_],則由=2,a2=2,a3=6,a4=14,

a

人=Pl2+Qlalnn6=2Pl+2q1解得｛,：；所以的=2a2+

,,

^{a4=p1a3+q1a2岡14=6pi+2q1。4=2a3+@2,

n+1n

因?yàn)閍n+2-2斯+1-冊=(1+72)?+1+(l-72)-2[(l+V2)+(1-收再一[(1+炳…+Q一理