2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角中的最值、范圍問題 專項訓(xùn)練【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角中的最值、范圍問題-專項訓(xùn)練

一、基本技能練

1.已知函數(shù)人x)=2sin(0x+°)(o>0)的圖象關(guān)于直線寸稱，且人同=°，則①

的最小值為()

A.2B.4

C.6D.8

7T

2.將函數(shù)尸cos(2x+°)的圖象向右平移g個單位長度，得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則刷

的最小值為()

71-兀

A?適B6

八兀一5兀

C3D~6

3.在△ABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,。，c.若asinA+2csinC=2teinCeos

A,則角A的最大值為()

A兀C兀

A6B-4

琮D.李

4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若練三=*，b=4,

ULJ

則△ABC的面積的最大值為()

A.4小B2小

C.2D.y[3

5.若函數(shù)外)=cos2x+sin(2x+1]在(0,a)上恰有2個零點，則a的取值范圍為

()

B玲

4731B4731

A.

C浮B

8731D8731

6.已知函數(shù)人x)=cos(0x+0)(①>0)的最小正周期為兀，且對x?R,人乃天/圖恒成

立，若函數(shù)y=/(x)在［0,例上單調(diào)遞減，則。的最大值是()

，兀-兀

A-6B-3

若D.普

3o

TT7T

7.已知函數(shù)火x)=2sin5(o>0)在區(qū)間［一甲升t的最小值為一2,則o的取值范圍

是.

8.已知函數(shù)y(x)=cos0x+sin［0x+^)(o>0)在［0,兀］上恰有一個最大值點和兩個零

點，則。的取值范圍是.

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,ZABC

的角平分線交AC于點。，且3。=1,則4a+c的最小值為..

7T

10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且AW或c+bcosA-

acosB=-\［2acosA,則(=;內(nèi)角3的取值范圍是.

11.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA,且3為鈍角.

7T

⑴證明：B—A=2；

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

12.已知向量ajcos住+x),sin住&=(—sinx,小sinx),J(x)=a-b.

(1)求函數(shù)兀￥)的最小正周期及“x)的最大值；

(2)在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若君=1,a=2小,

求AABC面積的最大值并說明此時AABC的形狀.

二'創(chuàng)新拓展練

13.設(shè)銳角△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且a=l,B=2A,

則b的取值范圍為()

A.(VL小)B.(l,小)

C.(隹2)D.(0,2)

14.(多選)設(shè)函數(shù)兀t)=cos(ox+W)(①>0),已知人x)在［0,2兀］上有且僅有3個極小

值點，貝1)()

A<x）在（0,2兀）上有且僅有5個零點

B<x）在（0,2兀）上有且僅有2個極大值點

C於）在（0,看上單調(diào)遞減

D.co的取值范圍是（，學(xué)

15.（多選）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,中c,且c=6,記S為AABC

的面積，則下列說法正確的是（）

A.若C=?則S有最大值94

B.若A弋，a=24,則S有最小值3小

C若「a=2。,則cosC有最小值0

24

D.若。+6=10,則sinC有最大值方

16.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且〃c=a（廬+。一口2）.

（1）若人=?求3的大??；

（2）若aWc,求二邑的最小值.

參考答案與解析

一'基本技能練

1.答案A

解析函數(shù)於）的周期代4停一金）=兀，則浮兀，解得心2,

故CD的最小值為2.

2.答案B

解析將函數(shù)y=cos（2x+e）的圖象向右平移當(dāng)個單位長度，得到圖象的函數(shù)解析

式為y=cos[2（j—目+夕=cos（2x-牛+0），此函數(shù)為奇函數(shù)，所以一用十夕=胃+

7兀

矽1（左?Z）,解得9=W+E%GZ）,

7T

則當(dāng)左=一1時，|夕|取得最小值不

3.答案A

解析因為asmA+2csinC=2Z?sinCeosA,

由正弦定理可得，a2+2c2=2bccosA,①

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA,②

①+②得2a2=b2~c2,

所以cos

=6+cc）:與盧缶嚕二坐（當(dāng)且僅當(dāng)b=^c時取等號），

所以角A的最大值為專

4.答案A

A[*/人?2a~ccosC

解析?在△ABC中，丁=溢目

（2tz—c）cosB=bcosC,

由正弦定理，得

(2sinA—sinQcos3=sinBcosC,

整理得sin(B+Q=2sinAcosB,

VAG(0,51),AsinA^O.

1II兀

/.cosB=^即B=w

22

由余弦定理可得16=〃2+C2—2〃CCOSB=a+c—ac^2ac—ac=ac9

，QCW16,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時取等號，

1

AABC的面積S=2?csin3=+“忘4小.

即△ABC的面積的最大值為473.

5.答案B

解析由題意，函數(shù)於)=cos2x+sin(2x+S)=4sin(2x+§,

因為0<x<a,

所以?<2x+?<2a+5

又由人x)在(0,a)上恰有2個零點,

7T

所以2兀V2Q+1W37I,

解得手<aW普，

(Sir471

所以a的取值范圍為垮，用故選B.

6.答案B

解析因為函數(shù)/(x)=cos(3x+9)的最小正周期為兀，

兀

所以。=23=2,

又對x?R,都有人x)//修)，

所以函數(shù)人x)在x=W時取得最小值，

2兀

則~^_+9=兀+2攵兀，k^Z,

7T

即9=9+2%兀，

所以/U)=cos(2x+§,

兀

令2EW2x+g〈兀+2E,%￡Z,

7TJI

解得一左兀，

o3Z,

7T

則函數(shù)y=/(x)在0,上單調(diào)遞減，

故a的最大值是全故選B.

7.答案［|,+8）

解析x?—,

E二八兀一1兀

因為①>0,-?、佗?，

由題意知一如W一全

即co汽,

故①取值范圍是［|,+8）.

「⑶

8M.口g本55yj

解析函數(shù)火工）=cos69x+sin^x+^j=^sin^x+^j（69>0）,

,/日??！肛?兀

由工￡［0,兀］,待t。>兀十g.

又兀V）在［0,兀］上恰有一個最大值點和兩個零點，

兀5

則2兀兀,

513

解得弓

3o

9.答案9

解析因為ZABC=120°,ZABC的平分線交AC于點。，

所以ZABD=ZCBD=60°,

由三角形的面積公式可得上csin120°=^X1-sin60°+^clsin60°,

化簡得ac=a+c,

又a>0,c>0,所以:+：=1，

則4a+c=（4a+c）g+$5+，乎，5+2耒*=9,

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a時取等號，

故4a+c的最小值為9.

io.答案當(dāng)（0,I

解析由c+bcosA—acosB=y［2acosA結(jié)合正弦定理得sinC+sinBcosA—sin

AcosB=psinAcosA,

即sin(A+B)+sinBcosA—sinAcosB=y/2smAcosA,

化簡得2sinBcosA=，5sinAcosA.

7T

因為AW/,所以cosAWO,

則2sinB=d5sinA,

2=辿2=0

見么。sinA2'

_.2+02-62_2〃+。2一/_〃+c2>2bc_0

則由余弦定理得cos'2ac2\[2bc2啦。c-2也。c2

當(dāng)且僅當(dāng)人=c時等號成立,

解得0<3忌

11.⑴證明由o=btanA及正弦定理，

/P[sinAasinA

得cosA~b~sinB'

所以sinB—cosA,

即sinB=sin修+A).

又3為鈍角，

因此4兀)，

故B=^+A,

即B-A=^.

(2)解由(1)知，C=L(A+3)=L(2A+§=5—2A>0,

所以Ad(0,

于是sinA+sinC=sinA+sinf^—2AJ=sinA+cos2A=—2sin2A+sinA+1

因為0<A<^,

、叵

所以0<sinA<>

因此坐<—2，inA—

ZIH-yOO

由此可知sinA+sinC的取值范圍是［雪，

12.解(1)由已知得a=(—sinx,cosx),

又8=(—sinx,小sin%),

則火光)=。?8=sin2%+4sinxcosx

=^(1—cos2x)+坐sinlx

=sin(2x一升今

2冗

所以人x)的最小正周期T=y=7r,

7T7T

當(dāng)2x—4=］+24兀(z￡Z),

jr

即X=g+防l(左GZ)時，

3

兀。取得最大值］.

(2)在銳角△ABC中，

因為=sin,一看)+；=1,

所以sin(A—^=|,所以A=1.

因為a2=b2-\~c2—2Z?ccosA,

22

所以12=b+c—bc9

所以b1+c1=bc+12^2Z?c,

所以6cW12(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2小時等號成立)，此時△ABC為等邊三角形,

S/^ABC=^bcsinA—Z?c^3*\/3.

所以當(dāng)△AHC為等邊三角形時面積取最大值35.

二、創(chuàng)新拓展練

13.答案A

解析VB=2A,

sinB=sin2A=2sinAcosA.

?ci19??b~~2tzcosA~~2cosA.

又△ABC為銳角三角形，

0<2A專

兀

：.\0<A<2，

兀

0<7i—3A<7，

.兀4兀

??6<A<4*

?.?也2<cosA.<近2，

即也<2cosA<\13,故選A.

14.答案CD

解析因為x?[0,2n],

所以0x+笑鼻，2兀0+會.

以_tcox~13金3，271co十39

畫出y=cos/的圖象如圖所示.

由圖象可知，若汽X）在［0,2兀］上有且僅有3個極小值點,

兀

則5TTW2兀。+鏟7兀，

710

解得故D正確；

故於）在（0,2兀）上可能有5,6或7個零點,故A錯誤；

/U）在（0,2兀）上可能有2或3個極大值點，故B錯誤；

當(dāng)dj時，g（y+jJ.

m山10

因為1W（y<*y,

匕i213兀,兀?718兀

所以旅w4°+鏟勺，

故於）在（0,凱單調(diào)遞減，故C正確.

15.答案ABD

解析對于選項A,對角C由余弦定理得36=c2=a2+b2—ab^2ab—ab=ab,

i

因此，S=^absinC=2~abW%/^,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=6時取等號，故A正確；

對于選項B,對角A用余弦定理得

12=a2=c2+b2—y/3bc=36+b2—6-\[3b,

解得6=2/或6=44，

13

因此，S=^csinA=2^3y/3,

當(dāng)且僅當(dāng)b=2小時取等號，故B正確.

對于選項C,若a=2b,

由三邊關(guān)系可得a~b—b<c-6<a-\-b=3b^2<b<6,

2222

,,,人八、。h辦

?6z+/7—c5/?—3659,,,HSC3

此時，由禾弦定理，仔cosC=2ab=4b2=W―講￡(-1’1)'故C錯塊.

。2+/1d(a+Z?)2一心一2帥32

對于選項若〃+則新一

D,6