圓中的范圍與最值問(wèn)題（八大題型）（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破01圓中的范圍與最值問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：斜率型.................................................................2

題型二：直線型.................................................................3

題型三：距離型.................................................................3

題型四：周長(zhǎng)面積型.............................................................4

題型五：數(shù)量積型...............................................................4

題型六：坐標(biāo)與角度型...........................................................5

題型七：長(zhǎng)度和差型.............................................................6

題型八：方程中的參數(shù)型.........................................................7

03過(guò)關(guān)測(cè)試.....................................................................8

亡法牯自與.柒年

//\\

1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：

(1)形如〃的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.

x-a

(2)形如：=奴+辦的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

(3)形如加=(x-。產(chǎn)+⑶-6)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值

問(wèn)題.

2、解決圓中的范圍與最值問(wèn)題常用的策略：

(1)數(shù)形結(jié)合

(2)多與圓心聯(lián)系

(3)參數(shù)方程

(4)代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問(wèn)題

題型一：斜率型

【典例1-D已知實(shí)數(shù)％,y滿足方程/=，-爐+?_1,則，的最大值為()

A.0B.1C.^3D.2

【典例1-2]如果實(shí)數(shù)』，V滿足(》-2)2+丁=2,則5的范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(l,+oo)D.(T,T]L[L+OO)

【變式1』】若實(shí)數(shù)X、y滿足條件X-,則—的范圍是()

A.-,+<?B.C.-co,-D.

4JI4(2

【變式1-2】(2。24山東日照二模)若實(shí)數(shù)不了滿足條件xf』，則看的范圍是()

A.[0,72]B.[-3,5]C.（-a）,-l]D.

【變式1-3]已知P（，","）為圓口（*-1）2+（丫-1）2=1上任意一點(diǎn)，則四〈的最大值為（）

m+1

A.昱B.-3C.1+—D.

3333

題型二：直線型

【典例2-1】（2024?江西吉安?寧岡中學(xué)校考一模）已知點(diǎn)P（x?）是圓/+y2-6x-4y+12=0上的動(dòng)點(diǎn)，則

x+y的最大值為（）

A.5+叵B.5-aC.6D.5

【典例2-2】已知點(diǎn)P（x,y）是圓C：（x—a）2+y2=3（a>0）上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1,應(yīng)），貝”一無(wú)

的最大值與最小值之和為（）

A.4B.2*C.-4D.-2A/6

【變式2-11點(diǎn)尸（x,y）在圓（x-2）2+（y+3）2=l上,則x+y的范圍是—.

【變式2-2]已知"V滿足/+；/+2了-4'=0,則2x+y的范圍是.

【變式2-3]如果實(shí)數(shù)工，，滿足等式/+y2+4x—2y-4=0,那么/+/的最大值是一；2x-y的最大值

是—.

題型三：距離型

【典例3-1】已知點(diǎn)PQw,"）在圓C:（x-2）2+（y-2『=9上運(yùn)動(dòng)，則（加+2『+（”+爐的最大值為_(kāi),最小

值為_(kāi)__，Vm2+n2的范圍為.

【典例3-2】直線/：辰-y-2A+2=0（丘R）過(guò)定點(diǎn)°,若尸為圓C:（x—2）2+?！?）2=4上任意一點(diǎn),則|產(chǎn)例

的最大值為（）

A.1B.3C.4D.2

【變式3-1]（2024.浙江三模）已知4（-2,-2）,8（1,3）,點(diǎn)尸在圓尤?+產(chǎn)=4上運(yùn)動(dòng)，則1PAl?+|即?的最大

值為（）

A.16-60B.26+2夜C.26+4五D.32

【變式3-2]（2024-山東濟(jì)南?三模）圓。-3+（y+If=4上的點(diǎn)到直線3x+分-14=0的距離的最大值為

A.3B.4C.5D.9

【變式3.3］已知％;+y；=%：+必=8,且中2+%%=0,貝股玉+%2-2）2+（%+%『的最大值為

（）

A.9B.12C.36D.48

【變式3?4】（2024?四川樂(lè)山?三模）已知圓O：/+y2=i6,點(diǎn)￡是/：2x-y+16=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作圓O

的切線，切點(diǎn)分別為A3,直線A5與石。交于點(diǎn)以，則|。叫的最大值為（）

A.2B.C.瓜D.布

題型四：周長(zhǎng)面積型

【典例44】（2024?高三?河南?開(kāi)學(xué)考試）若直線/：『丁+2一左=0與圓。：一+,2-4%—2y-4=0交于A,

B兩點(diǎn),則當(dāng)A6C周長(zhǎng)最小時(shí)，k=（）

A.—B.----C.1D.—1

22

【典例4-2】在直角坐標(biāo)系中，已知A（4,0）,B（l,3）,C（0,-4）,動(dòng)點(diǎn)“滿足黑=2,則4c面積

的范圍為

【變式4-1］若圓C的方程為/+/+〃優(yōu)+2⑺+（“-2）=0,則圓C的最小周長(zhǎng)為（）

.36￡18&?12&門(mén)6&

5555

【變式4-2】已知點(diǎn)A3在直線/:x-2y-2=0上運(yùn)動(dòng)，且|蜴=26，點(diǎn)C在圓（》+1）2+y=5上，則

VABC的面積的最大值為（）

A.8B.5C.2D.1

題型五：數(shù)量積型

【典例5-1】已知PQ,MN是半徑為5的圓O上的兩條動(dòng)弦，|尸。|=6,|%叫=8,則pM+QN|最大值是（）

2N

A.7B.12C.14D.16

一jr

【典例5-2】在AABC中，BC=2,ZBAC=-,。為BC中點(diǎn)，在AABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸滿足

ULUUllUUUU1ULHU

PBPD=PCPD，則AP3C的最大值為（）

A.3B.巫C.D.邁

333

【變式5-1］已知圓。-2）2+y=9的弦AN的中點(diǎn)為Q（l』），點(diǎn)尸為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則P&PB的最大值為

（）

A.2B.60-3C.8D.4+6應(yīng)

【變式5-2］在矩形ABCD中，AB^2,AD=3,尸為矩形ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且上4=1,貝U

PC的最大值是（）

A.9B.10C.11D.12

題型六：坐標(biāo)與角度型

【典例6-1】已知圓C：（無(wú)-1）2+產(chǎn)=1,點(diǎn)pg,加）在直線x-y+l=0上運(yùn)動(dòng).若C上存在點(diǎn)Q,使/

CPQ=30°,則配的取值范圍是.

y/3x+y

【典例6-2】已知X,'湎足+1一=4y—3,則:，；的最大值為（)

A.1B.2C.上D.75

【變式6-1］動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且半徑為1,則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為（）

A.1B.2C.72D.2.72

2

【變式6-2］（2024?湖南邵陽(yáng)?三模）已知直線/：%—y—2=0與圓0：x+/=b過(guò)直線/上的任意一

點(diǎn)尸作圓0的切線2，PB，切點(diǎn)分別為A，B＞則的最大值為（）

3兀至71

A.B.D.四

T326

【變式6-3］（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知尸是圓C:（x-2）2+（y-3）2=2上一點(diǎn),

A（TO）,8（1,0）,則-APB的正切值的最大值為（

AO\

B.72C.73

【變式6-4】已知圓。：（無(wú)一。）、;/=/（廠＞0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：Y+（y—5）2=9,點(diǎn)

M（0,3）.若圓C與圓。相外切，則tan/WB的最大值為（）

題型七：長(zhǎng)度和差型

【典例7-1】已知復(fù)數(shù)Z1=a+歷，z2=c+di,a,b,c,dwR,若閔=區(qū)|=2,S.ac+bd=2,則

|a+6-4|+2|c+d-4|的最大值為一.

【典例7-2】（2024.黑龍江佳木斯.三模）已知圓/+、2=8上兩點(diǎn)冬玉,%）,8（%,%），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

ZAOB=120°,貝（J|玉+%-4|+,2+%-4的最大值是（）

A.8B.6也C.8版D.12

【變式7-1】設(shè)A為直線x+y-2=0上一點(diǎn)，P,。分別在圓G：［x+；］+丁=；與圓

q：（x_l）2+（尸4）2=1上運(yùn)動(dòng)，則|A0|—|AP|的最大值為（）

.3+V13?1+V1I?3+歷C-3+9

A.------D.---------C.----------U.-------

2222

【變式7?2】在定圓。：/+y2=4內(nèi)過(guò)點(diǎn)尸（-M）作兩條互相垂直的直線與。分別交于A,3和N,則

\AB\\MN\「

麗+西的范圍是（

【變式7-3］（2024?廣西貴港.模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：（x-2）2+（y-2）2=4,直線/：（m+2）x-my-4=0,若

/與圓C交于A,8兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,貝力。41+21。8］的最大值為（）

A.4A/3B.6A/3C.4岳D.2病

題型八：方程中的參數(shù)型

【典例8-1】（2024?山東泰安?二模）已知在矩形ABCD中，AB=1,AD=6，動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且

與8。相切的圓上，則”.AD的最大值為；^AP=mAB+nAD（m,n&R）,則加+〃的最大值

為.

【典例8-2］如圖，在直角梯形ABCD中，A=5=90o,A￡?=4,AB=5C=2,點(diǎn)〃在以8為直徑的半圓

上，且滿足AM+則m+”的最大值為（）

【變式8-1】已知。（0,0）,P（斐中,Q（l+4cose,g-4sin。），6?0,2句,則△OPQ面積的最大值為

（）

A.4B.5C.573D.

\PB\

【變式8-2】已知點(diǎn)A（0,T）,點(diǎn)8（2,0）,尸為圓0：/+丁=4上一動(dòng)點(diǎn)，則局的最大值是（）

\PA\

3名

A.拽B.遇c.述D.

343

【變式8-3］已知過(guò)點(diǎn)（1,6）的動(dòng)直線/與圓C:Y+y2=16交于A,8兩點(diǎn)，過(guò)A,3分別作C的切線，兩切

線交于點(diǎn)N.若動(dòng)點(diǎn)M（cosasine）（0W0<2;r）,則|M?V|的最小值為.

1.（多選題）已知實(shí)數(shù)羽y滿足方程/+/-4》-2、+4=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.2的最大值為gB.x+y的最大值為3+0

x3

C./的最大值為百+1D.-+；+5］的范圍是［2,4］

2.（多選題）己知圓。0-1）2+丁=1,4（3,1）,點(diǎn)尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確

的是（）

A.|AP|的最大值為b+1

B.|0P|+|P4|的最小值為2忘

-4~

C.直線AP的斜率范圍為0,j

3

D.以線段AC為直徑的圓與圓。的公共弦方程為＞=-2x+］

3.（多選題）點(diǎn)q（毛,%）是圓。:兀2+3；2一8%一63；+21=。上的動(dòng)點(diǎn)，則下面正確的有（）

A.圓的半徑為3

B.工、既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值

%-3

C.2%+%的范圍是［11-2611+2下］

D.焉+M+2%+3的最大值為72

4.（多選題）（2024?高三?福建福州?期末）已知4—3,0）,3（3,0）,動(dòng)點(diǎn)C滿足IC4|=2|C3|,記C的

軌跡為「過(guò)A的直線與「交于尸，。兩點(diǎn)，直線8P與「的另一個(gè)交點(diǎn)為則（）

A.Q,M關(guān)于x軸對(duì)稱B.的面積的最大值為60

C.當(dāng)NPMQ=45。時(shí)，|PQ|=40D.直線AC的斜率的范圍為［一代,代］

5.（多選題）若實(shí)數(shù)了、，滿足條件Y+y2=l,則下列判斷正確的是（）

A.x+y的范圍是［o,&］B./-4了+產(chǎn)的范圍是卜3,5］

C.孫的最大值為1D.二的范圍是

x+1I4J

6.（多選題）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被

后人稱為三角形的“歐拉線''.在平面直角坐標(biāo)系中作AABC,A8=AC=4,點(diǎn)8（—1,3）,點(diǎn)C（4,—2）,且

其“歐拉線”與圓（》-3）2+產(chǎn)=產(chǎn)相切，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓M上點(diǎn)到直線x-y+3=0的最小距離為26

B.圓M上點(diǎn)到直線尤-了+3=0的最大距離為3JI

C.圓〃上到直線8C的距離為;的點(diǎn)有且僅有2個(gè)

D.圓（x-a-l）2+（y-a）2=8與圓M有公共點(diǎn)，貝Ua的范圍是口一20,1+2應(yīng)］

7.（多選題）設(shè)點(diǎn)尸（龍,力為圓C：/+V=1上一點(diǎn)，已知點(diǎn)4（4,0）,8（5,0）,則下列結(jié)論正確的有（

A.的最大值為顯

B.一+丁-41〉的最小值為-8

C,存在點(diǎn)尸使|尸理=夜|冏

D.過(guò)A點(diǎn)作圓C的切線，則切線長(zhǎng)為處

8.（多選題）（2024?高三?遼寧鞍山?開(kāi)學(xué)考試）已知直線/：阮-y+左=0,圓

C:尤2+/—6x+5=0,P（%,%）為圓C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.北+需的最大值為5

B.%的最大值為拽

/5

C.直線/與圓。相切時(shí)，k=±^~

3

D.圓心C到直線/的距離最大為4

9.（多選題）（2024?江西宜春?三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅

尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A,8之間的距離為。（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到A,8的距離之比為

常數(shù)九（2>0,且2x1）,則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知

A（T,0）,3（2,0）,點(diǎn)/滿足|M4|=2|MB|,則下列說(shuō)法正確的是（）

A...面積的最大值為12B.的最大值為72

C.若。（8,8）,貝“肱1|+2|"。|的最小值為10D.當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，M。始終平分

10.（多選題）已知點(diǎn)尸在圓C（x-4y+（y-4）2=9上，點(diǎn)A（4,0）,B（0,2）,則（）

A.直線與圓C相切

B.點(diǎn)尸到直線A3的距離小于7

C.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|尸耳=而

D.NP8A的最小值小于15。

11.（多選題）（2024?高三?浙江寧波?期末）己知/為直線x-y+5=0上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N與兩個(gè)定點(diǎn)

0（0,0）,A（3,0）的距離之比為2,則（）

A.動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為（工一4）2+產(chǎn)=4B.|MN|22+竽

1jr

c.Ww|+]NO|的最小值為40D.NAON的最大角為7

12.（多選題）已知點(diǎn)/在圓Q：Y+（y+2）2=4上，點(diǎn)尸是直線/：4x-3y+6=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓。的

兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,又設(shè)直線/分別交x，＞軸于C,。兩點(diǎn)，則（）

A.|P4|的最小值為平B.直線必過(guò)定點(diǎn)

C.滿足MCLMD的點(diǎn)有兩個(gè)D.|MD|+2阿。的最小值為加

13.（2024?高三?山東濟(jì)寧?開(kāi)學(xué)考試）過(guò)直線/：尤+》-